Cálculo Ejemplos

$(x^{2} + y^{2}) d x + 3 x y d y = 0$

Paso 1

Obtén $\frac{\partial M}{\partial y}$ donde $M (x, y) = x^{2} + y^{2}$ .

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Paso 1.1

Diferencia $M$ con respecto a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x^{2} + y^{2}]$

Paso 1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + y^{2}$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Paso 1.3

Como $x^{2}$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $x^{2}$ con respecto a $y$ es $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Paso 1.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 y$

Paso 1.5

Suma $0$ y $2 y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y$

Paso 2

Obtén $\frac{\partial N}{\partial x}$ donde $N (x, y) = 3 x y$ .

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Paso 2.1

Diferencia $N$ con respecto a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [3 x y]$

Paso 2.2

Como $3 y$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x y$ con respecto a $x$ es $3 y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 y \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 y \cdot 1$

Paso 2.4

Multiplica $3$ por $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 y$

Paso 3

Comprueba que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Paso 3.1

Sustituye $2 y$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ y $3 y$ para $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$2 y = 3 y$

Paso 3.2

Como el lado izquierdo no es igual al lado derecho, la ecuación no es una identidad.

$2 y = 3 y$ no es una identidad.

Paso 4

Obtén el factor integrador $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

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Paso 4.1

Sustituye $2 y$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{2 y - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Paso 4.2

Sustituye $3 y$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{2 y - (3 y)}{N}$

Paso 4.3

Sustituye $3 x y$ por $N$ .

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Paso 4.3.1

Sustituye $3 x y$ por $N$ .

$\frac{2 y - (3 y)}{3 x y}$

Paso 4.3.2

Simplifica el numerador.

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Paso 4.3.2.1

Factoriza $y$ de $2 y - 1 \cdot 3 y$ .

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Paso 4.3.2.1.1

Factoriza $y$ de $2 y$ .

$\frac{y \cdot 2 - 1 \cdot 3 y}{3 x y}$

Paso 4.3.2.1.2

Factoriza $y$ de $- 1 \cdot 3 y$ .

$\frac{y \cdot 2 + y (- 1 \cdot 3)}{3 x y}$

Paso 4.3.2.1.3

Factoriza $y$ de $y \cdot 2 + y (- 1 \cdot 3)$ .

$\frac{y (2 - 1 \cdot 3)}{3 x y}$

Paso 4.3.2.2

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$\frac{y (2 - 3)}{3 x y}$

Paso 4.3.2.3

Resta $3$ de $2$ .

$\frac{y \cdot - 1}{3 x y}$

Paso 4.3.3

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 4.3.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{y \cdot - 1}{3 x y}$

Paso 4.3.3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{- 1}{3 x}$

Paso 4.3.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{1}{3 x}$

Paso 4.4

Obtén el factor integrador $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{1}{3 x} d x}$

Paso 5

Evalúa la integral $e^{\int - \frac{1}{3 x} d x}$ .

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Paso 5.1

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{1}{3 x} d x}$

Paso 5.2

Dado que $\frac{1}{3}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{1}{3}$ fuera de la integral.

$μ (x, y) = e^{- (\frac{1}{3} \int \frac{1}{x} d x)}$

Paso 5.3

La integral de $\frac{1}{x}$ con respecto a $x$ es $\ln (| x |)$ .

$μ (x, y) = e^{- \frac{1}{3} (\ln (| x |) + C)}$

Paso 5.4

Simplifica.

$μ (x, y) = e^{- \frac{1}{3} \ln (| x |)} + C$

Paso 5.5

Simplifica cada término.

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Paso 5.5.1

Multiplica $- \frac{1}{3} \ln (| x |)$ .

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Paso 5.5.1.1

Reordena $\ln (| x |)$ y $\frac{1}{3}$ .

$μ (x, y) = e^{- (\frac{1}{3} \ln (| x |))} + C$

Paso 5.5.1.2

Simplifica $\frac{1}{3} \ln (| x |)$ al mover $\frac{1}{3}$ dentro del algoritmo.

$μ (x, y) = e^{- \ln ({| x |}^{\frac{1}{3}})} + C$

Paso 5.5.2

Simplifica $- \ln ({| x |}^{\frac{1}{3}})$ al mover $- 1$ dentro del algoritmo.

$μ (x, y) = e^{\ln ({({| x |}^{\frac{1}{3}})}^{- 1})} + C$

Paso 5.5.3

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

$μ (x, y) = {({| x |}^{\frac{1}{3}})}^{- 1} + C$

Paso 5.5.4

Multiplica los exponentes en ${({| x |}^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

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Paso 5.5.4.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$μ (x, y) = {| x |}^{\frac{1}{3} \cdot - 1} + C$

Paso 5.5.4.2

Combina $\frac{1}{3}$ y $- 1$ .

$μ (x, y) = {| x |}^{\frac{- 1}{3}} + C$

Paso 5.5.4.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$μ (x, y) = {| x |}^{- \frac{1}{3}} + C$

Paso 5.5.5

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{{| x |}^{\frac{1}{3}}} + C$

Paso 6

Multiplica ambos lados de $(x^{2} + y^{2}) d x + 3 x y d y = 0$ por el factor integrador $\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$ .

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Paso 6.1

Multiplica $x^{2} + y^{2}$ por $\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$ .

$(x^{2} + y^{2}) \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} d x + 3 x y d y = 0$

Paso 6.2

Multiplica $x^{2} + y^{2}$ por $\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{3}}} d x + 3 x y d y = 0$

Paso 6.3

Multiplica $3 x y$ por $\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{3}}} d x + 3 x y \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} d y = 0$

Paso 6.4

Multiplica $3 x y \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$ .

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Paso 6.4.1

Combina $3$ y $\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{3}}} d x + x y \frac{3}{x^{\frac{1}{3}}} d y = 0$

Paso 6.4.2

Combina $x$ y $\frac{3}{x^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{3}}} d x + y \frac{x \cdot 3}{x^{\frac{1}{3}}} d y = 0$

Paso 6.4.3

Combina $y$ y $\frac{x \cdot 3}{x^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{3}}} d x + \frac{y (x \cdot 3)}{x^{\frac{1}{3}}} d y = 0$

Paso 6.5

Mueve $x^{\frac{1}{3}}$ al numerador mediante la regla del exponente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{3}}} d x + y (x \cdot 3) x^{- \frac{1}{3}} d y = 0$

Paso 6.6

Multiplica $x$ por $x^{- \frac{1}{3}}$ sumando los exponentes.

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Paso 6.6.1

Mueve $x^{- \frac{1}{3}}$ .

$\frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{3}}} d x + y (x^{- \frac{1}{3}} x \cdot 3) d y = 0$

Paso 6.6.2

Multiplica $x^{- \frac{1}{3}}$ por $x$ .

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Paso 6.6.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{3}}} d x + y (x^{- \frac{1}{3}} x^{1} \cdot 3) d y = 0$

Paso 6.6.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{3}}} d x + y (x^{- \frac{1}{3} + 1} \cdot 3) d y = 0$

Paso 6.6.3

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{3}}} d x + y (x^{- \frac{1}{3} + \frac{3}{3}} \cdot 3) d y = 0$

Paso 6.6.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{3}}} d x + y (x^{\frac{- 1 + 3}{3}} \cdot 3) d y = 0$

Paso 6.6.5

Suma $- 1$ y $3$ .

$\frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{3}}} d x + y (x^{\frac{2}{3}} \cdot 3) d y = 0$

Paso 6.7

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{3}}} d x + 3 y x^{\frac{2}{3}} d y = 0$

Paso 7

Establece $f (x, y)$ igual a la integral de $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 3 y x^{\frac{2}{3}} d y$

Paso 8

Integra $N (x, y) = 3 y x^{\frac{2}{3}}$ para obtener $f (x, y)$ .

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Paso 8.1

Dado que $3 x^{\frac{2}{3}}$ es constante con respecto a $y$ , mueve $3 x^{\frac{2}{3}}$ fuera de la integral.

$f (x, y) = 3 x^{\frac{2}{3}} \int y d y$

Paso 8.2

Según la regla de la potencia, la integral de $y$ con respecto a $y$ es $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = 3 x^{\frac{2}{3}} (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

Paso 8.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 8.3.1

Reescribe $3 x^{\frac{2}{3}} (\frac{1}{2} y^{2} + C)$ como $3 x^{\frac{2}{3}} \frac{1}{2} y^{2} + C$ .

$f (x, y) = 3 x^{\frac{2}{3}} \frac{1}{2} y^{2} + C$

Paso 8.3.2

Simplifica.

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Paso 8.3.2.1

Combina $3$ y $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = x^{\frac{2}{3}} \frac{3}{2} y^{2} + C$

Paso 8.3.2.2

Combina $x^{\frac{2}{3}}$ y $\frac{3}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{\frac{2}{3}} \cdot 3}{2} y^{2} + C$

Paso 8.3.2.3

Mueve $3$ a la izquierda de $x^{\frac{2}{3}}$ .

$f (x, y) = \frac{3 \cdot x^{\frac{2}{3}}}{2} y^{2} + C$

Paso 8.3.2.4

Multiplica $3$ por $x^{\frac{2}{3}}$ .

$f (x, y) = \frac{3 x^{\frac{2}{3}}}{2} y^{2} + C$

Paso 8.3.2.5

Combina $\frac{3 x^{\frac{2}{3}}}{2}$ y $y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{3 x^{\frac{2}{3}} y^{2}}{2} + C$

Paso 8.3.3

Reordena los términos.

$f (x, y) = \frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}} y^{2} + C$

Paso 9

Como la integral de $g (x)$ , contendrá una constante de integración, podemos reemplazar $C$ con $g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}} y^{2} + g (x)$

Paso 10

Establece $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{3}}}$

Paso 11

Obtén $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Paso 11.1

Diferencia $f$ con respecto a $x$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}} y^{2} + g (x)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{3}}}$

Paso 11.2

Según la regla de la suma, la derivada de $\frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}} y^{2} + g (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{3}}}$

Paso 11.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}} y^{2}]$ .

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Paso 11.3.1

Combina $\frac{3}{2}$ y $x^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{3 x^{\frac{2}{3}}}{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{3}}}$

Paso 11.3.2

Combina $\frac{3 x^{\frac{2}{3}}}{2}$ y $y^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{3 x^{\frac{2}{3}} y^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{3}}}$

Paso 11.3.3

Como $\frac{3 y^{2}}{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{3 x^{\frac{2}{3}} y^{2}}{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{3 y^{2}}{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$ .

$\frac{3 y^{2}}{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{3}}}$

Paso 11.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{2}{3}$ .

$\frac{3 y^{2}}{2} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{3}}}$

Paso 11.3.5

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{3 y^{2}}{2} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{3}}}$

Paso 11.3.6

Combina $- 1$ y $\frac{3}{3}$ .

$\frac{3 y^{2}}{2} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{3}}}$

Paso 11.3.7

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{3 y^{2}}{2} (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{3}}}$

Paso 11.3.8

Simplifica el numerador.

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Paso 11.3.8.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$\frac{3 y^{2}}{2} (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{3}}}$

Paso 11.3.8.2

Resta $3$ de $2$ .

$\frac{3 y^{2}}{2} (\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{3}}}$

Paso 11.3.9

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{3 y^{2}}{2} (\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{3}}}$

Paso 11.3.10

Combina $\frac{2}{3}$ y $x^{- \frac{1}{3}}$ .

$\frac{3 y^{2}}{2} \cdot \frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{3}}}$

Paso 11.3.11

Multiplica $\frac{3 y^{2}}{2}$ por $\frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$ .

$\frac{3 y^{2} (2 x^{- \frac{1}{3}})}{2 \cdot 3} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{3}}}$

Paso 11.3.12

Multiplica $2$ por $3$ .

$\frac{6 y^{2} x^{- \frac{1}{3}}}{2 \cdot 3} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{3}}}$

Paso 11.3.13

Multiplica $2$ por $3$ .

$\frac{6 y^{2} x^{- \frac{1}{3}}}{6} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{3}}}$

Paso 11.3.14

Mueve $x^{- \frac{1}{3}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{6 y^{2}}{6 x^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{3}}}$

Paso 11.3.15

Cancela el factor común.

$\frac{6 y^{2}}{6 x^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{3}}}$

Paso 11.3.16

Reescribe la expresión.

$\frac{y^{2}}{x^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{3}}}$

Paso 11.4

Diferencia con la regla de la función que establece que la derivada de $g (x)$ es $\frac{d g}{d x}$ .

$\frac{y^{2}}{x^{\frac{1}{3}}} + \frac{d g}{d x} = \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{3}}}$

Paso 11.5

Reordena los términos.

$\frac{d g}{d x} + \frac{y^{2}}{x^{\frac{1}{3}}} = \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{3}}}$

Paso 12

Resuelve $\frac{d g}{d x}$

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Paso 12.1

Resuelve $\frac{d g}{d x}$

Toca para ver más pasos...

Paso 12.1.1

Simplifica $\frac{d g}{d x} + \frac{y^{2}}{x^{\frac{1}{3}}} - \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{3}}}$ .

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Paso 12.1.1.1

Simplifica los términos.

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Paso 12.1.1.1.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{d g}{d x} + \frac{y^{2} - (x^{2} + y^{2})}{x^{\frac{1}{3}}} = 0$

Paso 12.1.1.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{d g}{d x} + \frac{y^{2} - x^{2} - y^{2}}{x^{\frac{1}{3}}} = 0$

Paso 12.1.1.1.3

Combina los términos opuestos en $y^{2} - x^{2} - y^{2}$ .

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Paso 12.1.1.1.3.1

Resta $y^{2}$ de $y^{2}$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- x^{2} + 0}{x^{\frac{1}{3}}} = 0$

Paso 12.1.1.1.3.2

Suma $- x^{2}$ y $0$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- x^{2}}{x^{\frac{1}{3}}} = 0$

Paso 12.1.1.2

Simplifica cada término.

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Paso 12.1.1.2.1

Mueve $x^{\frac{1}{3}}$ al numerador mediante la regla del exponente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{d g}{d x} - x^{2} x^{- \frac{1}{3}} = 0$

Paso 12.1.1.2.2

Multiplica $x^{2}$ por $x^{- \frac{1}{3}}$ sumando los exponentes.

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Paso 12.1.1.2.2.1

Mueve $x^{- \frac{1}{3}}$ .

$\frac{d g}{d x} - (x^{- \frac{1}{3}} x^{2}) = 0$

Paso 12.1.1.2.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{d g}{d x} - x^{- \frac{1}{3} + 2} = 0$

Paso 12.1.1.2.2.3

Para escribir $2$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{d g}{d x} - x^{- \frac{1}{3} + 2 \cdot \frac{3}{3}} = 0$

Paso 12.1.1.2.2.4

Combina $2$ y $\frac{3}{3}$ .

$\frac{d g}{d x} - x^{- \frac{1}{3} + \frac{2 \cdot 3}{3}} = 0$

Paso 12.1.1.2.2.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{d g}{d x} - x^{\frac{- 1 + 2 \cdot 3}{3}} = 0$

Paso 12.1.1.2.2.6

Simplifica el numerador.

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Paso 12.1.1.2.2.6.1

Multiplica $2$ por $3$ .

$\frac{d g}{d x} - x^{\frac{- 1 + 6}{3}} = 0$

Paso 12.1.1.2.2.6.2

Suma $- 1$ y $6$ .

$\frac{d g}{d x} - x^{\frac{5}{3}} = 0$

Paso 12.1.2

Suma $x^{\frac{5}{3}}$ a ambos lados de la ecuación.

$\frac{d g}{d x} = x^{\frac{5}{3}}$

Paso 13

Obtén la antiderivada de $x^{\frac{5}{3}}$ y obtén $g (x)$ .

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Paso 13.1

Integra ambos lados de $\frac{d g}{d x} = x^{\frac{5}{3}}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int x^{\frac{5}{3}} d x$

Paso 13.2

Evalúa $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int x^{\frac{5}{3}} d x$

Paso 13.3

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{\frac{5}{3}}$ con respecto a $x$ es $\frac{3}{8} x^{\frac{8}{3}}$ .

$g (x) = \frac{3}{8} x^{\frac{8}{3}} + C$

Paso 14

Sustituye por $g (x)$ en $f (x, y) = \frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}} y^{2} + g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}} y^{2} + \frac{3}{8} x^{\frac{8}{3}} + C$

Paso 15

Simplifica $f (x, y) = \frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}} y^{2} + \frac{3}{8} x^{\frac{8}{3}} + C$ .

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Paso 15.1

Simplifica cada término.

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Paso 15.1.1

Combina $\frac{3}{2}$ y $x^{\frac{2}{3}}$ .

$f (x, y) = \frac{3 x^{\frac{2}{3}}}{2} y^{2} + \frac{3}{8} x^{\frac{8}{3}} + C$

Paso 15.1.2

Combina $\frac{3 x^{\frac{2}{3}}}{2}$ y $y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{3 x^{\frac{2}{3}} y^{2}}{2} + \frac{3}{8} x^{\frac{8}{3}} + C$

Paso 15.1.3

Combina $\frac{3}{8}$ y $x^{\frac{8}{3}}$ .

$f (x, y) = \frac{3 x^{\frac{2}{3}} y^{2}}{2} + \frac{3 x^{\frac{8}{3}}}{8} + C$

Paso 15.2

Reordena los factores en $f (x, y) = \frac{3 x^{\frac{2}{3}} y^{2}}{2} + \frac{3 x^{\frac{8}{3}}}{8} + C$ .

$f (x, y) = \frac{3 y^{2} x^{\frac{2}{3}}}{2} + \frac{3 x^{\frac{8}{3}}}{8} + C$