Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{6 x^{2}}{2 y + \sin (y)}$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Multiplica ambos lados por $2 y + \sin (y)$ .

$(2 y + \sin (y)) \frac{d y}{d x} = (2 y + \sin (y)) \frac{6 x^{2}}{2 y + \sin (y)}$

Paso 1.2

Cancela el factor común de $2 y + \sin (y)$ .

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Paso 1.2.1

Cancela el factor común.

$(2 y + \sin (y)) \frac{d y}{d x} = (2 y + \sin (y)) \frac{6 x^{2}}{2 y + \sin (y)}$

Paso 1.2.2

Reescribe la expresión.

$(2 y + \sin (y)) \frac{d y}{d x} = 6 x^{2}$

Paso 1.3

Reescribe la ecuación.

$(2 y + \sin (y)) d y = 6 x^{2} d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int 2 y + \sin (y) d y = \int 6 x^{2} d x$

Paso 2.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Divide la única integral en varias integrales.

$\int 2 y d y + \int \sin (y) d y = \int 6 x^{2} d x$

Paso 2.2.2

Dado que $2$ es constante con respecto a $y$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$2 \int y d y + \int \sin (y) d y = \int 6 x^{2} d x$

Paso 2.2.3

Según la regla de la potencia, la integral de $y$ con respecto a $y$ es $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1}) + \int \sin (y) d y = \int 6 x^{2} d x$

Paso 2.2.4

La integral de $\sin (y)$ con respecto a $y$ es $- \cos (y)$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1}) - \cos (y) + C_{2} = \int 6 x^{2} d x$

Paso 2.2.5

Simplifica.

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Paso 2.2.5.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $y^{2}$ .

$2 (\frac{y^{2}}{2} + C_{1}) - \cos (y) + C_{2} = \int 6 x^{2} d x$

Paso 2.2.5.2

Simplifica.

$y^{2} - \cos (y) + C_{3} = \int 6 x^{2} d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Dado que $6$ es constante con respecto a $x$ , mueve $6$ fuera de la integral.

$y^{2} - \cos (y) + C_{3} = 6 \int x^{2} d x$

Paso 2.3.2

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$y^{2} - \cos (y) + C_{3} = 6 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{4})$

Paso 2.3.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 2.3.3.1

Reescribe $6 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{4})$ como $6 (\frac{1}{3}) x^{3} + C_{4}$ .

$y^{2} - \cos (y) + C_{3} = 6 (\frac{1}{3}) x^{3} + C_{4}$

Paso 2.3.3.2

Simplifica.

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Paso 2.3.3.2.1

Combina $6$ y $\frac{1}{3}$ .

$y^{2} - \cos (y) + C_{3} = \frac{6}{3} x^{3} + C_{4}$

Paso 2.3.3.2.2

Cancela el factor común de $6$ y $3$ .

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Paso 2.3.3.2.2.1

Factoriza $3$ de $6$ .

$y^{2} - \cos (y) + C_{3} = \frac{3 \cdot 2}{3} x^{3} + C_{4}$

Paso 2.3.3.2.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.3.3.2.2.2.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$y^{2} - \cos (y) + C_{3} = \frac{3 \cdot 2}{3 (1)} x^{3} + C_{4}$

Paso 2.3.3.2.2.2.2

Cancela el factor común.

$y^{2} - \cos (y) + C_{3} = \frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 1} x^{3} + C_{4}$

Paso 2.3.3.2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$y^{2} - \cos (y) + C_{3} = \frac{2}{1} x^{3} + C_{4}$

Paso 2.3.3.2.2.2.4

Divide $2$ por $1$ .

$y^{2} - \cos (y) + C_{3} = 2 x^{3} + C_{4}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$y^{2} - \cos (y) = 2 x^{3} + K$