Cálculo Ejemplos

$(x + 1) (y + 1) d y - x y^{2} d x = 0$

Paso 1

Suma $x y^{2} d x$ a ambos lados de la ecuación.

$(x + 1) (y + 1) d y = x y^{2} d x$

Paso 2

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{(x + 1) y^{2}}$ .

$\frac{1}{(x + 1) y^{2}} ((x + 1) (y + 1)) d y = \frac{1}{(x + 1) y^{2}} (x y^{2}) d x$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Cancela el factor común de $x + 1$ .

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Paso 3.1.1

Factoriza $x + 1$ de $(x + 1) y^{2}$ .

$\frac{1}{(x + 1) (y^{2})} ((x + 1) (y + 1)) d y = \frac{1}{(x + 1) y^{2}} (x y^{2}) d x$

Paso 3.1.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{(x + 1) y^{2}} ((x + 1) (y + 1)) d y = \frac{1}{(x + 1) y^{2}} (x y^{2}) d x$

Paso 3.1.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{y^{2}} (y + 1) d y = \frac{1}{(x + 1) y^{2}} (x y^{2}) d x$

Paso 3.2

Multiplica $\frac{1}{y^{2}}$ por $y + 1$ .

$\frac{y + 1}{y^{2}} d y = \frac{1}{(x + 1) y^{2}} (x y^{2}) d x$

Paso 3.3

Cancela el factor común de $y^{2}$ .

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Paso 3.3.1

Factoriza $y^{2}$ de $(x + 1) y^{2}$ .

$\frac{y + 1}{y^{2}} d y = \frac{1}{y^{2} (x + 1)} (x y^{2}) d x$

Paso 3.3.2

Factoriza $y^{2}$ de $x y^{2}$ .

$\frac{y + 1}{y^{2}} d y = \frac{1}{y^{2} (x + 1)} (y^{2} x) d x$

Paso 3.3.3

Cancela el factor común.

$\frac{y + 1}{y^{2}} d y = \frac{1}{y^{2} (x + 1)} (y^{2} x) d x$

Paso 3.3.4

Reescribe la expresión.

$\frac{y + 1}{y^{2}} d y = \frac{1}{x + 1} x d x$

Paso 3.4

Combina $\frac{1}{x + 1}$ y $x$ .

$\frac{y + 1}{y^{2}} d y = \frac{x}{x + 1} d x$

Paso 4

Integra ambos lados.

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Paso 4.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{y + 1}{y^{2}} d y = \int \frac{x}{x + 1} d x$

Paso 4.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 4.2.1

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 4.2.1.1

Mueve $y^{2}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$\int (y + 1) {(y^{2})}^{- 1} d y = \int \frac{x}{x + 1} d x$

Paso 4.2.1.2

Multiplica los exponentes en ${(y^{2})}^{- 1}$ .

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Paso 4.2.1.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (y + 1) y^{2 \cdot - 1} d y = \int \frac{x}{x + 1} d x$

Paso 4.2.1.2.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\int (y + 1) y^{- 2} d y = \int \frac{x}{x + 1} d x$

Paso 4.2.2

Multiplica $(y + 1) y^{- 2}$ .

$\int y \cdot y^{- 2} + 1 y^{- 2} d y = \int \frac{x}{x + 1} d x$

Paso 4.2.3

Simplifica.

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Paso 4.2.3.1

Multiplica $y$ por $y^{- 2}$ sumando los exponentes.

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Paso 4.2.3.1.1

Multiplica $y$ por $y^{- 2}$ .

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Paso 4.2.3.1.1.1

Eleva $y$ a la potencia de $1$ .

$\int y^{1} y^{- 2} + 1 y^{- 2} d y = \int \frac{x}{x + 1} d x$

Paso 4.2.3.1.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int y^{1 - 2} + 1 y^{- 2} d y = \int \frac{x}{x + 1} d x$

Paso 4.2.3.1.2

Resta $2$ de $1$ .

$\int y^{- 1} + 1 y^{- 2} d y = \int \frac{x}{x + 1} d x$

Paso 4.2.3.2

Multiplica $y^{- 2}$ por $1$ .

$\int y^{- 1} + y^{- 2} d y = \int \frac{x}{x + 1} d x$

Paso 4.2.4

Divide la única integral en varias integrales.

$\int y^{- 1} d y + \int y^{- 2} d y = \int \frac{x}{x + 1} d x$

Paso 4.2.5

La integral de $y^{- 1}$ con respecto a $y$ es $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} + \int y^{- 2} d y = \int \frac{x}{x + 1} d x$

Paso 4.2.6

Según la regla de la potencia, la integral de $y^{- 2}$ con respecto a $y$ es $- y^{- 1}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} - y^{- 1} + C_{2} = \int \frac{x}{x + 1} d x$

Paso 4.2.7

Simplifica.

$\ln (| y |) - \frac{1}{y} + C_{3} = \int \frac{x}{x + 1} d x$

Paso 4.2.8

Reordena los términos.

$- \frac{1}{y} + \ln (| y |) + C_{3} = \int \frac{x}{x + 1} d x$

Paso 4.3

Integra el lado derecho.

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Paso 4.3.1

Divide $x$ por $x + 1$ .

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Paso 4.3.1.1

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$x$

$1$

$x$

$0$

Paso 4.3.1.2

Divide el término de mayor orden en el dividendo $x$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

					$1$
	$x$	+	$1$		$x$	+	$0$

Paso 4.3.1.3

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$1$
$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
			+	$x$	+	$1$

Paso 4.3.1.4

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $x + 1$ .

				$1$
$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
			-	$x$	-	$1$

Paso 4.3.1.5

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$1$
$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
			-	$x$	-	$1$
					-	$1$

Paso 4.3.1.6

La respuesta final es el cociente más el resto sobre el divisor.

$- \frac{1}{y} + \ln (| y |) + C_{3} = \int 1 - \frac{1}{x + 1} d x$

Paso 4.3.2

Divide la única integral en varias integrales.

$- \frac{1}{y} + \ln (| y |) + C_{3} = \int d x + \int - \frac{1}{x + 1} d x$

Paso 4.3.3

Aplica la regla de la constante.

$- \frac{1}{y} + \ln (| y |) + C_{3} = x + C_{4} + \int - \frac{1}{x + 1} d x$

Paso 4.3.4

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$- \frac{1}{y} + \ln (| y |) + C_{3} = x + C_{4} - \int \frac{1}{x + 1} d x$

Paso 4.3.5

Sea $u = x + 1$ . Entonces $d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 4.3.5.1

Deja $u = x + 1$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 4.3.5.1.1

Diferencia $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Paso 4.3.5.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 4.3.5.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 4.3.5.1.4

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 4.3.5.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 4.3.5.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$- \frac{1}{y} + \ln (| y |) + C_{3} = x + C_{4} - \int \frac{1}{u} d u$

Paso 4.3.6

La integral de $\frac{1}{u}$ con respecto a $u$ es $\ln (| u |)$ .

$- \frac{1}{y} + \ln (| y |) + C_{3} = x + C_{4} - (\ln (| u |) + C_{5})$

Paso 4.3.7

Simplifica.

$- \frac{1}{y} + \ln (| y |) + C_{3} = x - \ln (| u |) + C_{6}$

Paso 4.3.8

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x + 1$ .

$- \frac{1}{y} + \ln (| y |) + C_{3} = x - \ln (| x + 1 |) + C_{6}$

Paso 4.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$- \frac{1}{y} + \ln (| y |) = x - \ln (| x + 1 |) + C$