Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} + 4 x^{3} y = x^{3}$

Paso 1

El factor integrador se define mediante la fórmula $e^{\int P (x) d x}$ , donde $P (x) = 4 x^{3}$ .

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Paso 1.1

Establece la integración.

$e^{\int 4 x^{3} d x}$

Paso 1.2

Integra $4 x^{3}$ .

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Paso 1.2.1

Dado que $4$ es constante con respecto a $x$ , mueve $4$ fuera de la integral.

$e^{4 \int x^{3} d x}$

Paso 1.2.2

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$e^{4 (\frac{1}{4} x^{4} + C)}$

Paso 1.2.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.2.3.1

Reescribe $4 (\frac{1}{4} x^{4} + C)$ como $4 (\frac{1}{4}) x^{4} + C$ .

$e^{4 (\frac{1}{4}) x^{4} + C}$

Paso 1.2.3.2

Simplifica.

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Paso 1.2.3.2.1

Combina $4$ y $\frac{1}{4}$ .

$e^{\frac{4}{4} x^{4} + C}$

Paso 1.2.3.2.2

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 1.2.3.2.2.1

Cancela el factor común.

$e^{\frac{4}{4} x^{4} + C}$

Paso 1.2.3.2.2.2

Reescribe la expresión.

$e^{1 x^{4} + C}$

Paso 1.2.3.2.3

Multiplica $x^{4}$ por $1$ .

$e^{x^{4} + C}$

Paso 1.3

Elimina la constante de integración.

$e^{x^{4}}$

Paso 2

Multiplica cada término por el factor integrador $e^{x^{4}}$ .

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Paso 2.1

Multiplica cada término por $e^{x^{4}}$ .

$e^{x^{4}} \frac{d y}{d x} + e^{x^{4}} (4 x^{3} y) = e^{x^{4}} x^{3}$

Paso 2.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$e^{x^{4}} \frac{d y}{d x} + 4 e^{x^{4}} (x^{3} y) = e^{x^{4}} x^{3}$

Paso 2.3

Reordena los factores en $e^{x^{4}} \frac{d y}{d x} + 4 e^{x^{4}} (x^{3} y) = e^{x^{4}} x^{3}$ .

$e^{x^{4}} \frac{d y}{d x} + 4 x^{3} y e^{x^{4}} = x^{3} e^{x^{4}}$

Paso 3

Reescribe el lado izquierdo como resultado de la diferenciación de un producto.

$\frac{d}{d x} [e^{x^{4}} y] = x^{3} e^{x^{4}}$

Paso 4

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [e^{x^{4}} y] d x = \int x^{3} e^{x^{4}} d x$

Paso 5

Integra el lado izquierdo.

$e^{x^{4}} y = \int x^{3} e^{x^{4}} d x$

Paso 6

Integra el lado derecho.

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Paso 6.1

Sea $u_{1} = x^{2}$ . Entonces $d u_{1} = 2 x d x$ , de modo que $\frac{1}{2} d u_{1} = x d x$ . Reescribe mediante $u_{1}$ y $d$ $u_{1}$ .

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Paso 6.1.1

Deja $u_{1} = x^{2}$ . Obtén $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Paso 6.1.1.1

Diferencia $x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 6.1.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 x$

Paso 6.1.2

Reescribe el problema mediante $u_{1}$ y $d u_{1}$ .

$e^{x^{4}} y = \int u_{1} e^{{\sqrt{u_{1}}}^{4}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Paso 6.2

Simplifica.

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Paso 6.2.1

Reescribe ${\sqrt{u_{1}}}^{4}$ como ${u_{1}}^{2}$ .

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Paso 6.2.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{u_{1}}$ como ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ .

$e^{x^{4}} y = \int u_{1} e^{{({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{4}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Paso 6.2.1.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$e^{x^{4}} y = \int u_{1} e^{{u_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot 4}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Paso 6.2.1.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $4$ .

$e^{x^{4}} y = \int u_{1} e^{{u_{1}}^{\frac{4}{2}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Paso 6.2.1.4

Cancela el factor común de $4$ y $2$ .

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Paso 6.2.1.4.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$e^{x^{4}} y = \int u_{1} e^{{u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Paso 6.2.1.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 6.2.1.4.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$e^{x^{4}} y = \int u_{1} e^{{u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Paso 6.2.1.4.2.2

Cancela el factor común.

$e^{x^{4}} y = \int u_{1} e^{{u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Paso 6.2.1.4.2.3

Reescribe la expresión.

$e^{x^{4}} y = \int u_{1} e^{{u_{1}}^{\frac{2}{1}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Paso 6.2.1.4.2.4

Divide $2$ por $1$ .

$e^{x^{4}} y = \int u_{1} e^{{u_{1}}^{2}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Paso 6.2.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $u_{1}$ .

$e^{x^{4}} y = \int \frac{u_{1}}{2} e^{{u_{1}}^{2}} d u_{1}$

Paso 6.2.3

Combina $\frac{u_{1}}{2}$ y $e^{{u_{1}}^{2}}$ .

$e^{x^{4}} y = \int \frac{u_{1} e^{{u_{1}}^{2}}}{2} d u_{1}$

Paso 6.3

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u_{1}$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$e^{x^{4}} y = \frac{1}{2} \int u_{1} e^{{u_{1}}^{2}} d u_{1}$

Paso 6.4

Sea $u_{2} = {u_{1}}^{2}$ . Entonces $d u_{2} = 2 u_{1} d u_{1}$ , de modo que $\frac{1}{2} d u_{2} = u_{1} d u_{1}$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 6.4.1

Deja $u_{2} = {u_{1}}^{2}$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Paso 6.4.1.1

Diferencia ${u_{1}}^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}]$

Paso 6.4.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 u_{1}$

Paso 6.4.2

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ y $d u_{2}$ .

$e^{x^{4}} y = \frac{1}{2} \int e^{u_{2}} \frac{1}{2} d u_{2}$

Paso 6.5

Combina $e^{u_{2}}$ y $\frac{1}{2}$ .

$e^{x^{4}} y = \frac{1}{2} \int \frac{e^{u_{2}}}{2} d u_{2}$

Paso 6.6

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u_{2}$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$e^{x^{4}} y = \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int e^{u_{2}} d u_{2})$

Paso 6.7

Simplifica.

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Paso 6.7.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$e^{x^{4}} y = \frac{1}{2 \cdot 2} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Paso 6.7.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$e^{x^{4}} y = \frac{1}{4} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Paso 6.8

La integral de $e^{u_{2}}$ con respecto a $u_{2}$ es $e^{u_{2}}$ .

$e^{x^{4}} y = \frac{1}{4} (e^{u_{2}} + C)$

Paso 6.9

Simplifica.

$e^{x^{4}} y = \frac{1}{4} e^{u_{2}} + C$

Paso 6.10

Vuelve a sustituir para cada variable de sustitución de la integración.

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Paso 6.10.1

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con ${u_{1}}^{2}$ .

$e^{x^{4}} y = \frac{1}{4} e^{{u_{1}}^{2}} + C$

Paso 6.10.2

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $x^{2}$ .

$e^{x^{4}} y = \frac{1}{4} e^{{(x^{2})}^{2}} + C$

Paso 7

Divide cada término en $e^{x^{4}} y = \frac{1}{4} e^{{(x^{2})}^{2}} + C$ por $e^{x^{4}}$ y simplifica.

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Paso 7.1

Divide cada término en $e^{x^{4}} y = \frac{1}{4} e^{{(x^{2})}^{2}} + C$ por $e^{x^{4}}$ .

$\frac{e^{x^{4}} y}{e^{x^{4}}} = \frac{\frac{1}{4} e^{{(x^{2})}^{2}}}{e^{x^{4}}} + \frac{C}{e^{x^{4}}}$

Paso 7.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 7.2.1

Cancela el factor común de $e^{x^{4}}$ .

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Paso 7.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{e^{x^{4}} y}{e^{x^{4}}} = \frac{\frac{1}{4} e^{{(x^{2})}^{2}}}{e^{x^{4}}} + \frac{C}{e^{x^{4}}}$

Paso 7.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{\frac{1}{4} e^{{(x^{2})}^{2}}}{e^{x^{4}}} + \frac{C}{e^{x^{4}}}$

Paso 7.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 7.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 7.3.1.1

Cancela el factor común de $e^{{(x^{2})}^{2}}$ y $e^{x^{4}}$ .

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Paso 7.3.1.1.1

Factoriza $e^{x^{4}}$ de $\frac{1}{4} e^{{(x^{2})}^{2}}$ .

$y = \frac{e^{x^{4}} (\frac{1}{4} e^{{(x^{2})}^{2} - x^{4}})}{e^{x^{4}}} + \frac{C}{e^{x^{4}}}$

Paso 7.3.1.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 7.3.1.1.2.1

Multiplica por $1$ .

$y = \frac{e^{x^{4}} (\frac{1}{4} e^{{(x^{2})}^{2} - x^{4}})}{e^{x^{4}} \cdot 1} + \frac{C}{e^{x^{4}}}$

Paso 7.3.1.1.2.2

Cancela el factor común.

$y = \frac{e^{x^{4}} (\frac{1}{4} e^{{(x^{2})}^{2} - x^{4}})}{e^{x^{4}} \cdot 1} + \frac{C}{e^{x^{4}}}$

Paso 7.3.1.1.2.3

Reescribe la expresión.

$y = \frac{\frac{1}{4} e^{{(x^{2})}^{2} - x^{4}}}{1} + \frac{C}{e^{x^{4}}}$

Paso 7.3.1.1.2.4

Divide $\frac{1}{4} e^{{(x^{2})}^{2} - x^{4}}$ por $1$ .

$y = \frac{1}{4} e^{{(x^{2})}^{2} - x^{4}} + \frac{C}{e^{x^{4}}}$

Paso 7.3.1.2

Multiplica los exponentes en ${(x^{2})}^{2}$ .

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Paso 7.3.1.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{1}{4} e^{x^{2 \cdot 2} - x^{4}} + \frac{C}{e^{x^{4}}}$

Paso 7.3.1.2.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$y = \frac{1}{4} e^{x^{4} - x^{4}} + \frac{C}{e^{x^{4}}}$

Paso 7.3.1.3

Resta $x^{4}$ de $x^{4}$ .

$y = \frac{1}{4} e^{0} + \frac{C}{e^{x^{4}}}$

Paso 7.3.1.4

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$y = \frac{1}{4} \cdot 1 + \frac{C}{e^{x^{4}}}$

Paso 7.3.1.5

Multiplica $\frac{1}{4}$ por $1$ .

$y = \frac{1}{4} + \frac{C}{e^{x^{4}}}$