Cálculo Ejemplos

$(e^{x} + y^{2}) d x + (x y - \frac{e^{x}}{y} - 2 y^{2}) d y = 0$

Paso 1

Obtén $\frac{\partial M}{\partial y}$ donde $M (x, y) = e^{x} + y^{2}$ .

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Paso 1.1

Diferencia $M$ con respecto a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [e^{x} + y^{2}]$

Paso 1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $e^{x} + y^{2}$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [e^{x}] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [e^{x}] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Paso 1.3

Como $e^{x}$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $e^{x}$ con respecto a $y$ es $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Paso 1.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 y$

Paso 1.5

Suma $0$ y $2 y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y$

Paso 2

Obtén $\frac{\partial N}{\partial x}$ donde $N (x, y) = x y - \frac{e^{x}}{y} - 2 y^{2}$ .

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Paso 2.1

Diferencia $N$ con respecto a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x y - \frac{e^{x}}{y} - 2 y^{2}]$

Paso 2.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x y - \frac{e^{x}}{y} - 2 y^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- \frac{e^{x}}{y}] + \frac{d}{d x} [- 2 y^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- \frac{e^{x}}{y}] + \frac{d}{d x} [- 2 y^{2}]$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [x y]$ .

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Paso 2.3.1

Como $y$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $x y$ con respecto a $x$ es $y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{e^{x}}{y}] + \frac{d}{d x} [- 2 y^{2}]$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \frac{e^{x}}{y}] + \frac{d}{d x} [- 2 y^{2}]$

Paso 2.3.3

Multiplica $y$ por $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y + \frac{d}{d x} [- \frac{e^{x}}{y}] + \frac{d}{d x} [- 2 y^{2}]$

Paso 2.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \frac{e^{x}}{y}]$ .

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Paso 2.4.1

Como $- \frac{1}{y}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{e^{x}}{y}$ con respecto a $x$ es $- \frac{1}{y} \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y - \frac{1}{y} \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 2 y^{2}]$

Paso 2.4.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y - \frac{1}{y} e^{x} + \frac{d}{d x} [- 2 y^{2}]$

Paso 2.4.3

Combina $e^{x}$ y $\frac{1}{y}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y - \frac{e^{x}}{y} + \frac{d}{d x} [- 2 y^{2}]$

Paso 2.5

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 2.5.1

Como $- 2 y^{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2 y^{2}$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y - \frac{e^{x}}{y} + 0$

Paso 2.5.2

Suma $y - \frac{e^{x}}{y}$ y $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y - \frac{e^{x}}{y}$

Paso 3

Comprueba que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Paso 3.1

Sustituye $2 y$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ y $y - \frac{e^{x}}{y}$ para $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$2 y = y - \frac{e^{x}}{y}$

Paso 3.2

Como el lado izquierdo no es igual al lado derecho, la ecuación no es una identidad.

$2 y = y - \frac{e^{x}}{y}$ no es una identidad.

Paso 4

Obtén el factor integrador $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

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Paso 4.1

Sustituye $y - \frac{e^{x}}{y}$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{y - \frac{e^{x}}{y} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Paso 4.2

Sustituye $2 y$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{y - \frac{e^{x}}{y} - (2 y)}{M}$

Paso 4.3

Sustituye $e^{x} + y^{2}$ por $M$ .

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Paso 4.3.1

Sustituye $e^{x} + y^{2}$ por $M$ .

$\frac{y - \frac{e^{x}}{y} - (2 y)}{e^{x} + y^{2}}$

Paso 4.3.2

Multiplica el numerador y el denominador de la fracción por $y$ .

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Paso 4.3.2.1

Multiplica $\frac{y - \frac{e^{x}}{y} - 1 \cdot 2 y}{e^{x} + y^{2}}$ por $\frac{y}{y}$ .

$\frac{y}{y} \cdot \frac{y - \frac{e^{x}}{y} - 1 \cdot 2 y}{e^{x} + y^{2}}$

Paso 4.3.2.2

Combinar.

$\frac{y (y - \frac{e^{x}}{y} - 1 \cdot 2 y)}{y (e^{x} + y^{2})}$

Paso 4.3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{y \cdot y + y (- \frac{e^{x}}{y}) + y (- 1 \cdot 2 y)}{y e^{x} + y \cdot y^{2}}$

Paso 4.3.4

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 4.3.4.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{e^{x}}{y}$ al numerador.

$\frac{y \cdot y + y \frac{- e^{x}}{y} + y (- 1 \cdot 2 y)}{y e^{x} + y \cdot y^{2}}$

Paso 4.3.4.2

Cancela el factor común.

$\frac{y \cdot y + y \frac{- e^{x}}{y} + y (- 1 \cdot 2 y)}{y e^{x} + y \cdot y^{2}}$

Paso 4.3.4.3

Reescribe la expresión.

$\frac{y \cdot y - e^{x} + y (- 1 \cdot 2 y)}{y e^{x} + y \cdot y^{2}}$

Paso 4.3.5

Simplifica el numerador.

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Paso 4.3.5.1

Multiplica $y$ por $y$ .

$\frac{y^{2} - e^{x} + y (- 1 \cdot 2 y)}{y e^{x} + y \cdot y^{2}}$

Paso 4.3.5.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{y^{2} - e^{x} - 1 \cdot 2 y \cdot y}{y e^{x} + y \cdot y^{2}}$

Paso 4.3.5.3

Multiplica $y$ por $y$ sumando los exponentes.

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Paso 4.3.5.3.1

Mueve $y$ .

$\frac{y^{2} - e^{x} - 1 \cdot 2 (y \cdot y)}{y e^{x} + y \cdot y^{2}}$

Paso 4.3.5.3.2

Multiplica $y$ por $y$ .

$\frac{y^{2} - e^{x} - 1 \cdot 2 y^{2}}{y e^{x} + y \cdot y^{2}}$

Paso 4.3.5.4

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{y^{2} - e^{x} - 2 y^{2}}{y e^{x} + y \cdot y^{2}}$

Paso 4.3.5.5

Resta $2 y^{2}$ de $y^{2}$ .

$\frac{- y^{2} - e^{x}}{y e^{x} + y \cdot y^{2}}$

Paso 4.3.6

Factoriza $y$ de $y e^{x} + y \cdot y^{2}$ .

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Paso 4.3.6.1

Factoriza $y$ de $y e^{x}$ .

$\frac{- y^{2} - e^{x}}{y (e^{x}) + y \cdot y^{2}}$

Paso 4.3.6.2

Factoriza $y$ de $y \cdot y^{2}$ .

$\frac{- y^{2} - e^{x}}{y (e^{x}) + y (y^{2})}$

Paso 4.3.6.3

Factoriza $y$ de $y (e^{x}) + y (y^{2})$ .

$\frac{- y^{2} - e^{x}}{y (e^{x} + y^{2})}$

Paso 4.3.7

Cancela el factor común de $- y^{2} - e^{x}$ y $e^{x} + y^{2}$ .

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Paso 4.3.7.1

Factoriza $- 1$ de $- y^{2}$ .

$\frac{- (y^{2}) - e^{x}}{y (e^{x} + y^{2})}$

Paso 4.3.7.2

Factoriza $- 1$ de $- e^{x}$ .

$\frac{- (y^{2}) - (e^{x})}{y (e^{x} + y^{2})}$

Paso 4.3.7.3

Factoriza $- 1$ de $- (y^{2}) - (e^{x})$ .

$\frac{- (y^{2} + e^{x})}{y (e^{x} + y^{2})}$

Paso 4.3.7.4

Reescribe $- (y^{2} + e^{x})$ como $- 1 (y^{2} + e^{x})$ .

$\frac{- 1 (y^{2} + e^{x})}{y (e^{x} + y^{2})}$

Paso 4.3.7.5

Reordena los términos.

$\frac{- 1 (y^{2} + e^{x})}{y (y^{2} + e^{x})}$

Paso 4.3.7.6

Cancela el factor común.

$\frac{- 1 (y^{2} + e^{x})}{y (y^{2} + e^{x})}$

Paso 4.3.7.7

Reescribe la expresión.

$\frac{- 1}{y}$

Paso 4.3.8

Sustituye $e^{x} + y^{2}$ por $M$ .

$- \frac{1}{y}$

Paso 4.4

Obtén el factor integrador $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{1}{y} d y}$

Paso 5

Evalúa la integral $e^{\int - \frac{1}{y} d y}$ .

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Paso 5.1

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $y$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{1}{y} d y}$

Paso 5.2

La integral de $\frac{1}{y}$ con respecto a $y$ es $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{- (\ln (| y |) + C)}$

Paso 5.3

Simplifica.

$μ (x, y) = e^{- \ln (| y |)} + C$

Paso 5.4

Simplifica cada término.

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Paso 5.4.1

Simplifica $- \ln (| y |)$ al mover $- 1$ dentro del algoritmo.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{- 1})} + C$

Paso 5.4.2

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

$μ (x, y) = {| y |}^{- 1} + C$

Paso 5.4.3

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{| y |} + C$

Paso 6

Multiplica ambos lados de $(e^{x} + y^{2}) d x + (x y - \frac{e^{x}}{y} - 2 y^{2}) d y = 0$ por el factor integrador $\frac{1}{y}$ .

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Paso 6.1

Multiplica $e^{x} + y^{2}$ por $\frac{1}{y}$ .

$(e^{x} + y^{2}) \frac{1}{y} d x + (x y - \frac{e^{x}}{y} - 2 y^{2}) d y = 0$

Paso 6.2

Multiplica $e^{x} + y^{2}$ por $\frac{1}{y}$ .

$\frac{e^{x} + y^{2}}{y} d x + (x y - \frac{e^{x}}{y} - 2 y^{2}) d y = 0$

Paso 6.3

Multiplica $x y - \frac{e^{x}}{y} - 2 y^{2}$ por $\frac{1}{y}$ .

$\frac{e^{x} + y^{2}}{y} d x + (x y - \frac{e^{x}}{y} - 2 y^{2}) \frac{1}{y} d y = 0$

Paso 6.4

Multiplica $x y - \frac{e^{x}}{y} - 2 y^{2}$ por $\frac{1}{y}$ .

$\frac{e^{x} + y^{2}}{y} d x + \frac{x y - \frac{e^{x}}{y} - 2 y^{2}}{y} d y = 0$

Paso 6.5

Simplifica el numerador.

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Paso 6.5.1

Para escribir $x y$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{y}{y}$ .

$\frac{e^{x} + y^{2}}{y} d x + \frac{\frac{x y \cdot y}{y} - \frac{e^{x}}{y} - 2 y^{2}}{y} d y = 0$

Paso 6.5.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{e^{x} + y^{2}}{y} d x + \frac{\frac{x y \cdot y - e^{x}}{y} - 2 y^{2}}{y} d y = 0$

Paso 6.5.3

Multiplica $y$ por $y$ sumando los exponentes.

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Paso 6.5.3.1

Mueve $y$ .

$\frac{e^{x} + y^{2}}{y} d x + \frac{\frac{x (y \cdot y) - e^{x}}{y} - 2 y^{2}}{y} d y = 0$

Paso 6.5.3.2

Multiplica $y$ por $y$ .

$\frac{e^{x} + y^{2}}{y} d x + \frac{\frac{x y^{2} - e^{x}}{y} - 2 y^{2}}{y} d y = 0$

Paso 6.5.4

Para escribir $- 2 y^{2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{y}{y}$ .

$\frac{e^{x} + y^{2}}{y} d x + \frac{\frac{x y^{2} - e^{x}}{y} - 2 y^{2} \cdot \frac{y}{y}}{y} d y = 0$

Paso 6.5.5

Combina $- 2 y^{2}$ y $\frac{y}{y}$ .

$\frac{e^{x} + y^{2}}{y} d x + \frac{\frac{x y^{2} - e^{x}}{y} + \frac{- 2 y^{2} y}{y}}{y} d y = 0$

Paso 6.5.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{e^{x} + y^{2}}{y} d x + \frac{\frac{x y^{2} - e^{x} - 2 y^{2} y}{y}}{y} d y = 0$

Paso 6.5.7

Multiplica $y^{2}$ por $y$ sumando los exponentes.

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Paso 6.5.7.1

Mueve $y$ .

$\frac{e^{x} + y^{2}}{y} d x + \frac{\frac{x y^{2} - e^{x} - 2 (y \cdot y^{2})}{y}}{y} d y = 0$

Paso 6.5.7.2

Multiplica $y$ por $y^{2}$ .

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Paso 6.5.7.2.1

Eleva $y$ a la potencia de $1$ .

$\frac{e^{x} + y^{2}}{y} d x + \frac{\frac{x y^{2} - e^{x} - 2 (y^{1} y^{2})}{y}}{y} d y = 0$

Paso 6.5.7.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{e^{x} + y^{2}}{y} d x + \frac{\frac{x y^{2} - e^{x} - 2 y^{1 + 2}}{y}}{y} d y = 0$

Paso 6.5.7.3

Suma $1$ y $2$ .

$\frac{e^{x} + y^{2}}{y} d x + \frac{\frac{x y^{2} - e^{x} - 2 y^{3}}{y}}{y} d y = 0$

Paso 6.6

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{e^{x} + y^{2}}{y} d x + \frac{x y^{2} - e^{x} - 2 y^{3}}{y} \cdot \frac{1}{y} d y = 0$

Paso 6.7

Multiplica $\frac{x y^{2} - e^{x} - 2 y^{3}}{y} \cdot \frac{1}{y}$ .

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Paso 6.7.1

Multiplica $\frac{x y^{2} - e^{x} - 2 y^{3}}{y}$ por $\frac{1}{y}$ .

$\frac{e^{x} + y^{2}}{y} d x + \frac{x y^{2} - e^{x} - 2 y^{3}}{y \cdot y} d y = 0$

Paso 6.7.2

Eleva $y$ a la potencia de $1$ .

$\frac{e^{x} + y^{2}}{y} d x + \frac{x y^{2} - e^{x} - 2 y^{3}}{y^{1} y} d y = 0$

Paso 6.7.3

Eleva $y$ a la potencia de $1$ .

$\frac{e^{x} + y^{2}}{y} d x + \frac{x y^{2} - e^{x} - 2 y^{3}}{y^{1} y^{1}} d y = 0$

Paso 6.7.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{e^{x} + y^{2}}{y} d x + \frac{x y^{2} - e^{x} - 2 y^{3}}{y^{1 + 1}} d y = 0$

Paso 6.7.5

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{e^{x} + y^{2}}{y} d x + \frac{x y^{2} - e^{x} - 2 y^{3}}{y^{2}} d y = 0$

Paso 7

Establece $f (x, y)$ igual a la integral de $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \frac{e^{x} + y^{2}}{y} d x$

Paso 8

Integra $M (x, y) = \frac{e^{x} + y^{2}}{y}$ para obtener $f (x, y)$ .

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Paso 8.1

Divide la fracción en varias fracciones.

$f (x, y) = \int \frac{e^{x}}{y} + \frac{y^{2}}{y} d x$

Paso 8.2

Divide la única integral en varias integrales.

$f (x, y) = \int \frac{e^{x}}{y} d x + \int \frac{y^{2}}{y} d x$

Paso 8.3

Cancela el factor común de $y^{2}$ y $y$ .

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Paso 8.3.1

Factoriza $y$ de $y^{2}$ .

$f (x, y) = \int \frac{e^{x}}{y} d x + \int \frac{y \cdot y}{y} d x$

Paso 8.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 8.3.2.1

Eleva $y$ a la potencia de $1$ .

$f (x, y) = \int \frac{e^{x}}{y} d x + \int \frac{y \cdot y}{y^{1}} d x$

Paso 8.3.2.2

Factoriza $y$ de $y^{1}$ .

$f (x, y) = \int \frac{e^{x}}{y} d x + \int \frac{y \cdot y}{y \cdot 1} d x$

Paso 8.3.2.3

Cancela el factor común.

$f (x, y) = \int \frac{e^{x}}{y} d x + \int \frac{y \cdot y}{y \cdot 1} d x$

Paso 8.3.2.4

Reescribe la expresión.

$f (x, y) = \int \frac{e^{x}}{y} d x + \int \frac{y}{1} d x$

Paso 8.3.2.5

Divide $y$ por $1$ .

$f (x, y) = \int \frac{e^{x}}{y} d x + \int y d x$

Paso 8.4

Dado que $\frac{1}{y}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{1}{y}$ fuera de la integral.

$f (x, y) = \frac{1}{y} \int e^{x} d x + \int y d x$

Paso 8.5

La integral de $e^{x}$ con respecto a $x$ es $e^{x}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{y} (e^{x} + C) + \int y d x$

Paso 8.6

Aplica la regla de la constante.

$f (x, y) = \frac{1}{y} (e^{x} + C) + y x + C$

Paso 8.7

Simplifica.

$f (x, y) = \frac{e^{x}}{y} + y x + C$

Paso 9

Como la integral de $g (y)$ , contendrá una constante de integración, podemos reemplazar $C$ con $g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{e^{x}}{y} + y x + g (y)$

Paso 10

Establece $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{x y^{2} - e^{x} - 2 y^{3}}{y^{2}}$

Paso 11

Obtén $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

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Paso 11.1

Diferencia $f$ con respecto a $y$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{e^{x}}{y} + y x + g (y)] = \frac{x y^{2} - e^{x} - 2 y^{3}}{y^{2}}$

Paso 11.2

Según la regla de la suma, la derivada de $\frac{e^{x}}{y} + y x + g (y)$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [\frac{e^{x}}{y}] + \frac{d}{d y} [y x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{e^{x}}{y}] + \frac{d}{d y} [y x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y^{2} - e^{x} - 2 y^{3}}{y^{2}}$

Paso 11.3

Evalúa $\frac{d}{d y} [\frac{e^{x}}{y}]$ .

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Paso 11.3.1

Como $e^{x}$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $\frac{e^{x}}{y}$ con respecto a $y$ es $e^{x} \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}]$ .

$e^{x} \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}] + \frac{d}{d y} [y x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y^{2} - e^{x} - 2 y^{3}}{y^{2}}$

Paso 11.3.2

Reescribe $\frac{1}{y}$ como $y^{- 1}$ .

$e^{x} \frac{d}{d y} [y^{- 1}] + \frac{d}{d y} [y x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y^{2} - e^{x} - 2 y^{3}}{y^{2}}$

Paso 11.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$e^{x} (- y^{- 2}) + \frac{d}{d y} [y x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y^{2} - e^{x} - 2 y^{3}}{y^{2}}$

Paso 11.4

Evalúa $\frac{d}{d y} [y x]$ .

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Paso 11.4.1

Como $x$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $y x$ con respecto a $y$ es $x \frac{d}{d y} [y]$ .

$e^{x} (- y^{- 2}) + x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y^{2} - e^{x} - 2 y^{3}}{y^{2}}$

Paso 11.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$e^{x} (- y^{- 2}) + x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y^{2} - e^{x} - 2 y^{3}}{y^{2}}$

Paso 11.4.3

Multiplica $x$ por $1$ .

$e^{x} (- y^{- 2}) + x + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y^{2} - e^{x} - 2 y^{3}}{y^{2}}$

Paso 11.5

Diferencia con la regla de la función que establece que la derivada de $g (y)$ es $\frac{d g}{d y}$ .

$e^{x} (- y^{- 2}) + x + \frac{d g}{d y} = \frac{x y^{2} - e^{x} - 2 y^{3}}{y^{2}}$

Paso 11.6

Simplifica.

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Paso 11.6.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$e^{x} (- \frac{1}{y^{2}}) + x + \frac{d g}{d y} = \frac{x y^{2} - e^{x} - 2 y^{3}}{y^{2}}$

Paso 11.6.2

Combina $e^{x}$ y $\frac{1}{y^{2}}$ .

$- \frac{e^{x}}{y^{2}} + x + \frac{d g}{d y} = \frac{x y^{2} - e^{x} - 2 y^{3}}{y^{2}}$

Paso 11.6.3

Reordena los términos.

$\frac{d g}{d y} + x - \frac{e^{x}}{y^{2}} = \frac{x y^{2} - e^{x} - 2 y^{3}}{y^{2}}$

Paso 12

Resuelve $\frac{d g}{d y}$

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Paso 12.1

Resuelve $\frac{d g}{d y}$

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Paso 12.1.1

Mueve todos los términos que contengan las variables al lado izquierdo de la ecuación

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Paso 12.1.1.1

Resta $\frac{x y^{2} - e^{x} - 2 y^{3}}{y^{2}}$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{d g}{d y} + x - \frac{e^{x}}{y^{2}} - \frac{x y^{2} - e^{x} - 2 y^{3}}{y^{2}} = 0$

Paso 12.1.1.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{d g}{d y} + x + \frac{- e^{x} - (x y^{2} - e^{x} - 2 y^{3})}{y^{2}} = 0$

Paso 12.1.1.3

Simplifica cada término.

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Paso 12.1.1.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{d g}{d y} + x + \frac{- e^{x} - (x y^{2}) - - e^{x} - (- 2 y^{3})}{y^{2}} = 0$

Paso 12.1.1.3.2

Simplifica.

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Paso 12.1.1.3.2.1

Multiplica $- - e^{x}$ .

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Paso 12.1.1.3.2.1.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{d g}{d y} + x + \frac{- e^{x} - x y^{2} + 1 e^{x} - (- 2 y^{3})}{y^{2}} = 0$

Paso 12.1.1.3.2.1.2

Multiplica $e^{x}$ por $1$ .

$\frac{d g}{d y} + x + \frac{- e^{x} - x y^{2} + e^{x} - (- 2 y^{3})}{y^{2}} = 0$

Paso 12.1.1.3.2.2

Multiplica $- 2$ por $- 1$ .

$\frac{d g}{d y} + x + \frac{- e^{x} - x y^{2} + e^{x} + 2 y^{3}}{y^{2}} = 0$

Paso 12.1.1.4

Combina los términos opuestos en $- e^{x} - x y^{2} + e^{x} + 2 y^{3}$ .

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Paso 12.1.1.4.1

Suma $- e^{x}$ y $e^{x}$ .

$\frac{d g}{d y} + x + \frac{- x y^{2} + 0 + 2 y^{3}}{y^{2}} = 0$

Paso 12.1.1.4.2

Suma $- x y^{2}$ y $0$ .

$\frac{d g}{d y} + x + \frac{- x y^{2} + 2 y^{3}}{y^{2}} = 0$

Paso 12.1.1.5

Simplifica cada término.

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Paso 12.1.1.5.1

Factoriza $y^{2}$ de $- x y^{2} + 2 y^{3}$ .

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Paso 12.1.1.5.1.1

Factoriza $y^{2}$ de $- x y^{2}$ .

$\frac{d g}{d y} + x + \frac{y^{2} (- x) + 2 y^{3}}{y^{2}} = 0$

Paso 12.1.1.5.1.2

Factoriza $y^{2}$ de $2 y^{3}$ .

$\frac{d g}{d y} + x + \frac{y^{2} (- x) + y^{2} (2 y)}{y^{2}} = 0$

Paso 12.1.1.5.1.3

Factoriza $y^{2}$ de $y^{2} (- x) + y^{2} (2 y)$ .

$\frac{d g}{d y} + x + \frac{y^{2} (- x + 2 y)}{y^{2}} = 0$

Paso 12.1.1.5.2

Cancela el factor común de $y^{2}$ .

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Paso 12.1.1.5.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{d g}{d y} + x + \frac{y^{2} (- x + 2 y)}{y^{2}} = 0$

Paso 12.1.1.5.2.2

Divide $- x + 2 y$ por $1$ .

$\frac{d g}{d y} + x - x + 2 y = 0$

Paso 12.1.1.6

Combina los términos opuestos en $\frac{d g}{d y} + x - x + 2 y$ .

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Paso 12.1.1.6.1

Resta $x$ de $x$ .

$\frac{d g}{d y} + 0 + 2 y = 0$

Paso 12.1.1.6.2

Suma $\frac{d g}{d y}$ y $0$ .

$\frac{d g}{d y} + 2 y = 0$

Paso 12.1.2

Resta $2 y$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{d g}{d y} = - 2 y$

Paso 13

Obtén la antiderivada de $- 2 y$ y obtén $g (y)$ .

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Paso 13.1

Integra ambos lados de $\frac{d g}{d y} = - 2 y$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int - 2 y d y$

Paso 13.2

Evalúa $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int - 2 y d y$

Paso 13.3

Dado que $- 2$ es constante con respecto a $y$ , mueve $- 2$ fuera de la integral.

$g (y) = - 2 \int y d y$

Paso 13.4

Según la regla de la potencia, la integral de $y$ con respecto a $y$ es $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$g (y) = - 2 (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

Paso 13.5

Simplifica la respuesta.

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Paso 13.5.1

Reescribe $- 2 (\frac{1}{2} y^{2} + C)$ como $- 2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C$ .

$g (y) = - 2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C$

Paso 13.5.2

Simplifica.

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Paso 13.5.2.1

Combina $- 2$ y $\frac{1}{2}$ .

$g (y) = \frac{- 2}{2} y^{2} + C$

Paso 13.5.2.2

Cancela el factor común de $- 2$ y $2$ .

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Paso 13.5.2.2.1

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$g (y) = \frac{2 \cdot - 1}{2} y^{2} + C$

Paso 13.5.2.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 13.5.2.2.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$g (y) = \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} y^{2} + C$

Paso 13.5.2.2.2.2

Cancela el factor común.

$g (y) = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} y^{2} + C$

Paso 13.5.2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$g (y) = \frac{- 1}{1} y^{2} + C$

Paso 13.5.2.2.2.4

Divide $- 1$ por $1$ .

$g (y) = - y^{2} + C$

Paso 14

Sustituye por $g (y)$ en $f (x, y) = \frac{e^{x}}{y} + y x + g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{e^{x}}{y} + y x - y^{2} + C$