Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = y^{\frac{1}{3}}$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} y^{\frac{1}{3}}$

Paso 1.2

Cancela el factor común de $y^{\frac{1}{3}}$ .

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Paso 1.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} y^{\frac{1}{3}}$

Paso 1.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} \frac{d y}{d x} = 1$

Paso 1.3

Reescribe la ecuación.

$\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} d y = 1 d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} d y = \int d x$

Paso 2.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 2.2.1.1

Mueve $y^{\frac{1}{3}}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$\int {(y^{\frac{1}{3}})}^{- 1} d y = \int d x$

Paso 2.2.1.2

Multiplica los exponentes en ${(y^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

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Paso 2.2.1.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int y^{\frac{1}{3} \cdot - 1} d y = \int d x$

Paso 2.2.1.2.2

Combina $\frac{1}{3}$ y $- 1$ .

$\int y^{\frac{- 1}{3}} d y = \int d x$

Paso 2.2.1.2.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\int y^{- \frac{1}{3}} d y = \int d x$

Paso 2.2.2

Según la regla de la potencia, la integral de $y^{- \frac{1}{3}}$ con respecto a $y$ es $\frac{3}{2} y^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{3}{2} y^{\frac{2}{3}} + C_{1} = \int d x$

Paso 2.3

Aplica la regla de la constante.

$\frac{3}{2} y^{\frac{2}{3}} + C_{1} = x + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$\frac{3}{2} y^{\frac{2}{3}} = x + K$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Multiplica ambos lados de la ecuación por $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3} (\frac{3}{2} y^{\frac{2}{3}}) = \frac{2}{3} (x + K)$

Paso 3.2

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 3.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.1.1

Simplifica $\frac{2}{3} (\frac{3}{2} y^{\frac{2}{3}})$ .

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Paso 3.2.1.1.1

Combina $\frac{3}{2}$ y $y^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{3 y^{\frac{2}{3}}}{2} = \frac{2}{3} (x + K)$

Paso 3.2.1.1.2

Combinar.

$\frac{2 (3 y^{\frac{2}{3}})}{3 \cdot 2} = \frac{2}{3} (x + K)$

Paso 3.2.1.1.3

Cancela el factor común.

$\frac{2 (3 y^{\frac{2}{3}})}{3 \cdot 2} = \frac{2}{3} (x + K)$

Paso 3.2.1.1.4

Reescribe la expresión.

$\frac{3 y^{\frac{2}{3}}}{3} = \frac{2}{3} (x + K)$

Paso 3.2.1.1.5

Cancela el factor común.

$\frac{3 y^{\frac{2}{3}}}{3} = \frac{2}{3} (x + K)$

Paso 3.2.1.1.6

Divide $y^{\frac{2}{3}}$ por $1$ .

$y^{\frac{2}{3}} = \frac{2}{3} (x + K)$

Paso 3.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.2.1

Simplifica $\frac{2}{3} (x + K)$ .

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Paso 3.2.2.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y^{\frac{2}{3}} = \frac{2}{3} x + \frac{2}{3} K$

Paso 3.2.2.1.2

Combina $\frac{2}{3}$ y $x$ .

$y^{\frac{2}{3}} = \frac{2 x}{3} + \frac{2}{3} K$

Paso 3.2.2.1.3

Combina $\frac{2}{3}$ y $K$ .

$y^{\frac{2}{3}} = \frac{2 x}{3} + \frac{2 K}{3}$

Paso 3.3

Eleva cada lado de la ecuación a la potencia de $\frac{3}{2}$ para eliminar el exponente fraccionario en el lado izquierdo.

${(y^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}} = \pm {(\frac{2 x}{3} + \frac{2 K}{3})}^{\frac{3}{2}}$

Paso 3.4

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.4.1

Simplifica ${(y^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}}$ .

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Paso 3.4.1.1

Multiplica los exponentes en ${(y^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}}$ .

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Paso 3.4.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}} = \pm {(\frac{2 x}{3} + \frac{2 K}{3})}^{\frac{3}{2}}$

Paso 3.4.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.4.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$y^{\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}} = \pm {(\frac{2 x}{3} + \frac{2 K}{3})}^{\frac{3}{2}}$

Paso 3.4.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$y^{\frac{1}{3} \cdot 3} = \pm {(\frac{2 x}{3} + \frac{2 K}{3})}^{\frac{3}{2}}$

Paso 3.4.1.1.3

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.4.1.1.3.1

Cancela el factor común.

$y^{\frac{1}{3} \cdot 3} = \pm {(\frac{2 x}{3} + \frac{2 K}{3})}^{\frac{3}{2}}$

Paso 3.4.1.1.3.2

Reescribe la expresión.

$y^{1} = \pm {(\frac{2 x}{3} + \frac{2 K}{3})}^{\frac{3}{2}}$

Paso 3.4.1.2

Simplifica.

$y = \pm {(\frac{2 x}{3} + \frac{2 K}{3})}^{\frac{3}{2}}$

Paso 3.5

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 3.5.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$y = {(\frac{2 x}{3} + \frac{2 K}{3})}^{\frac{3}{2}}$

Paso 3.5.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$y = - {(\frac{2 x}{3} + \frac{2 K}{3})}^{\frac{3}{2}}$

Paso 3.5.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$y = {(\frac{2 x}{3} + \frac{2 K}{3})}^{\frac{3}{2}}$

$y = - {(\frac{2 x}{3} + \frac{2 K}{3})}^{\frac{3}{2}}$

$y = {(\frac{2 x}{3} + \frac{2 K}{3})}^{\frac{3}{2}}$

$y = - {(\frac{2 x}{3} + \frac{2 K}{3})}^{\frac{3}{2}}$

$y = {(\frac{2 x}{3} + \frac{2 K}{3})}^{\frac{3}{2}}$

$y = - {(\frac{2 x}{3} + \frac{2 K}{3})}^{\frac{3}{2}}$

Paso 4

Simplifica la constante de integración.

$y = {(\frac{2 x}{3} + K)}^{\frac{3}{2}}$

$y = - {(\frac{2 x}{3} + K)}^{\frac{3}{2}}$