Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = x^{2} {(2 y - 1)}^{2}$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{{(2 y - 1)}^{2}}$ .

$\frac{1}{{(2 y - 1)}^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{{(2 y - 1)}^{2}} (x^{2} {(2 y - 1)}^{2})$

Paso 1.2

Cancela el factor común de ${(2 y - 1)}^{2}$ .

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Paso 1.2.1

Factoriza ${(2 y - 1)}^{2}$ de $x^{2} {(2 y - 1)}^{2}$ .

$\frac{1}{{(2 y - 1)}^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{{(2 y - 1)}^{2}} ({(2 y - 1)}^{2} x^{2})$

Paso 1.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{{(2 y - 1)}^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{{(2 y - 1)}^{2}} ({(2 y - 1)}^{2} x^{2})$

Paso 1.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{{(2 y - 1)}^{2}} \frac{d y}{d x} = x^{2}$

Paso 1.3

Reescribe la ecuación.

$\frac{1}{{(2 y - 1)}^{2}} d y = x^{2} d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{1}{{(2 y - 1)}^{2}} d y = \int x^{2} d x$

Paso 2.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Sea $u = 2 y - 1$ . Entonces $d u = 2 d y$ , de modo que $\frac{1}{2} d u = d y$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.2.1.1

Deja $u = 2 y - 1$ . Obtén $\frac{d u}{d y}$ .

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Paso 2.2.1.1.1

Diferencia $2 y - 1$ .

$\frac{d}{d y} [2 y - 1]$

Paso 2.2.1.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $2 y - 1$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [- 1]$ .

$\frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [- 1]$

Paso 2.2.1.1.3

Evalúa $\frac{d}{d y} [2 y]$ .

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Paso 2.2.1.1.3.1

Como $2$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $2 y$ con respecto a $y$ es $2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$2 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$

Paso 2.2.1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- 1]$

Paso 2.2.1.1.3.3

Multiplica $2$ por $1$ .

$2 + \frac{d}{d y} [- 1]$

Paso 2.2.1.1.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 2.2.1.1.4.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $y$ es $0$ .

$2 + 0$

Paso 2.2.1.1.4.2

Suma $2$ y $0$ .

$2$

Paso 2.2.1.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\int \frac{1}{u^{2}} \cdot \frac{1}{2} d u = \int x^{2} d x$

Paso 2.2.2

Simplifica.

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Paso 2.2.2.1

Multiplica $\frac{1}{u^{2}}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{1}{u^{2} \cdot 2} d u = \int x^{2} d x$

Paso 2.2.2.2

Mueve $2$ a la izquierda de $u^{2}$ .

$\int \frac{1}{2 u^{2}} d u = \int x^{2} d x$

Paso 2.2.3

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{2}} d u = \int x^{2} d x$

Paso 2.2.4

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 2.2.4.1

Mueve $u^{2}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int {(u^{2})}^{- 1} d u = \int x^{2} d x$

Paso 2.2.4.2

Multiplica los exponentes en ${(u^{2})}^{- 1}$ .

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Paso 2.2.4.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} \int u^{2 \cdot - 1} d u = \int x^{2} d x$

Paso 2.2.4.2.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int u^{- 2} d u = \int x^{2} d x$

Paso 2.2.5

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{- 2}$ con respecto a $u$ es $- u^{- 1}$ .

$\frac{1}{2} (- u^{- 1} + C_{1}) = \int x^{2} d x$

Paso 2.2.6

Simplifica.

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Paso 2.2.6.1

Reescribe $\frac{1}{2} (- u^{- 1} + C_{1})$ como $\frac{1}{2} (- \frac{1}{u}) + C_{1}$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{u}) + C_{1} = \int x^{2} d x$

Paso 2.2.6.2

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{u}$ .

$- \frac{1}{2 u} + C_{1} = \int x^{2} d x$

Paso 2.2.7

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 y - 1$ .

$- \frac{1}{2 (2 y - 1)} + C_{1} = \int x^{2} d x$

Paso 2.3

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$- \frac{1}{2 (2 y - 1)} + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$- \frac{1}{2 (2 y - 1)} = \frac{1}{3} x^{3} + K$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Combina $\frac{1}{3}$ y $x^{3}$ .

$- \frac{1}{2 (2 y - 1)} = \frac{x^{3}}{3} + K$

Paso 3.2

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 3.2.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$2 (2 y - 1), 3, 1$

Paso 3.2.2

El MCM es el número positivo más pequeño en el que se dividen uniformemente todos los números.

1. Indica los factores primos de cada número.

2. Multiplica cada factor la mayor cantidad de veces que aparece en cualquier número.

Paso 3.2.3

Como $2$ no tiene factores además de $1$ y $2$ .

$2$ es un número primo

Paso 3.2.4

Como $3$ no tiene factores además de $1$ y $3$ .

$3$ es un número primo

Paso 3.2.5

El número $1$ no es un número primo porque solo tiene un factor positivo, que es sí mismo.

No es primo

Paso 3.2.6

El MCM de $2, 3, 1$ es el resultado de la multiplicación de todos los factores primos la mayor cantidad de veces que ocurran en cualquiera de los números.

$2 \cdot 3$

Paso 3.2.7

Multiplica $2$ por $3$ .

$6$

Paso 3.2.8

El factor para $2 y - 1$ es $2 y - 1$ en sí mismo.

$(2 y - 1) = 2 y - 1$

$(2 y - 1)$ ocurre $1$ vez.

Paso 3.2.9

El MCM de $2 y - 1$ es el resultado de la multiplicación de todos los factores la mayor cantidad de veces que ocurran en cualquiera de los términos.

$2 y - 1$

Paso 3.2.10

El mínimo común múltiplo $LCM$ de algunos números es el número más pequeño del que los números son factores.

$6 (2 y - 1)$

Paso 3.3

Multiplica cada término en $- \frac{1}{2 (2 y - 1)} = \frac{x^{3}}{3} + K$ por $6 (2 y - 1)$ para eliminar las fracciones.

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Paso 3.3.1

Multiplica cada término en $- \frac{1}{2 (2 y - 1)} = \frac{x^{3}}{3} + K$ por $6 (2 y - 1)$ .

$- \frac{1}{2 (2 y - 1)} (6 (2 y - 1)) = \frac{x^{3}}{3} (6 (2 y - 1)) + K (6 (2 y - 1))$

Paso 3.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.2.1

Cancela el factor común de $2 (2 y - 1)$ .

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Paso 3.3.2.1.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{2 (2 y - 1)}$ al numerador.

$\frac{- 1}{2 (2 y - 1)} (6 (2 y - 1)) = \frac{x^{3}}{3} (6 (2 y - 1)) + K (6 (2 y - 1))$

Paso 3.3.2.1.2

Factoriza $2 (2 y - 1)$ de $6 (2 y - 1)$ .

$\frac{- 1}{2 (2 y - 1)} (2 (2 y - 1) (3)) = \frac{x^{3}}{3} (6 (2 y - 1)) + K (6 (2 y - 1))$

Paso 3.3.2.1.3

Cancela el factor común.

$\frac{- 1}{2 (2 y - 1)} (2 (2 y - 1) \cdot 3) = \frac{x^{3}}{3} (6 (2 y - 1)) + K (6 (2 y - 1))$

Paso 3.3.2.1.4

Reescribe la expresión.

$- 1 \cdot 3 = \frac{x^{3}}{3} (6 (2 y - 1)) + K (6 (2 y - 1))$

Paso 3.3.2.2

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$- 3 = \frac{x^{3}}{3} (6 (2 y - 1)) + K (6 (2 y - 1))$

Paso 3.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.3.3.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$- 3 = 6 \frac{x^{3}}{3} (2 y - 1) + K (6 (2 y - 1))$

Paso 3.3.3.1.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.3.3.1.2.1

Factoriza $3$ de $6$ .

$- 3 = 3 (2) \frac{x^{3}}{3} (2 y - 1) + K (6 (2 y - 1))$

Paso 3.3.3.1.2.2

Cancela el factor común.

$- 3 = 3 \cdot 2 \frac{x^{3}}{3} (2 y - 1) + K (6 (2 y - 1))$

Paso 3.3.3.1.2.3

Reescribe la expresión.

$- 3 = 2 x^{3} (2 y - 1) + K (6 (2 y - 1))$

Paso 3.3.3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$- 3 = 2 x^{3} (2 y) + 2 x^{3} \cdot - 1 + K (6 (2 y - 1))$

Paso 3.3.3.1.4

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$- 3 = 2 \cdot 2 x^{3} y + 2 x^{3} \cdot - 1 + K (6 (2 y - 1))$

Paso 3.3.3.1.5

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$- 3 = 2 \cdot 2 x^{3} y - 2 x^{3} + K (6 (2 y - 1))$

Paso 3.3.3.1.6

Multiplica $2$ por $2$ .

$- 3 = 4 x^{3} y - 2 x^{3} + K (6 (2 y - 1))$

Paso 3.3.3.1.7

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$- 3 = 4 x^{3} y - 2 x^{3} + 6 K (2 y - 1)$

Paso 3.3.3.1.8

Aplica la propiedad distributiva.

$- 3 = 4 x^{3} y - 2 x^{3} + 6 K (2 y) + 6 K \cdot - 1$

Paso 3.3.3.1.9

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$- 3 = 4 x^{3} y - 2 x^{3} + 6 \cdot 2 K y + 6 K \cdot - 1$

Paso 3.3.3.1.10

Multiplica $- 1$ por $6$ .

$- 3 = 4 x^{3} y - 2 x^{3} + 6 \cdot 2 K y - 6 K$

Paso 3.3.3.1.11

Multiplica $6$ por $2$ .

$- 3 = 4 x^{3} y - 2 x^{3} + 12 K y - 6 K$

Paso 3.4

Resuelve la ecuación.

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Paso 3.4.1

Reescribe la ecuación como $4 x^{3} y - 2 x^{3} + 12 K y - 6 K = - 3$ .

$4 x^{3} y - 2 x^{3} + 12 K y - 6 K = - 3$

Paso 3.4.2

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.4.2.1

Suma $2 x^{3}$ a ambos lados de la ecuación.

$4 x^{3} y + 12 K y - 6 K = - 3 + 2 x^{3}$

Paso 3.4.2.2

Suma $6 K$ a ambos lados de la ecuación.

$4 x^{3} y + 12 K y = - 3 + 2 x^{3} + 6 K$

Paso 3.4.3

Factoriza $4 y$ de $4 x^{3} y + 12 K y$ .

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Paso 3.4.3.1

Factoriza $4 y$ de $4 x^{3} y$ .

$4 y (x^{3}) + 12 K y = - 3 + 2 x^{3} + 6 K$

Paso 3.4.3.2

Factoriza $4 y$ de $12 K y$ .

$4 y (x^{3}) + 4 y (3 K) = - 3 + 2 x^{3} + 6 K$

Paso 3.4.3.3

Factoriza $4 y$ de $4 y (x^{3}) + 4 y (3 K)$ .

$4 y (x^{3} + 3 K) = - 3 + 2 x^{3} + 6 K$

Paso 3.4.4

Divide cada término en $4 y (x^{3} + 3 K) = - 3 + 2 x^{3} + 6 K$ por $4 (x^{3} + 3 K)$ y simplifica.

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Paso 3.4.4.1

Divide cada término en $4 y (x^{3} + 3 K) = - 3 + 2 x^{3} + 6 K$ por $4 (x^{3} + 3 K)$ .

$\frac{4 y (x^{3} + 3 K)}{4 (x^{3} + 3 K)} = \frac{- 3}{4 (x^{3} + 3 K)} + \frac{2 x^{3}}{4 (x^{3} + 3 K)} + \frac{6 K}{4 (x^{3} + 3 K)}$

Paso 3.4.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.4.4.2.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 3.4.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 y (x^{3} + 3 K)}{4 (x^{3} + 3 K)} = \frac{- 3}{4 (x^{3} + 3 K)} + \frac{2 x^{3}}{4 (x^{3} + 3 K)} + \frac{6 K}{4 (x^{3} + 3 K)}$

Paso 3.4.4.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{y (x^{3} + 3 K)}{x^{3} + 3 K} = \frac{- 3}{4 (x^{3} + 3 K)} + \frac{2 x^{3}}{4 (x^{3} + 3 K)} + \frac{6 K}{4 (x^{3} + 3 K)}$

Paso 3.4.4.2.2

Cancela el factor común de $x^{3} + 3 K$ .

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Paso 3.4.4.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{y (x^{3} + 3 K)}{x^{3} + 3 K} = \frac{- 3}{4 (x^{3} + 3 K)} + \frac{2 x^{3}}{4 (x^{3} + 3 K)} + \frac{6 K}{4 (x^{3} + 3 K)}$

Paso 3.4.4.2.2.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{- 3}{4 (x^{3} + 3 K)} + \frac{2 x^{3}}{4 (x^{3} + 3 K)} + \frac{6 K}{4 (x^{3} + 3 K)}$

Paso 3.4.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.4.4.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.4.4.3.1.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = - \frac{3}{4 (x^{3} + 3 K)} + \frac{2 x^{3}}{4 (x^{3} + 3 K)} + \frac{6 K}{4 (x^{3} + 3 K)}$

Paso 3.4.4.3.1.2

Cancela el factor común de $2$ y $4$ .

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Paso 3.4.4.3.1.2.1

Factoriza $2$ de $2 x^{3}$ .

$y = - \frac{3}{4 (x^{3} + 3 K)} + \frac{2 (x^{3})}{4 (x^{3} + 3 K)} + \frac{6 K}{4 (x^{3} + 3 K)}$

Paso 3.4.4.3.1.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.4.4.3.1.2.2.1

Factoriza $2$ de $4 (x^{3} + 3 K)$ .

$y = - \frac{3}{4 (x^{3} + 3 K)} + \frac{2 (x^{3})}{2 (2 (x^{3} + 3 K))} + \frac{6 K}{4 (x^{3} + 3 K)}$

Paso 3.4.4.3.1.2.2.2

Cancela el factor común.

$y = - \frac{3}{4 (x^{3} + 3 K)} + \frac{2 x^{3}}{2 (2 (x^{3} + 3 K))} + \frac{6 K}{4 (x^{3} + 3 K)}$

Paso 3.4.4.3.1.2.2.3

Reescribe la expresión.

$y = - \frac{3}{4 (x^{3} + 3 K)} + \frac{x^{3}}{2 (x^{3} + 3 K)} + \frac{6 K}{4 (x^{3} + 3 K)}$

Paso 3.4.4.3.1.3

Cancela el factor común de $6$ y $4$ .

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Paso 3.4.4.3.1.3.1

Factoriza $2$ de $6 K$ .

$y = - \frac{3}{4 (x^{3} + 3 K)} + \frac{x^{3}}{2 (x^{3} + 3 K)} + \frac{2 (3 K)}{4 (x^{3} + 3 K)}$

Paso 3.4.4.3.1.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.4.4.3.1.3.2.1

Factoriza $2$ de $4 (x^{3} + 3 K)$ .

$y = - \frac{3}{4 (x^{3} + 3 K)} + \frac{x^{3}}{2 (x^{3} + 3 K)} + \frac{2 (3 K)}{2 (2 (x^{3} + 3 K))}$

Paso 3.4.4.3.1.3.2.2

Cancela el factor común.

$y = - \frac{3}{4 (x^{3} + 3 K)} + \frac{x^{3}}{2 (x^{3} + 3 K)} + \frac{2 (3 K)}{2 (2 (x^{3} + 3 K))}$

Paso 3.4.4.3.1.3.2.3

Reescribe la expresión.

$y = - \frac{3}{4 (x^{3} + 3 K)} + \frac{x^{3}}{2 (x^{3} + 3 K)} + \frac{3 K}{2 (x^{3} + 3 K)}$

Paso 4

Simplifica la constante de integración.

$y = - \frac{3}{4 (x^{3} + K)} + \frac{x^{3}}{2 (x^{3} + K)} + \frac{K}{2 (x^{3} + K)}$