Cálculo Ejemplos

$x + y \frac{d y}{d x} = 2$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Resuelve $\frac{d y}{d x}$

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Paso 1.1.1

Resta $x$ de ambos lados de la ecuación.

$y \frac{d y}{d x} = 2 - x$

Paso 1.1.2

Divide cada término en $y \frac{d y}{d x} = 2 - x$ por $y$ y simplifica.

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Paso 1.1.2.1

Divide cada término en $y \frac{d y}{d x} = 2 - x$ por $y$ .

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{2}{y} + \frac{- x}{y}$

Paso 1.1.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.1.2.2.1

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 1.1.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{2}{y} + \frac{- x}{y}$

Paso 1.1.2.2.1.2

Divide $\frac{d y}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2}{y} + \frac{- x}{y}$

Paso 1.1.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.1.2.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2}{y} - \frac{x}{y}$

Paso 1.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 - x}{y}$

Paso 1.3

Multiplica ambos lados por $y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{2 - x}{y}$

Paso 1.4

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 1.4.1

Cancela el factor común.

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{2 - x}{y}$

Paso 1.4.2

Reescribe la expresión.

$y \frac{d y}{d x} = 2 - x$

Paso 1.5

Reescribe la ecuación.

$y d y = (2 - x) d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int y d y = \int 2 - x d x$

Paso 2.2

Según la regla de la potencia, la integral de $y$ con respecto a $y$ es $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int 2 - x d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Divide la única integral en varias integrales.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int 2 d x + \int - x d x$

Paso 2.3.2

Aplica la regla de la constante.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = 2 x + C_{2} + \int - x d x$

Paso 2.3.3

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = 2 x + C_{2} - \int x d x$

Paso 2.3.4

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = 2 x + C_{2} - (\frac{1}{2} x^{2} + C_{3})$

Paso 2.3.5

Simplifica.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = 2 x - \frac{1}{2} x^{2} + C_{4}$

Paso 2.3.6

Reordena los términos.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{2} x^{2} + 2 x + C_{4}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$\frac{1}{2} y^{2} = - \frac{1}{2} x^{2} + 2 x + K$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Multiplica ambos lados de la ecuación por $2$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (- \frac{1}{2} x^{2} + 2 x + K)$

Paso 3.2

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 3.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.1.1

Simplifica $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ .

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Paso 3.2.1.1.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $y^{2}$ .

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- \frac{1}{2} x^{2} + 2 x + K)$

Paso 3.2.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- \frac{1}{2} x^{2} + 2 x + K)$

Paso 3.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$y^{2} = 2 (- \frac{1}{2} x^{2} + 2 x + K)$

Paso 3.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.2.1

Simplifica $2 (- \frac{1}{2} x^{2} + 2 x + K)$ .

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Paso 3.2.2.1.1

Combina $x^{2}$ y $\frac{1}{2}$ .

$y^{2} = 2 (- \frac{x^{2}}{2} + 2 x + K)$

Paso 3.2.2.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$y^{2} = 2 (- \frac{x^{2}}{2}) + 2 (2 x) + 2 K$

Paso 3.2.2.1.3

Simplifica.

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Paso 3.2.2.1.3.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.2.2.1.3.1.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{x^{2}}{2}$ al numerador.

$y^{2} = 2 \frac{- x^{2}}{2} + 2 (2 x) + 2 K$

Paso 3.2.2.1.3.1.2

Cancela el factor común.

$y^{2} = 2 \frac{- x^{2}}{2} + 2 (2 x) + 2 K$

Paso 3.2.2.1.3.1.3

Reescribe la expresión.

$y^{2} = - x^{2} + 2 (2 x) + 2 K$

Paso 3.2.2.1.3.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$y^{2} = - x^{2} + 4 x + 2 K$

Paso 3.3

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$y = \pm \sqrt{- x^{2} + 4 x + 2 K}$

Paso 3.4

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 3.4.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$y = \sqrt{- x^{2} + 4 x + 2 K}$

Paso 3.4.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$y = - \sqrt{- x^{2} + 4 x + 2 K}$

Paso 3.4.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$y = \sqrt{- x^{2} + 4 x + 2 K}$

$y = - \sqrt{- x^{2} + 4 x + 2 K}$

$y = \sqrt{- x^{2} + 4 x + 2 K}$

$y = - \sqrt{- x^{2} + 4 x + 2 K}$

$y = \sqrt{- x^{2} + 4 x + 2 K}$

$y = - \sqrt{- x^{2} + 4 x + 2 K}$

Paso 4

Simplifica la constante de integración.

$y = \sqrt{- x^{2} + 4 x + K}$

$y = - \sqrt{- x^{2} + 4 x + K}$