Cálculo Ejemplos

$\frac{1}{y} \cdot \frac{d y}{d t} = 2 \cdot \frac{1}{t}$

Paso 1

Reescribe la ecuación.

$\frac{1}{y} \cdot d y = 2 \cdot \frac{1}{t} d t$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{1}{y} d y = \int 2 \frac{1}{t} d t$

Paso 2.2

La integral de $\frac{1}{y}$ con respecto a $y$ es $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int 2 \frac{1}{t} d t$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Combina $2$ y $\frac{1}{t}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{2}{t} d t$

Paso 2.3.2

Dado que $2$ es constante con respecto a $t$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 \int \frac{1}{t} d t$

Paso 2.3.3

La integral de $\frac{1}{t}$ con respecto a $t$ es $\ln (| t |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 (\ln (| t |) + C_{2})$

Paso 2.3.4

Simplifica.

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 \ln (| t |) + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$\ln (| y |) = 2 \ln (| t |) + C$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Mueve todos los términos que contengan un logaritmo al lado izquierdo de la ecuación.

$\ln (| y |) - 2 \ln (| t |) = C$

Paso 3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.1

Simplifica $\ln (| y |) - 2 \ln (| t |)$ .

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Paso 3.2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.1.1.1

Simplifica $- 2 \ln (| t |)$ al mover $2$ dentro del algoritmo.

$\ln (| y |) - \ln ({| t |}^{2}) = C$

Paso 3.2.1.1.2

Elimina el valor absoluto en ${| t |}^{2}$ porque las potenciaciones con potencias pares siempre son positivas.

$\ln (| y |) - \ln (t^{2}) = C$

Paso 3.2.1.2

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| y |}{t^{2}}) = C$

Paso 3.3

Para resolver $y$ , reescribe la ecuación mediante las propiedades de los logaritmos.

$e^{\ln (\frac{| y |}{t^{2}})} = e^{C}$

Paso 3.4

Reescribe $\ln (\frac{| y |}{t^{2}}) = C$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{C} = \frac{| y |}{t^{2}}$

Paso 3.5

Resuelve $y$

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Paso 3.5.1

Reescribe la ecuación como $\frac{| y |}{t^{2}} = e^{C}$ .

$\frac{| y |}{t^{2}} = e^{C}$

Paso 3.5.2

Multiplica ambos lados por $t^{2}$ .

$\frac{| y |}{t^{2}} t^{2} = e^{C} t^{2}$

Paso 3.5.3

Simplifica.

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Paso 3.5.3.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.5.3.1.1

Cancela el factor común de $t^{2}$ .

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Paso 3.5.3.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{| y |}{t^{2}} t^{2} = e^{C} t^{2}$

Paso 3.5.3.1.1.2

Reescribe la expresión.

$| y | = e^{C} t^{2}$

Paso 3.5.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.5.3.2.1

Reordena los factores en $e^{C} t^{2}$ .

$| y | = t^{2} e^{C}$

Paso 3.5.4

Elimina el término de valor absoluto. Esto crea un $\pm$ en el lado derecho de la ecuación debido a $| x | = \pm x$ .

$y = \pm t^{2} e^{C}$

Paso 4

Agrupa los términos de la constante.

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Paso 4.1

Simplifica la constante de integración.

$y = \pm t^{2} C$

Paso 4.2

Combina constantes con el signo más o menos.

$y = C t^{2}$