Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = 2 x - \frac{1}{x^{2}}$

Paso 1

Reescribe la ecuación.

$d y = (2 x - \frac{1}{x^{2}}) d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int d y = \int 2 x - \frac{1}{x^{2}} d x$

Paso 2.2

Aplica la regla de la constante.

$y + C_{1} = \int 2 x - \frac{1}{x^{2}} d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Divide la única integral en varias integrales.

$y + C_{1} = \int 2 x d x + \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

Paso 2.3.2

Dado que $2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$y + C_{1} = 2 \int x d x + \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

Paso 2.3.3

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$y + C_{1} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) + \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

Paso 2.3.4

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$y + C_{1} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) - \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Paso 2.3.5

Simplifica la expresión.

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Paso 2.3.5.1

Mueve $x^{2}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$y + C_{1} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) - \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

Paso 2.3.5.2

Simplifica.

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Paso 2.3.5.2.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{2}$ .

$y + C_{1} = 2 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) - \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

Paso 2.3.5.2.2

Multiplica los exponentes en ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Paso 2.3.5.2.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y + C_{1} = 2 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) - \int x^{2 \cdot - 1} d x$

Paso 2.3.5.2.2.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$y + C_{1} = 2 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) - \int x^{- 2} d x$

Paso 2.3.6

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{- 2}$ con respecto a $x$ es $- x^{- 1}$ .

$y + C_{1} = 2 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) - (- x^{- 1} + C_{3})$

Paso 2.3.7

Simplifica.

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Paso 2.3.7.1

Simplifica.

$y + C_{1} = x^{2} - - x^{- 1} + C_{4}$

Paso 2.3.7.2

Simplifica.

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Paso 2.3.7.2.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$y + C_{1} = x^{2} + 1 x^{- 1} + C_{4}$

Paso 2.3.7.2.2

Multiplica $x^{- 1}$ por $1$ .

$y + C_{1} = x^{2} + x^{- 1} + C_{4}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$y = x^{2} + x^{- 1} + K$