Cálculo Ejemplos

$(1 - x) d y + y d x = 0$

Paso 1

Resta $y d x$ de ambos lados de la ecuación.

$(1 - x) d y = - y d x$

Paso 2

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{(1 - x) y}$ .

$\frac{1}{(1 - x) y} (1 - x) d y = \frac{1}{(1 - x) y} (- y) d x$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Cancela el factor común de $1 - x$ .

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Paso 3.1.1

Factoriza $1 - x$ de $(1 - x) y$ .

$\frac{1}{(1 - x) (y)} (1 - x) d y = \frac{1}{(1 - x) y} (- y) d x$

Paso 3.1.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{(1 - x) y} (1 - x) d y = \frac{1}{(1 - x) y} (- y) d x$

Paso 3.1.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{(1 - x) y} (- y) d x$

Paso 3.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{1}{y} d y = - \frac{1}{(1 - x) y} y d x$

Paso 3.3

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 3.3.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{(1 - x) y}$ al numerador.

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{(1 - x) y} y d x$

Paso 3.3.2

Factoriza $y$ de $(1 - x) y$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{y (1 - x)} y d x$

Paso 3.3.3

Cancela el factor común.

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{y (1 - x)} y d x$

Paso 3.3.4

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{1 - x} d x$

Paso 3.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{y} d y = - \frac{1}{1 - x} d x$

Paso 4

Integra ambos lados.

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Paso 4.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{1}{y} d y = \int - \frac{1}{1 - x} d x$

Paso 4.2

La integral de $\frac{1}{y}$ con respecto a $y$ es $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int - \frac{1}{1 - x} d x$

Paso 4.3

Integra el lado derecho.

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Paso 4.3.1

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{1}{1 - x} d x$

Paso 4.3.2

Sea $u = 1 - x$ . Entonces $d u = - d x$ , de modo que $- d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 4.3.2.1

Deja $u = 1 - x$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 4.3.2.1.1

Reescribe.

$\frac{- 1}{1}$

Paso 4.3.2.1.2

Divide $- 1$ por $1$ .

$- 1$

Paso 4.3.2.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{- 1}{u} d u$

Paso 4.3.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int - \frac{1}{u} d u$

Paso 4.3.4

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$\ln (| y |) + C_{1} = - - \int \frac{1}{u} d u$

Paso 4.3.5

Simplifica.

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Paso 4.3.5.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 1 \int \frac{1}{u} d u$

Paso 4.3.5.2

Multiplica $\int \frac{1}{u} d u$ por $1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{1}{u} d u$

Paso 4.3.6

La integral de $\frac{1}{u}$ con respecto a $u$ es $\ln (| u |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \ln (| u |) + C_{2}$

Paso 4.3.7

Reemplaza todos los casos de $u$ con $1 - x$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \ln (| 1 - x |) + C_{2}$

Paso 4.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$\ln (| y |) = \ln (| 1 - x |) + C$

Paso 5

Resuelve $y$

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Paso 5.1

Mueve todos los términos que contengan un logaritmo al lado izquierdo de la ecuación.

$\ln (| y |) - \ln (| 1 - x |) = C$

Paso 5.2

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| y |}{| 1 - x |}) = C$

Paso 5.3

Para resolver $y$ , reescribe la ecuación mediante las propiedades de los logaritmos.

$e^{\ln (\frac{| y |}{| 1 - x |})} = e^{C}$

Paso 5.4

Reescribe $\ln (\frac{| y |}{| 1 - x |}) = C$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{C} = \frac{| y |}{| 1 - x |}$

Paso 5.5

Resuelve $y$

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Paso 5.5.1

Reescribe la ecuación como $\frac{| y |}{| 1 - x |} = e^{C}$ .

$\frac{| y |}{| 1 - x |} = e^{C}$

Paso 5.5.2

Multiplica ambos lados por $| 1 - x |$ .

$\frac{| y |}{| 1 - x |} | 1 - x | = e^{C} | 1 - x |$

Paso 5.5.3

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.5.3.1

Cancela el factor común de $| 1 - x |$ .

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Paso 5.5.3.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{| y |}{| 1 - x |} | 1 - x | = e^{C} | 1 - x |$

Paso 5.5.3.1.2

Reescribe la expresión.

$| y | = e^{C} | 1 - x |$

Paso 5.5.4

Resuelve $y$

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Paso 5.5.4.1

Reordena los factores en $e^{C} | 1 - x |$ .

$| y | = | 1 - x | e^{C}$

Paso 5.5.4.2

Elimina el término de valor absoluto. Esto crea un $\pm$ en el lado derecho de la ecuación debido a $| x | = \pm x$ .

$y = \pm | 1 - x | e^{C}$

Paso 6

Agrupa los términos de la constante.

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Paso 6.1

Simplifica la constante de integración.

$y = \pm | 1 - x | C$

Paso 6.2

Combina constantes con el signo más o menos.

$y = C | 1 - x |$