Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = 10 x^{2} y + 5 x^{2} + 6 y + 3$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Factoriza.

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Paso 1.1.1

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 1.1.1.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$\frac{d y}{d x} = (10 x^{2} y + 5 x^{2}) + 6 y + 3$

Paso 1.1.1.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$\frac{d y}{d x} = 5 x^{2} (2 y + 1) + 3 (2 y + 1)$

Paso 1.1.2

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $2 y + 1$ .

$\frac{d y}{d x} = (2 y + 1) (5 x^{2} + 3)$

Paso 1.2

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{2 y + 1}$ .

$\frac{1}{2 y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 y + 1} ((2 y + 1) (5 x^{2} + 3))$

Paso 1.3

Cancela el factor común de $2 y + 1$ .

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Paso 1.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{2 y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 y + 1} ((2 y + 1) (5 x^{2} + 3))$

Paso 1.3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{2 y + 1} \frac{d y}{d x} = 5 x^{2} + 3$

Paso 1.4

Reescribe la ecuación.

$\frac{1}{2 y + 1} d y = (5 x^{2} + 3) d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{1}{2 y + 1} d y = \int 5 x^{2} + 3 d x$

Paso 2.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Sea $u = 2 y + 1$ . Entonces $d u = 2 d y$ , de modo que $\frac{1}{2} d u = d y$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.2.1.1

Deja $u = 2 y + 1$ . Obtén $\frac{d u}{d y}$ .

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Paso 2.2.1.1.1

Diferencia $2 y + 1$ .

$\frac{d}{d y} [2 y + 1]$

Paso 2.2.1.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $2 y + 1$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [1]$

Paso 2.2.1.1.3

Evalúa $\frac{d}{d y} [2 y]$ .

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Paso 2.2.1.1.3.1

Como $2$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $2 y$ con respecto a $y$ es $2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$2 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$

Paso 2.2.1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [1]$

Paso 2.2.1.1.3.3

Multiplica $2$ por $1$ .

$2 + \frac{d}{d y} [1]$

Paso 2.2.1.1.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 2.2.1.1.4.1

Como $1$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $1$ con respecto a $y$ es $0$ .

$2 + 0$

Paso 2.2.1.1.4.2

Suma $2$ y $0$ .

$2$

Paso 2.2.1.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u = \int 5 x^{2} + 3 d x$

Paso 2.2.2

Simplifica.

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Paso 2.2.2.1

Multiplica $\frac{1}{u}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{1}{u \cdot 2} d u = \int 5 x^{2} + 3 d x$

Paso 2.2.2.2

Mueve $2$ a la izquierda de $u$ .

$\int \frac{1}{2 u} d u = \int 5 x^{2} + 3 d x$

Paso 2.2.3

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u = \int 5 x^{2} + 3 d x$

Paso 2.2.4

La integral de $\frac{1}{u}$ con respecto a $u$ es $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| u |) + C_{1}) = \int 5 x^{2} + 3 d x$

Paso 2.2.5

Simplifica.

$\frac{1}{2} \ln (| u |) + C_{1} = \int 5 x^{2} + 3 d x$

Paso 2.2.6

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 y + 1$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 2 y + 1 |) + C_{1} = \int 5 x^{2} + 3 d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Divide la única integral en varias integrales.

$\frac{1}{2} \ln (| 2 y + 1 |) + C_{1} = \int 5 x^{2} d x + \int 3 d x$

Paso 2.3.2

Dado que $5$ es constante con respecto a $x$ , mueve $5$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} \ln (| 2 y + 1 |) + C_{1} = 5 \int x^{2} d x + \int 3 d x$

Paso 2.3.3

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 2 y + 1 |) + C_{1} = 5 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2}) + \int 3 d x$

Paso 2.3.4

Aplica la regla de la constante.

$\frac{1}{2} \ln (| 2 y + 1 |) + C_{1} = 5 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2}) + 3 x + C_{3}$

Paso 2.3.5

Simplifica.

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Paso 2.3.5.1

Combina $\frac{1}{3}$ y $x^{3}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 2 y + 1 |) + C_{1} = 5 (\frac{x^{3}}{3} + C_{2}) + 3 x + C_{3}$

Paso 2.3.5.2

Simplifica.

$\frac{1}{2} \ln (| 2 y + 1 |) + C_{1} = \frac{5 x^{3}}{3} + 3 x + C_{4}$

Paso 2.3.5.3

Reordena los términos.

$\frac{1}{2} \ln (| 2 y + 1 |) + C_{1} = \frac{5}{3} x^{3} + 3 x + C_{4}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 2 y + 1 |) = \frac{5}{3} x^{3} + 3 x + C$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Multiplica ambos lados de la ecuación por $2$ .

$2 (\frac{1}{2} \ln (| 2 y + 1 |)) = 2 (\frac{5}{3} x^{3} + 3 x + C)$

Paso 3.2

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 3.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.1.1

Simplifica $2 (\frac{1}{2} \ln (| 2 y + 1 |))$ .

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Paso 3.2.1.1.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $\ln (| 2 y + 1 |)$ .

$2 \frac{\ln (| 2 y + 1 |)}{2} = 2 (\frac{5}{3} x^{3} + 3 x + C)$

Paso 3.2.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$2 \frac{\ln (| 2 y + 1 |)}{2} = 2 (\frac{5}{3} x^{3} + 3 x + C)$

Paso 3.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$\ln (| 2 y + 1 |) = 2 (\frac{5}{3} x^{3} + 3 x + C)$

Paso 3.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.2.1

Simplifica $2 (\frac{5}{3} x^{3} + 3 x + C)$ .

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Paso 3.2.2.1.1

Combina $\frac{5}{3}$ y $x^{3}$ .

$\ln (| 2 y + 1 |) = 2 (\frac{5 x^{3}}{3} + 3 x + C)$

Paso 3.2.2.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\ln (| 2 y + 1 |) = 2 \frac{5 x^{3}}{3} + 2 (3 x) + 2 C$

Paso 3.2.2.1.3

Simplifica.

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Paso 3.2.2.1.3.1

Multiplica $2 \frac{5 x^{3}}{3}$ .

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Paso 3.2.2.1.3.1.1

Combina $2$ y $\frac{5 x^{3}}{3}$ .

$\ln (| 2 y + 1 |) = \frac{2 (5 x^{3})}{3} + 2 (3 x) + 2 C$

Paso 3.2.2.1.3.1.2

Multiplica $5$ por $2$ .

$\ln (| 2 y + 1 |) = \frac{10 x^{3}}{3} + 2 (3 x) + 2 C$

Paso 3.2.2.1.3.2

Multiplica $3$ por $2$ .

$\ln (| 2 y + 1 |) = \frac{10 x^{3}}{3} + 6 x + 2 C$

Paso 3.3

Para resolver $y$ , reescribe la ecuación mediante las propiedades de los logaritmos.

$e^{\ln (| 2 y + 1 |)} = e^{\frac{10 x^{3}}{3} + 6 x + 2 C}$

Paso 3.4

Reescribe $\ln (| 2 y + 1 |) = \frac{10 x^{3}}{3} + 6 x + 2 C$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{\frac{10 x^{3}}{3} + 6 x + 2 C} = | 2 y + 1 |$

Paso 3.5

Resuelve $y$

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Paso 3.5.1

Reescribe la ecuación como $| 2 y + 1 | = e^{\frac{10 x^{3}}{3} + 6 x + 2 C}$ .

$| 2 y + 1 | = e^{\frac{10 x^{3}}{3} + 6 x + 2 C}$

Paso 3.5.2

Elimina el término de valor absoluto. Esto crea un $\pm$ en el lado derecho de la ecuación debido a $| x | = \pm x$ .

$2 y + 1 = \pm e^{\frac{10 x^{3}}{3} + 6 x + 2 C}$

Paso 3.5.3

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$2 y = \pm e^{\frac{10 x^{3}}{3} + 6 x + 2 C} - 1$

Paso 3.5.4

Divide cada término en $2 y = \pm e^{\frac{10 x^{3}}{3} + 6 x + 2 C} - 1$ por $2$ y simplifica.

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Paso 3.5.4.1

Divide cada término en $2 y = \pm e^{\frac{10 x^{3}}{3} + 6 x + 2 C} - 1$ por $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{\pm e^{\frac{10 x^{3}}{3} + 6 x + 2 C}}{2} + \frac{- 1}{2}$

Paso 3.5.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.5.4.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.5.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 y}{2} = \frac{\pm e^{\frac{10 x^{3}}{3} + 6 x + 2 C}}{2} + \frac{- 1}{2}$

Paso 3.5.4.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{\pm e^{\frac{10 x^{3}}{3} + 6 x + 2 C}}{2} + \frac{- 1}{2}$

Paso 3.5.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.5.4.3.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \frac{\pm e^{\frac{10 x^{3}}{3} + 6 x + 2 C} - 1}{2}$

Paso 3.5.4.3.2

Simplifica cada término.

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Paso 3.5.4.3.2.1

Para escribir $6 x$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{\pm e^{\frac{10 x^{3}}{3} + 6 x \cdot \frac{3}{3} + 2 C} - 1}{2}$

Paso 3.5.4.3.2.2

Combina $6 x$ y $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{\pm e^{\frac{10 x^{3}}{3} + \frac{6 x \cdot 3}{3} + 2 C} - 1}{2}$

Paso 3.5.4.3.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \frac{\pm e^{\frac{10 x^{3} + 6 x \cdot 3}{3} + 2 C} - 1}{2}$

Paso 3.5.4.3.2.4

Simplifica el numerador.

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Paso 3.5.4.3.2.4.1

Factoriza $2 x$ de $10 x^{3} + 6 x \cdot 3$ .

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Paso 3.5.4.3.2.4.1.1

Factoriza $2 x$ de $10 x^{3}$ .

$y = \frac{\pm e^{\frac{2 x (5 x^{2}) + 6 x \cdot 3}{3} + 2 C} - 1}{2}$

Paso 3.5.4.3.2.4.1.2

Factoriza $2 x$ de $6 x \cdot 3$ .

$y = \frac{\pm e^{\frac{2 x (5 x^{2}) + 2 x (3 \cdot 3)}{3} + 2 C} - 1}{2}$

Paso 3.5.4.3.2.4.1.3

Factoriza $2 x$ de $2 x (5 x^{2}) + 2 x (3 \cdot 3)$ .

$y = \frac{\pm e^{\frac{2 x (5 x^{2} + 3 \cdot 3)}{3} + 2 C} - 1}{2}$

Paso 3.5.4.3.2.4.2

Multiplica $3$ por $3$ .

$y = \frac{\pm e^{\frac{2 x (5 x^{2} + 9)}{3} + 2 C} - 1}{2}$

Paso 3.5.4.3.2.5

Para escribir $2 C$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{\pm e^{\frac{2 x (5 x^{2} + 9)}{3} + 2 C \cdot \frac{3}{3}} - 1}{2}$

Paso 3.5.4.3.2.6

Combina $2 C$ y $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{\pm e^{\frac{2 x (5 x^{2} + 9)}{3} + \frac{2 C \cdot 3}{3}} - 1}{2}$

Paso 3.5.4.3.2.7

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \frac{\pm e^{\frac{2 x (5 x^{2} + 9) + 2 C \cdot 3}{3}} - 1}{2}$

Paso 3.5.4.3.2.8

Simplifica el numerador.

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Paso 3.5.4.3.2.8.1

Factoriza $2$ de $2 x (5 x^{2} + 9) + 2 C \cdot 3$ .

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Paso 3.5.4.3.2.8.1.1

Factoriza $2$ de $2 x (5 x^{2} + 9)$ .

$y = \frac{\pm e^{\frac{2 (x (5 x^{2} + 9)) + 2 C \cdot 3}{3}} - 1}{2}$

Paso 3.5.4.3.2.8.1.2

Factoriza $2$ de $2 C \cdot 3$ .

$y = \frac{\pm e^{\frac{2 (x (5 x^{2} + 9)) + 2 (C \cdot 3)}{3}} - 1}{2}$

Paso 3.5.4.3.2.8.1.3

Factoriza $2$ de $2 (x (5 x^{2} + 9)) + 2 (C \cdot 3)$ .

$y = \frac{\pm e^{\frac{2 (x (5 x^{2} + 9) + C \cdot 3)}{3}} - 1}{2}$

Paso 3.5.4.3.2.8.2

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{\pm e^{\frac{2 (x (5 x^{2}) + x \cdot 9 + C \cdot 3)}{3}} - 1}{2}$

Paso 3.5.4.3.2.8.3

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$y = \frac{\pm e^{\frac{2 (5 x \cdot x^{2} + x \cdot 9 + C \cdot 3)}{3}} - 1}{2}$

Paso 3.5.4.3.2.8.4

Mueve $9$ a la izquierda de $x$ .

$y = \frac{\pm e^{\frac{2 (5 x \cdot x^{2} + 9 \cdot x + C \cdot 3)}{3}} - 1}{2}$

Paso 3.5.4.3.2.8.5

Multiplica $x$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 3.5.4.3.2.8.5.1

Mueve $x^{2}$ .

$y = \frac{\pm e^{\frac{2 (5 (x^{2} x) + 9 \cdot x + C \cdot 3)}{3}} - 1}{2}$

Paso 3.5.4.3.2.8.5.2

Multiplica $x^{2}$ por $x$ .

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Paso 3.5.4.3.2.8.5.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$y = \frac{\pm e^{\frac{2 (5 (x^{2} x^{1}) + 9 \cdot x + C \cdot 3)}{3}} - 1}{2}$

Paso 3.5.4.3.2.8.5.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$y = \frac{\pm e^{\frac{2 (5 x^{2 + 1} + 9 \cdot x + C \cdot 3)}{3}} - 1}{2}$

Paso 3.5.4.3.2.8.5.3

Suma $2$ y $1$ .

$y = \frac{\pm e^{\frac{2 (5 x^{3} + 9 \cdot x + C \cdot 3)}{3}} - 1}{2}$

$y = \frac{\pm e^{\frac{2 (5 x^{3} + 9 x + C \cdot 3)}{3}} - 1}{2}$

Paso 3.5.4.3.2.8.6

Mueve $3$ a la izquierda de $C$ .

$y = \frac{\pm e^{\frac{2 (5 x^{3} + 9 x + 3 C)}{3}} - 1}{2}$

Paso 4

Simplifica la constante de integración.

$y = \frac{\pm e^{\frac{2 (5 x^{3} + 9 x + C)}{3}} - 1}{2}$