Cálculo Ejemplos

$y = x^{2} + 4 x$ solve $x \frac{d y}{d x} = x^{2} + y$

Paso 1

Reescribe la ecuación diferencial.

$x y' = x^{2} + y$

Paso 2

Obtén $y'$ .

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Paso 2.1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (x^{2} + 4 x)$

Paso 2.2

La derivada de $y$ con respecto a $x$ es $y'$ .

$y'$

Paso 2.3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 2.3.1

Diferencia.

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Paso 2.3.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + 4 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x]$

Paso 2.3.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [4 x]$

Paso 2.3.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

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Paso 2.3.2.1

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x + 4 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.3.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 x + 4 \cdot 1$

Paso 2.3.2.3

Multiplica $4$ por $1$ .

$2 x + 4$

Paso 2.4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$y' = 2 x + 4$

Paso 3

Sustituye en la ecuación diferencial dada.

$x (2 x + 4) = x^{2} + x^{2} + 4 x$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x (2 x) + x \cdot 4 = x^{2} + x^{2} + 4 x$

Paso 4.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$2 x \cdot x + x \cdot 4 = x^{2} + x^{2} + 4 x$

Paso 4.3

Mueve $4$ a la izquierda de $x$ .

$2 x \cdot x + 4 \cdot x = x^{2} + x^{2} + 4 x$

Paso 4.4

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 4.4.1

Mueve $x$ .

$2 (x \cdot x) + 4 \cdot x = x^{2} + x^{2} + 4 x$

Paso 4.4.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$2 x^{2} + 4 \cdot x = x^{2} + x^{2} + 4 x$

$2 x^{2} + 4 x = x^{2} + x^{2} + 4 x$

Paso 4.5

Suma $x^{2}$ y $x^{2}$ .

$2 x^{2} + 4 x = 2 x^{2} + 4 x$

Paso 5

La solución dada satisface la ecuación diferencial dada.

$y = x^{2} + 4 x$ es una solución para $x y' = x^{2} + y$