Cálculo Ejemplos

$(x - 34) \frac{d y}{d x} - y = {(x - 34)}^{3}$

Paso 1

Reescribe la ecuación diferencial como $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

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Paso 1.1

Divide cada término en $(x - 34) \frac{d y}{d x} - y = {(x - 34)}^{3}$ por $x - 34$ .

$\frac{(x - 34) \frac{d y}{d x}}{x - 34} + \frac{- y}{x - 34} = \frac{{(x - 34)}^{3}}{x - 34}$

Paso 1.2

Cancela el factor común de $x - 34$ .

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Paso 1.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{(x - 34) \frac{d y}{d x}}{x - 34} + \frac{- y}{x - 34} = \frac{{(x - 34)}^{3}}{x - 34}$

Paso 1.2.2

Divide $\frac{d y}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{x - 34} = \frac{{(x - 34)}^{3}}{x - 34}$

Paso 1.3

Cancela el factor común de ${(x - 34)}^{3}$ y $x - 34$ .

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Paso 1.3.1

Factoriza $x - 34$ de ${(x - 34)}^{3}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{x - 34} = \frac{(x - 34) {(x - 34)}^{2}}{x - 34}$

Paso 1.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.3.2.1

Multiplica por $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{x - 34} = \frac{(x - 34) {(x - 34)}^{2}}{(x - 34) \cdot 1}$

Paso 1.3.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{x - 34} = \frac{(x - 34) {(x - 34)}^{2}}{(x - 34) \cdot 1}$

Paso 1.3.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{x - 34} = \frac{{(x - 34)}^{2}}{1}$

Paso 1.3.2.4

Divide ${(x - 34)}^{2}$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{x - 34} = {(x - 34)}^{2}$

Paso 1.4

Factoriza $y$ de $\frac{- y}{x - 34}$ .

$\frac{d y}{d x} + y \frac{- 1}{x - 34} = {(x - 34)}^{2}$

Paso 1.5

Reordena $y$ y $\frac{- 1}{x - 34}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 1}{x - 34} y = {(x - 34)}^{2}$

Paso 2

El factor integrador se define mediante la fórmula $e^{\int P (x) d x}$ , donde $P (x) = \frac{- 1}{x - 34}$ .

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Paso 2.1

Establece la integración.

$e^{\int \frac{- 1}{x - 34} d x}$

Paso 2.2

Integra $\frac{- 1}{x - 34}$ .

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Paso 2.2.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$e^{\int - \frac{1}{x - 34} d x}$

Paso 2.2.2

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$e^{- \int \frac{1}{x - 34} d x}$

Paso 2.2.3

Sea $u = x - 34$ . Entonces $d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.2.3.1

Deja $u = x - 34$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 2.2.3.1.1

Diferencia $x - 34$ .

$\frac{d}{d x} [x - 34]$

Paso 2.2.3.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 34$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 34]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 34]$

Paso 2.2.3.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 34]$

Paso 2.2.3.1.4

Como $- 34$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 34$ con respecto a $x$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 2.2.3.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 2.2.3.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$e^{- \int \frac{1}{u} d u}$

Paso 2.2.4

La integral de $\frac{1}{u}$ con respecto a $u$ es $\ln (| u |)$ .

$e^{- (\ln (| u |) + C)}$

Paso 2.2.5

Simplifica.

$e^{- \ln (| u |) + C}$

Paso 2.2.6

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x - 34$ .

$e^{- \ln (| x - 34 |) + C}$

Paso 2.3

Elimina la constante de integración.

$e^{- \ln (x - 34)}$

Paso 2.4

Usa la regla de la potencia del logaritmo.

$e^{\ln ({(x - 34)}^{- 1})}$

Paso 2.5

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

${(x - 34)}^{- 1}$

Paso 2.6

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x - 34}$

Paso 3

Multiplica cada término por el factor integrador $\frac{1}{x - 34}$ .

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Paso 3.1

Multiplica cada término por $\frac{1}{x - 34}$ .

$\frac{1}{x - 34} \frac{d y}{d x} + \frac{1}{x - 34} (\frac{- 1}{x - 34} y) = \frac{1}{x - 34} {(x - 34)}^{2}$

Paso 3.2

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.1

Combina $\frac{1}{x - 34}$ y $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x - 34} + \frac{1}{x - 34} (\frac{- 1}{x - 34} y) = \frac{1}{x - 34} {(x - 34)}^{2}$

Paso 3.2.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x - 34} + \frac{1}{x - 34} (- \frac{1}{x - 34} y) = \frac{1}{x - 34} {(x - 34)}^{2}$

Paso 3.2.3

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x - 34} - \frac{1}{x - 34} (\frac{1}{x - 34} y) = \frac{1}{x - 34} {(x - 34)}^{2}$

Paso 3.2.4

Combina $\frac{1}{x - 34}$ y $y$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x - 34} - \frac{1}{x - 34} \cdot \frac{y}{x - 34} = \frac{1}{x - 34} {(x - 34)}^{2}$

Paso 3.2.5

Multiplica $- \frac{1}{x - 34} \cdot \frac{y}{x - 34}$ .

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Paso 3.2.5.1

Multiplica $\frac{y}{x - 34}$ por $\frac{1}{x - 34}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x - 34} - \frac{y}{(x - 34) (x - 34)} = \frac{1}{x - 34} {(x - 34)}^{2}$

Paso 3.2.5.2

Eleva $x - 34$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x - 34} - \frac{y}{{(x - 34)}^{1} (x - 34)} = \frac{1}{x - 34} {(x - 34)}^{2}$

Paso 3.2.5.3

Eleva $x - 34$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x - 34} - \frac{y}{{(x - 34)}^{1} {(x - 34)}^{1}} = \frac{1}{x - 34} {(x - 34)}^{2}$

Paso 3.2.5.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x - 34} - \frac{y}{{(x - 34)}^{1 + 1}} = \frac{1}{x - 34} {(x - 34)}^{2}$

Paso 3.2.5.5

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x - 34} - \frac{y}{{(x - 34)}^{2}} = \frac{1}{x - 34} {(x - 34)}^{2}$

Paso 3.3

Para escribir $\frac{\frac{d y}{d x}}{x - 34}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x - 34}{x - 34}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x - 34} \cdot \frac{x - 34}{x - 34} - \frac{y}{{(x - 34)}^{2}} = \frac{1}{x - 34} {(x - 34)}^{2}$

Paso 3.4

Escribe cada expresión con un denominador común de ${(x - 34)}^{2}$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 3.4.1

Multiplica $\frac{\frac{d y}{d x}}{x - 34}$ por $\frac{x - 34}{x - 34}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x} (x - 34)}{(x - 34) (x - 34)} - \frac{y}{{(x - 34)}^{2}} = \frac{1}{x - 34} {(x - 34)}^{2}$

Paso 3.4.2

Eleva $x - 34$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x} (x - 34)}{{(x - 34)}^{1} (x - 34)} - \frac{y}{{(x - 34)}^{2}} = \frac{1}{x - 34} {(x - 34)}^{2}$

Paso 3.4.3

Eleva $x - 34$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x} (x - 34)}{{(x - 34)}^{1} {(x - 34)}^{1}} - \frac{y}{{(x - 34)}^{2}} = \frac{1}{x - 34} {(x - 34)}^{2}$

Paso 3.4.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{\frac{d y}{d x} (x - 34)}{{(x - 34)}^{1 + 1}} - \frac{y}{{(x - 34)}^{2}} = \frac{1}{x - 34} {(x - 34)}^{2}$

Paso 3.4.5

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x} (x - 34)}{{(x - 34)}^{2}} - \frac{y}{{(x - 34)}^{2}} = \frac{1}{x - 34} {(x - 34)}^{2}$

Paso 3.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\frac{d y}{d x} (x - 34) - y}{{(x - 34)}^{2}} = \frac{1}{x - 34} {(x - 34)}^{2}$

Paso 3.6

Simplifica el numerador.

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Paso 3.6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\frac{d y}{d x} x + \frac{d y}{d x} \cdot - 34 - y}{{(x - 34)}^{2}} = \frac{1}{x - 34} {(x - 34)}^{2}$

Paso 3.6.2

Mueve $- 34$ a la izquierda de $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x} x - 34 \frac{d y}{d x} - y}{{(x - 34)}^{2}} = \frac{1}{x - 34} {(x - 34)}^{2}$

Paso 3.7

Cancela el factor común de $x - 34$ .

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Paso 3.7.1

Factoriza $x - 34$ de ${(x - 34)}^{2}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x} x - 34 \frac{d y}{d x} - y}{{(x - 34)}^{2}} = \frac{1}{x - 34} ((x - 34) (x - 34))$

Paso 3.7.2

Cancela el factor común.

$\frac{\frac{d y}{d x} x - 34 \frac{d y}{d x} - y}{{(x - 34)}^{2}} = \frac{1}{x - 34} ((x - 34) (x - 34))$

Paso 3.7.3

Reescribe la expresión.

$\frac{\frac{d y}{d x} x - 34 \frac{d y}{d x} - y}{{(x - 34)}^{2}} = x - 34$

Paso 3.8

Reordena los factores en $\frac{\frac{d y}{d x} x - 34 \frac{d y}{d x} - y}{{(x - 34)}^{2}} = x - 34$ .

$\frac{x \frac{d y}{d x} - 34 \frac{d y}{d x} - y}{{(x - 34)}^{2}} = x - 34$

Paso 4

Reescribe el lado izquierdo como resultado de la diferenciación de un producto.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x - 34} y] = x - 34$

Paso 5

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [\frac{1}{x - 34} y] d x = \int x - 34 d x$

Paso 6

Integra el lado izquierdo.

$\frac{1}{x - 34} y = \int x - 34 d x$

Paso 7

Integra el lado derecho.

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Paso 7.1

Divide la única integral en varias integrales.

$\frac{1}{x - 34} y = \int x d x + \int - 34 d x$

Paso 7.2

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{x - 34} y = \frac{1}{2} x^{2} + C + \int - 34 d x$

Paso 7.3

Aplica la regla de la constante.

$\frac{1}{x - 34} y = \frac{1}{2} x^{2} + C - 34 x + C$

Paso 7.4

Simplifica.

$\frac{1}{x - 34} y = \frac{1}{2} x^{2} - 34 x + C$

Paso 8

Resuelve $y$

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Paso 8.1

Combina $\frac{1}{x - 34}$ y $y$ .

$\frac{y}{x - 34} = \frac{1}{2} x^{2} - 34 x + C$

Paso 8.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{2}$ .

$\frac{y}{x - 34} = \frac{x^{2}}{2} - 34 x + C$

Paso 8.3

Multiplica ambos lados por $x - 34$ .

$\frac{y}{x - 34} (x - 34) = (\frac{x^{2}}{2} - 34 x + C) (x - 34)$

Paso 8.4

Simplifica.

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Paso 8.4.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 8.4.1.1

Cancela el factor común de $x - 34$ .

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Paso 8.4.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y}{x - 34} (x - 34) = (\frac{x^{2}}{2} - 34 x + C) (x - 34)$

Paso 8.4.1.1.2

Reescribe la expresión.

$y = (\frac{x^{2}}{2} - 34 x + C) (x - 34)$

Paso 8.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 8.4.2.1

Simplifica $(\frac{x^{2}}{2} - 34 x + C) (x - 34)$ .

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Paso 8.4.2.1.1

Expande $(\frac{x^{2}}{2} - 34 x + C) (x - 34)$ mediante la multiplicación de cada término de la primera expresión por cada término de la segunda expresión.

$y = \frac{x^{2}}{2} x + \frac{x^{2}}{2} \cdot - 34 - 34 x \cdot x - 34 x \cdot - 34 + C x + C \cdot - 34$

Paso 8.4.2.1.2

Simplifica los términos.

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Paso 8.4.2.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 8.4.2.1.2.1.1

Multiplica $\frac{x^{2}}{2} x$ .

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Paso 8.4.2.1.2.1.1.1

Combina $\frac{x^{2}}{2}$ y $x$ .

$y = \frac{x^{2} x}{2} + \frac{x^{2}}{2} \cdot - 34 - 34 x \cdot x - 34 x \cdot - 34 + C x + C \cdot - 34$

Paso 8.4.2.1.2.1.1.2

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 8.4.2.1.2.1.1.2.1

Multiplica $x^{2}$ por $x$ .

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Paso 8.4.2.1.2.1.1.2.1.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$y = \frac{x^{2} x^{1}}{2} + \frac{x^{2}}{2} \cdot - 34 - 34 x \cdot x - 34 x \cdot - 34 + C x + C \cdot - 34$

Paso 8.4.2.1.2.1.1.2.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$y = \frac{x^{2 + 1}}{2} + \frac{x^{2}}{2} \cdot - 34 - 34 x \cdot x - 34 x \cdot - 34 + C x + C \cdot - 34$

Paso 8.4.2.1.2.1.1.2.2

Suma $2$ y $1$ .

$y = \frac{x^{3}}{2} + \frac{x^{2}}{2} \cdot - 34 - 34 x \cdot x - 34 x \cdot - 34 + C x + C \cdot - 34$

Paso 8.4.2.1.2.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 8.4.2.1.2.1.2.1

Factoriza $2$ de $- 34$ .

$y = \frac{x^{3}}{2} + \frac{x^{2}}{2} \cdot (2 (- 17)) - 34 x \cdot x - 34 x \cdot - 34 + C x + C \cdot - 34$

Paso 8.4.2.1.2.1.2.2

Cancela el factor común.

$y = \frac{x^{3}}{2} + \frac{x^{2}}{2} \cdot (2 \cdot - 17) - 34 x \cdot x - 34 x \cdot - 34 + C x + C \cdot - 34$

Paso 8.4.2.1.2.1.2.3

Reescribe la expresión.

$y = \frac{x^{3}}{2} + x^{2} \cdot - 17 - 34 x \cdot x - 34 x \cdot - 34 + C x + C \cdot - 34$

Paso 8.4.2.1.2.1.3

Mueve $- 17$ a la izquierda de $x^{2}$ .

$y = \frac{x^{3}}{2} - 17 \cdot x^{2} - 34 x \cdot x - 34 x \cdot - 34 + C x + C \cdot - 34$

Paso 8.4.2.1.2.1.4

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 8.4.2.1.2.1.4.1

Mueve $x$ .

$y = \frac{x^{3}}{2} - 17 x^{2} - 34 (x \cdot x) - 34 x \cdot - 34 + C x + C \cdot - 34$

Paso 8.4.2.1.2.1.4.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$y = \frac{x^{3}}{2} - 17 x^{2} - 34 x^{2} - 34 x \cdot - 34 + C x + C \cdot - 34$

Paso 8.4.2.1.2.1.5

Multiplica $- 34$ por $- 34$ .

$y = \frac{x^{3}}{2} - 17 x^{2} - 34 x^{2} + 1156 x + C x + C \cdot - 34$

Paso 8.4.2.1.2.1.6

Mueve $- 34$ a la izquierda de $C$ .

$y = \frac{x^{3}}{2} - 17 x^{2} - 34 x^{2} + 1156 x + C x - 34 C$

Paso 8.4.2.1.2.2

Simplifica mediante la adición de términos.

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Paso 8.4.2.1.2.2.1

Resta $34 x^{2}$ de $- 17 x^{2}$ .

$y = \frac{x^{3}}{2} - 51 x^{2} + 1156 x + C x - 34 C$

Paso 8.4.2.1.2.2.2

Reordena.

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Paso 8.4.2.1.2.2.2.1

Mueve $1156 x$ .

$y = \frac{x^{3}}{2} - 51 x^{2} + C x - 34 C + 1156 x$

Paso 8.4.2.1.2.2.2.2

Mueve $- 51 x^{2}$ .

$y = \frac{x^{3}}{2} + C x - 51 x^{2} - 34 C + 1156 x$