Cálculo Ejemplos

$x^{2} d x + y e d y = 0$

Paso 1

Resta $x^{2} d x$ de ambos lados de la ecuación.

$y e d y = - x^{2} d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int y e d y = \int - x^{2} d x$

Paso 2.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Dado que $e$ es constante con respecto a $y$ , mueve $e$ fuera de la integral.

$e \int y d y = \int - x^{2} d x$

Paso 2.2.2

Según la regla de la potencia, la integral de $y$ con respecto a $y$ es $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$e (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1}) = \int - x^{2} d x$

Paso 2.2.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 2.2.3.1

Reescribe $e (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1})$ como $e \frac{1}{2} y^{2} + C_{1}$ .

$e \frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int - x^{2} d x$

Paso 2.2.3.2

Combina $e$ y $\frac{1}{2}$ .

$\frac{e}{2} y^{2} + C_{1} = \int - x^{2} d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$\frac{e}{2} y^{2} + C_{1} = - \int x^{2} d x$

Paso 2.3.2

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{e}{2} y^{2} + C_{1} = - (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2})$

Paso 2.3.3

Reescribe $- (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2})$ como $- \frac{1}{3} x^{3} + C_{2}$ .

$\frac{e}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{3} x^{3} + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$\frac{e}{2} y^{2} = - \frac{1}{3} x^{3} + K$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Multiplica ambos lados de la ecuación por $\frac{2}{e}$ .

$\frac{2}{e} (\frac{e}{2} y^{2}) = \frac{2}{e} (- \frac{1}{3} x^{3} + K)$

Paso 3.2

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 3.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.1.1

Simplifica $\frac{2}{e} (\frac{e}{2} y^{2})$ .

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Paso 3.2.1.1.1

Combina $\frac{e}{2}$ y $y^{2}$ .

$\frac{2}{e} \cdot \frac{e y^{2}}{2} = \frac{2}{e} (- \frac{1}{3} x^{3} + K)$

Paso 3.2.1.1.2

Combinar.

$\frac{2 (e y^{2})}{e \cdot 2} = \frac{2}{e} (- \frac{1}{3} x^{3} + K)$

Paso 3.2.1.1.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.2.1.1.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 (e y^{2})}{e \cdot 2} = \frac{2}{e} (- \frac{1}{3} x^{3} + K)$

Paso 3.2.1.1.3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{e y^{2}}{e} = \frac{2}{e} (- \frac{1}{3} x^{3} + K)$

Paso 3.2.1.1.4

Cancela el factor común de $e$ .

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Paso 3.2.1.1.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{e y^{2}}{e} = \frac{2}{e} (- \frac{1}{3} x^{3} + K)$

Paso 3.2.1.1.4.2

Divide $y^{2}$ por $1$ .

$y^{2} = \frac{2}{e} (- \frac{1}{3} x^{3} + K)$

Paso 3.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.2.1

Simplifica $\frac{2}{e} (- \frac{1}{3} x^{3} + K)$ .

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Paso 3.2.2.1.1

Simplifica los términos.

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Paso 3.2.2.1.1.1

Combina $x^{3}$ y $\frac{1}{3}$ .

$y^{2} = \frac{2}{e} (- \frac{x^{3}}{3} + K)$

Paso 3.2.2.1.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$y^{2} = \frac{2}{e} (- \frac{x^{3}}{3}) + \frac{2}{e} K$

Paso 3.2.2.1.1.3

Multiplica $\frac{2}{e}$ por $\frac{x^{3}}{3}$ .

$y^{2} = - \frac{2 x^{3}}{e \cdot 3} + \frac{2}{e} K$

Paso 3.2.2.1.1.4

Combina $\frac{2}{e}$ y $K$ .

$y^{2} = - \frac{2 x^{3}}{e \cdot 3} + \frac{2 K}{e}$

Paso 3.2.2.1.2

Mueve $3$ a la izquierda de $e$ .

$y^{2} = - \frac{2 x^{3}}{3 e} + \frac{2 K}{e}$

Paso 3.3

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$y = \pm \sqrt{- \frac{2 x^{3}}{3 e} + \frac{2 K}{e}}$

Paso 3.4

Simplifica $\pm \sqrt{- \frac{2 x^{3}}{3 e} + \frac{2 K}{e}}$ .

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Paso 3.4.1

Para escribir $\frac{2 K}{e}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{- \frac{2 x^{3}}{3 e} + \frac{2 K}{e} \cdot \frac{3}{3}}$

Paso 3.4.2

Escribe cada expresión con un denominador común de $3 e$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 3.4.2.1

Multiplica $\frac{2 K}{e}$ por $\frac{3}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{- \frac{2 x^{3}}{3 e} + \frac{2 K \cdot 3}{e \cdot 3}}$

Paso 3.4.2.2

Reordena los factores de $e \cdot 3$ .

$y = \pm \sqrt{- \frac{2 x^{3}}{3 e} + \frac{2 K \cdot 3}{3 e}}$

Paso 3.4.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \pm \sqrt{\frac{- 2 x^{3} + 2 K \cdot 3}{3 e}}$

Paso 3.4.4

Simplifica el numerador.

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Paso 3.4.4.1

Factoriza $2$ de $- 2 x^{3} + 2 K \cdot 3$ .

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Paso 3.4.4.1.1

Factoriza $2$ de $- 2 x^{3}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{2 (- x^{3}) + 2 K \cdot 3}{3 e}}$

Paso 3.4.4.1.2

Factoriza $2$ de $2 K \cdot 3$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{2 (- x^{3}) + 2 (K \cdot 3)}{3 e}}$

Paso 3.4.4.1.3

Factoriza $2$ de $2 (- x^{3}) + 2 (K \cdot 3)$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{2 (- x^{3} + K \cdot 3)}{3 e}}$

Paso 3.4.4.2

Mueve $3$ a la izquierda de $K$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{2 (- x^{3} + 3 K)}{3 e}}$

Paso 3.4.5

Reescribe $\sqrt{\frac{2 (- x^{3} + 3 K)}{3 e}}$ como $\frac{\sqrt{2 (- x^{3} + 3 K)}}{\sqrt{3 e}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (- x^{3} + 3 K)}}{\sqrt{3 e}}$

Paso 3.4.6

Multiplica $\frac{\sqrt{2 (- x^{3} + 3 K)}}{\sqrt{3 e}}$ por $\frac{\sqrt{3 e}}{\sqrt{3 e}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (- x^{3} + 3 K)}}{\sqrt{3 e}} \cdot \frac{\sqrt{3 e}}{\sqrt{3 e}}$

Paso 3.4.7

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 3.4.7.1

Multiplica $\frac{\sqrt{2 (- x^{3} + 3 K)}}{\sqrt{3 e}}$ por $\frac{\sqrt{3 e}}{\sqrt{3 e}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (- x^{3} + 3 K)} \sqrt{3 e}}{\sqrt{3 e} \sqrt{3 e}}$

Paso 3.4.7.2

Eleva $\sqrt{3 e}$ a la potencia de $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (- x^{3} + 3 K)} \sqrt{3 e}}{{\sqrt{3 e}}^{1} \sqrt{3 e}}$

Paso 3.4.7.3

Eleva $\sqrt{3 e}$ a la potencia de $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (- x^{3} + 3 K)} \sqrt{3 e}}{{\sqrt{3 e}}^{1} {\sqrt{3 e}}^{1}}$

Paso 3.4.7.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (- x^{3} + 3 K)} \sqrt{3 e}}{{\sqrt{3 e}}^{1 + 1}}$

Paso 3.4.7.5

Suma $1$ y $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (- x^{3} + 3 K)} \sqrt{3 e}}{{\sqrt{3 e}}^{2}}$

Paso 3.4.7.6

Reescribe ${\sqrt{3 e}}^{2}$ como $3 e$ .

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Paso 3.4.7.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3 e}$ como ${(3 e)}^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (- x^{3} + 3 K)} \sqrt{3 e}}{{({(3 e)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 3.4.7.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (- x^{3} + 3 K)} \sqrt{3 e}}{{(3 e)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 3.4.7.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (- x^{3} + 3 K)} \sqrt{3 e}}{{(3 e)}^{\frac{2}{2}}}$

Paso 3.4.7.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.4.7.6.4.1

Cancela el factor común.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (- x^{3} + 3 K)} \sqrt{3 e}}{{(3 e)}^{\frac{2}{2}}}$

Paso 3.4.7.6.4.2

Reescribe la expresión.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (- x^{3} + 3 K)} \sqrt{3 e}}{{(3 e)}^{1}}$

Paso 3.4.7.6.5

Simplifica.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (- x^{3} + 3 K)} \sqrt{3 e}}{3 e}$

Paso 3.4.8

Simplifica el numerador.

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Paso 3.4.8.1

Combina con la regla del producto para radicales.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (- x^{3} + 3 K) (3 e)}}{3 e}$

Paso 3.4.8.2

Multiplica $3$ por $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{6 (- x^{3} + 3 K) e}}{3 e}$

Paso 3.4.9

Reordena los factores en $\pm \frac{\sqrt{6 (- x^{3} + 3 K) e}}{3 e}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{6 e (- x^{3} + 3 K)}}{3 e}$

Paso 3.5

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 3.5.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$y = \frac{\sqrt{6 e (- x^{3} + 3 K)}}{3 e}$

Paso 3.5.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$y = - \frac{\sqrt{6 e (- x^{3} + 3 K)}}{3 e}$

Paso 3.5.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$y = \frac{\sqrt{6 e (- x^{3} + 3 K)}}{3 e}$

$y = - \frac{\sqrt{6 e (- x^{3} + 3 K)}}{3 e}$

$y = \frac{\sqrt{6 e (- x^{3} + 3 K)}}{3 e}$

$y = - \frac{\sqrt{6 e (- x^{3} + 3 K)}}{3 e}$

$y = \frac{\sqrt{6 e (- x^{3} + 3 K)}}{3 e}$

$y = - \frac{\sqrt{6 e (- x^{3} + 3 K)}}{3 e}$

Paso 4

Simplifica la constante de integración.

$y = \frac{\sqrt{6 e (- x^{3} + K)}}{3 e}$

$y = - \frac{\sqrt{6 e (- x^{3} + K)}}{3 e}$