Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{{(2 + y)}^{2}}{2 x - 1}$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{{(2 + y)}^{2}}$ .

$\frac{1}{{(2 + y)}^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{{(2 + y)}^{2}} \cdot \frac{{(2 + y)}^{2}}{2 x - 1}$

Paso 1.2

Cancela el factor común de ${(2 + y)}^{2}$ .

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Paso 1.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{{(2 + y)}^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{{(2 + y)}^{2}} \cdot \frac{{(2 + y)}^{2}}{2 x - 1}$

Paso 1.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{{(2 + y)}^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 x - 1}$

Paso 1.3

Reescribe la ecuación.

$\frac{1}{{(2 + y)}^{2}} d y = \frac{1}{2 x - 1} d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{1}{{(2 + y)}^{2}} d y = \int \frac{1}{2 x - 1} d x$

Paso 2.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Sea $u_{1} = 2 + y$ . Entonces $d u_{1} = d y$ . Reescribe mediante $u_{1}$ y $d$ $u_{1}$ .

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Paso 2.2.1.1

Deja $u_{1} = 2 + y$ . Obtén $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

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Paso 2.2.1.1.1

Diferencia $2 + y$ .

$\frac{d}{d y} [2 + y]$

Paso 2.2.1.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $2 + y$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [2] + \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{d}{d y} [2] + \frac{d}{d y} [y]$

Paso 2.2.1.1.3

Como $2$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $2$ con respecto a $y$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [y]$

Paso 2.2.1.1.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$0 + 1$

Paso 2.2.1.1.5

Suma $0$ y $1$ .

$1$

Paso 2.2.1.2

Reescribe el problema mediante $u_{1}$ y $d u_{1}$ .

$\int \frac{1}{{u_{1}}^{2}} d u_{1} = \int \frac{1}{2 x - 1} d x$

Paso 2.2.2

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 2.2.2.1

Mueve ${u_{1}}^{2}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$\int {({u_{1}}^{2})}^{- 1} d u_{1} = \int \frac{1}{2 x - 1} d x$

Paso 2.2.2.2

Multiplica los exponentes en ${({u_{1}}^{2})}^{- 1}$ .

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Paso 2.2.2.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int {u_{1}}^{2 \cdot - 1} d u_{1} = \int \frac{1}{2 x - 1} d x$

Paso 2.2.2.2.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\int {u_{1}}^{- 2} d u_{1} = \int \frac{1}{2 x - 1} d x$

Paso 2.2.3

Según la regla de la potencia, la integral de ${u_{1}}^{- 2}$ con respecto a $u_{1}$ es $- {u_{1}}^{- 1}$ .

$- {u_{1}}^{- 1} + C_{1} = \int \frac{1}{2 x - 1} d x$

Paso 2.2.4

Reescribe $- {u_{1}}^{- 1} + C_{1}$ como $- \frac{1}{u_{1}} + C_{1}$ .

$- \frac{1}{u_{1}} + C_{1} = \int \frac{1}{2 x - 1} d x$

Paso 2.2.5

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $2 + y$ .

$- \frac{1}{2 + y} + C_{1} = \int \frac{1}{2 x - 1} d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Sea $u_{2} = 2 x - 1$ . Entonces $d u_{2} = 2 d x$ , de modo que $\frac{1}{2} d u_{2} = d x$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 2.3.1.1

Deja $u_{2} = 2 x - 1$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Paso 2.3.1.1.1

Diferencia $2 x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [2 x - 1]$

Paso 2.3.1.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 2.3.1.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Paso 2.3.1.1.3.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 2.3.1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 2.3.1.1.3.3

Multiplica $2$ por $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 2.3.1.1.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 2.3.1.1.4.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$2 + 0$

Paso 2.3.1.1.4.2

Suma $2$ y $0$ .

$2$

Paso 2.3.1.2

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ y $d u_{2}$ .

$- \frac{1}{2 + y} + C_{1} = \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{2}$

Paso 2.3.2

Simplifica.

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Paso 2.3.2.1

Multiplica $\frac{1}{u_{2}}$ por $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{2 + y} + C_{1} = \int \frac{1}{u_{2} \cdot 2} d u_{2}$

Paso 2.3.2.2

Mueve $2$ a la izquierda de $u_{2}$ .

$- \frac{1}{2 + y} + C_{1} = \int \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2}$

Paso 2.3.3

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u_{2}$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$- \frac{1}{2 + y} + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Paso 2.3.4

La integral de $\frac{1}{u_{2}}$ con respecto a $u_{2}$ es $\ln (| u_{2} |)$ .

$- \frac{1}{2 + y} + C_{1} = \frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C_{2})$

Paso 2.3.5

Simplifica.

$- \frac{1}{2 + y} + C_{1} = \frac{1}{2} \ln (| u_{2} |) + C_{2}$

Paso 2.3.6

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $2 x - 1$ .

$- \frac{1}{2 + y} + C_{1} = \frac{1}{2} \ln (| 2 x - 1 |) + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$- \frac{1}{2 + y} = \frac{1}{2} \ln (| 2 x - 1 |) + C$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Simplifica $\frac{1}{2} \ln (| 2 x - 1 |)$ al mover $\frac{1}{2}$ dentro del algoritmo.

$- \frac{1}{2 + y} = \ln ({| 2 x - 1 |}^{\frac{1}{2}}) + C$

Paso 3.2

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 3.2.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$2 + y, 1, 1$

Paso 3.2.2

Elimina los paréntesis.

$2 + y, 1, 1$

Paso 3.2.3

El mínimo común múltiplo (MCM) de una y cualquier expresión es la expresión.

$2 + y$

Paso 3.3

Multiplica cada término en $- \frac{1}{2 + y} = \ln ({| 2 x - 1 |}^{\frac{1}{2}}) + C$ por $2 + y$ para eliminar las fracciones.

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Paso 3.3.1

Multiplica cada término en $- \frac{1}{2 + y} = \ln ({| 2 x - 1 |}^{\frac{1}{2}}) + C$ por $2 + y$ .

$- \frac{1}{2 + y} (2 + y) = \ln ({| 2 x - 1 |}^{\frac{1}{2}}) (2 + y) + C (2 + y)$

Paso 3.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.2.1

Cancela el factor común de $2 + y$ .

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Paso 3.3.2.1.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{2 + y}$ al numerador.

$\frac{- 1}{2 + y} (2 + y) = \ln ({| 2 x - 1 |}^{\frac{1}{2}}) (2 + y) + C (2 + y)$

Paso 3.3.2.1.2

Cancela el factor común.

$\frac{- 1}{2 + y} (2 + y) = \ln ({| 2 x - 1 |}^{\frac{1}{2}}) (2 + y) + C (2 + y)$

Paso 3.3.2.1.3

Reescribe la expresión.

$- 1 = \ln ({| 2 x - 1 |}^{\frac{1}{2}}) (2 + y) + C (2 + y)$

Paso 3.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.3.3.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$- 1 = \ln ({| 2 x - 1 |}^{\frac{1}{2}}) \cdot 2 + \ln ({| 2 x - 1 |}^{\frac{1}{2}}) y + C (2 + y)$

Paso 3.3.3.1.2

Multiplica $\ln ({| 2 x - 1 |}^{\frac{1}{2}}) \cdot 2$ .

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Paso 3.3.3.1.2.1

Reordena $\ln ({| 2 x - 1 |}^{\frac{1}{2}})$ y $2$ .

$- 1 = 2 \cdot \ln ({| 2 x - 1 |}^{\frac{1}{2}}) + \ln ({| 2 x - 1 |}^{\frac{1}{2}}) y + C (2 + y)$

Paso 3.3.3.1.2.2

Simplifica $2 \cdot \ln ({| 2 x - 1 |}^{\frac{1}{2}})$ al mover $2$ dentro del algoritmo.

$- 1 = \ln ({({| 2 x - 1 |}^{\frac{1}{2}})}^{2}) + \ln ({| 2 x - 1 |}^{\frac{1}{2}}) y + C (2 + y)$

Paso 3.3.3.1.3

Simplifica cada término.

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Paso 3.3.3.1.3.1

Multiplica los exponentes en ${({| 2 x - 1 |}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 3.3.3.1.3.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 1 = \ln ({| 2 x - 1 |}^{\frac{1}{2} \cdot 2}) + \ln ({| 2 x - 1 |}^{\frac{1}{2}}) y + C (2 + y)$

Paso 3.3.3.1.3.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.3.3.1.3.1.2.1

Cancela el factor común.

$- 1 = \ln ({| 2 x - 1 |}^{\frac{1}{2} \cdot 2}) + \ln ({| 2 x - 1 |}^{\frac{1}{2}}) y + C (2 + y)$

Paso 3.3.3.1.3.1.2.2

Reescribe la expresión.

$- 1 = \ln ({| 2 x - 1 |}^{1}) + \ln ({| 2 x - 1 |}^{\frac{1}{2}}) y + C (2 + y)$

Paso 3.3.3.1.3.2

Simplifica.

$- 1 = \ln (| 2 x - 1 |) + \ln ({| 2 x - 1 |}^{\frac{1}{2}}) y + C (2 + y)$

Paso 3.3.3.1.4

Aplica la propiedad distributiva.

$- 1 = \ln (| 2 x - 1 |) + \ln ({| 2 x - 1 |}^{\frac{1}{2}}) y + C \cdot 2 + C y$

Paso 3.3.3.1.5

Mueve $2$ a la izquierda de $C$ .

$- 1 = \ln (| 2 x - 1 |) + \ln ({| 2 x - 1 |}^{\frac{1}{2}}) y + 2 C + C y$

Paso 3.3.3.2

Reordena los factores en $\ln (| 2 x - 1 |) + \ln ({| 2 x - 1 |}^{\frac{1}{2}}) y + 2 C + C y$ .

$- 1 = \ln (| 2 x - 1 |) + y \ln ({| 2 x - 1 |}^{\frac{1}{2}}) + 2 C + C y$

Paso 3.4

Resuelve la ecuación.

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Paso 3.4.1

Reescribe la ecuación como $\ln (| 2 x - 1 |) + y \ln ({| 2 x - 1 |}^{\frac{1}{2}}) + 2 C + C y = - 1$ .

$\ln (| 2 x - 1 |) + y \ln ({| 2 x - 1 |}^{\frac{1}{2}}) + 2 C + C y = - 1$

Paso 3.4.2

Mueve todos los términos que contengan un logaritmo al lado izquierdo de la ecuación.

$\ln (| 2 x - 1 |) + y \ln ({| 2 x - 1 |}^{\frac{1}{2}}) = - 2 C - C y - 1$

Paso 3.4.3

Suma $C y$ a ambos lados de la ecuación.

$\ln (| 2 x - 1 |) + y \ln ({| 2 x - 1 |}^{\frac{1}{2}}) + C y = - 2 C - 1$

Paso 3.4.4

Resta $\ln (| 2 x - 1 |)$ de ambos lados de la ecuación.

$y \ln ({| 2 x - 1 |}^{\frac{1}{2}}) + C y = - 2 C - 1 - \ln (| 2 x - 1 |)$

Paso 3.4.5

Factoriza $y$ de $y \ln ({| 2 x - 1 |}^{\frac{1}{2}}) + C y$ .

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Paso 3.4.5.1

Factoriza $y$ de $C y$ .

$y \ln ({| 2 x - 1 |}^{\frac{1}{2}}) + y C = - 2 C - 1 - \ln (| 2 x - 1 |)$

Paso 3.4.5.2

Factoriza $y$ de $y \ln ({| 2 x - 1 |}^{\frac{1}{2}}) + y C$ .

$y (\ln ({| 2 x - 1 |}^{\frac{1}{2}}) + C) = - 2 C - 1 - \ln (| 2 x - 1 |)$

Paso 3.4.6

Divide cada término en $y (\ln ({| 2 x - 1 |}^{\frac{1}{2}}) + C) = - 2 C - 1 - \ln (| 2 x - 1 |)$ por $\ln ({| 2 x - 1 |}^{\frac{1}{2}}) + C$ y simplifica.

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Paso 3.4.6.1

Divide cada término en $y (\ln ({| 2 x - 1 |}^{\frac{1}{2}}) + C) = - 2 C - 1 - \ln (| 2 x - 1 |)$ por $\ln ({| 2 x - 1 |}^{\frac{1}{2}}) + C$ .

$\frac{y (\ln ({| 2 x - 1 |}^{\frac{1}{2}}) + C)}{\ln ({| 2 x - 1 |}^{\frac{1}{2}}) + C} = \frac{- 2 C}{\ln ({| 2 x - 1 |}^{\frac{1}{2}}) + C} + \frac{- 1}{\ln ({| 2 x - 1 |}^{\frac{1}{2}}) + C} + \frac{- \ln (| 2 x - 1 |)}{\ln ({| 2 x - 1 |}^{\frac{1}{2}}) + C}$

Paso 3.4.6.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.4.6.2.1

Cancela el factor común de $\ln ({| 2 x - 1 |}^{\frac{1}{2}}) + C$ .

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Paso 3.4.6.2.1.1

Cancela el factor común.

Paso 3.4.6.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{- 2 C}{\ln ({| 2 x - 1 |}^{\frac{1}{2}}) + C} + \frac{- 1}{\ln ({| 2 x - 1 |}^{\frac{1}{2}}) + C} + \frac{- \ln (| 2 x - 1 |)}{\ln ({| 2 x - 1 |}^{\frac{1}{2}}) + C}$

Paso 3.4.6.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.4.6.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.4.6.3.1.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = - \frac{2 C}{\ln ({| 2 x - 1 |}^{\frac{1}{2}}) + C} + \frac{- 1}{\ln ({| 2 x - 1 |}^{\frac{1}{2}}) + C} + \frac{- \ln (| 2 x - 1 |)}{\ln ({| 2 x - 1 |}^{\frac{1}{2}}) + C}$

Paso 3.4.6.3.1.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = - \frac{2 C}{\ln ({| 2 x - 1 |}^{\frac{1}{2}}) + C} - \frac{1}{\ln ({| 2 x - 1 |}^{\frac{1}{2}}) + C} + \frac{- \ln (| 2 x - 1 |)}{\ln ({| 2 x - 1 |}^{\frac{1}{2}}) + C}$

Paso 3.4.6.3.1.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = - \frac{2 C}{\ln ({| 2 x - 1 |}^{\frac{1}{2}}) + C} - \frac{1}{\ln ({| 2 x - 1 |}^{\frac{1}{2}}) + C} - \frac{\ln (| 2 x - 1 |)}{\ln ({| 2 x - 1 |}^{\frac{1}{2}}) + C}$

Paso 3.4.6.3.2

Simplifica los términos.

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Paso 3.4.6.3.2.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \frac{- 2 C - 1}{\ln ({| 2 x - 1 |}^{\frac{1}{2}}) + C} - \frac{\ln (| 2 x - 1 |)}{\ln ({| 2 x - 1 |}^{\frac{1}{2}}) + C}$

Paso 3.4.6.3.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \frac{- 2 C - 1 - \ln (| 2 x - 1 |)}{\ln ({| 2 x - 1 |}^{\frac{1}{2}}) + C}$

Paso 3.4.6.3.2.3

Factoriza $- 1$ de $- 2 C$ .

$y = \frac{- (2 C) - 1 - \ln (| 2 x - 1 |)}{\ln ({| 2 x - 1 |}^{\frac{1}{2}}) + C}$

Paso 3.4.6.3.2.4

Reescribe $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$y = \frac{- (2 C) - 1 (1) - \ln (| 2 x - 1 |)}{\ln ({| 2 x - 1 |}^{\frac{1}{2}}) + C}$

Paso 3.4.6.3.2.5

Factoriza $- 1$ de $- (2 C) - 1 (1)$ .

$y = \frac{- (2 C + 1) - \ln (| 2 x - 1 |)}{\ln ({| 2 x - 1 |}^{\frac{1}{2}}) + C}$

Paso 3.4.6.3.2.6

Factoriza $- 1$ de $- (2 C + 1) - \ln (| 2 x - 1 |)$ .

$y = \frac{- (2 C + 1 + \ln (| 2 x - 1 |))}{\ln ({| 2 x - 1 |}^{\frac{1}{2}}) + C}$

Paso 3.4.6.3.2.7

Simplifica la expresión.

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Paso 3.4.6.3.2.7.1

Reescribe $- (2 C + 1 + \ln (| 2 x - 1 |))$ como $- 1 (2 C + 1 + \ln (| 2 x - 1 |))$ .

$y = \frac{- 1 (2 C + 1 + \ln (| 2 x - 1 |))}{\ln ({| 2 x - 1 |}^{\frac{1}{2}}) + C}$

Paso 3.4.6.3.2.7.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = - \frac{2 C + 1 + \ln (| 2 x - 1 |)}{\ln ({| 2 x - 1 |}^{\frac{1}{2}}) + C}$

Paso 4

Simplifica la constante de integración.

$y = - \frac{C + \ln (| 2 x - 1 |)}{\ln ({| 2 x - 1 |}^{\frac{1}{2}}) + C}$