Cálculo Ejemplos

$(e^{2 x} + 5) d y + y e^{2 x} d x = 0$

Paso 1

Resta $y e^{2 x} d x$ de ambos lados de la ecuación.

$(e^{2 x} + 5) d y = - y e^{2 x} d x$

Paso 2

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{(e^{2 x} + 5) y}$ .

$\frac{1}{(e^{2 x} + 5) y} (e^{2 x} + 5) d y = \frac{1}{(e^{2 x} + 5) y} (- y e^{2 x}) d x$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Cancela el factor común de $e^{2 x} + 5$ .

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Paso 3.1.1

Factoriza $e^{2 x} + 5$ de $(e^{2 x} + 5) y$ .

$\frac{1}{(e^{2 x} + 5) (y)} (e^{2 x} + 5) d y = \frac{1}{(e^{2 x} + 5) y} (- y e^{2 x}) d x$

Paso 3.1.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{(e^{2 x} + 5) y} (e^{2 x} + 5) d y = \frac{1}{(e^{2 x} + 5) y} (- y e^{2 x}) d x$

Paso 3.1.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{(e^{2 x} + 5) y} (- y e^{2 x}) d x$

Paso 3.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{1}{y} d y = - \frac{1}{(e^{2 x} + 5) y} (y e^{2 x}) d x$

Paso 3.3

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 3.3.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{(e^{2 x} + 5) y}$ al numerador.

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{(e^{2 x} + 5) y} (y e^{2 x}) d x$

Paso 3.3.2

Factoriza $y$ de $(e^{2 x} + 5) y$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{y (e^{2 x} + 5)} (y e^{2 x}) d x$

Paso 3.3.3

Factoriza $y$ de $y e^{2 x}$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{y (e^{2 x} + 5)} (y (e^{2 x})) d x$

Paso 3.3.4

Cancela el factor común.

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{y (e^{2 x} + 5)} (y e^{2 x}) d x$

Paso 3.3.5

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{e^{2 x} + 5} e^{2 x} d x$

Paso 3.4

Combina $\frac{- 1}{e^{2 x} + 5}$ y $e^{2 x}$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{- e^{2 x}}{e^{2 x} + 5} d x$

Paso 3.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{y} d y = - \frac{e^{2 x}}{e^{2 x} + 5} d x$

Paso 4

Integra ambos lados.

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Paso 4.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{1}{y} d y = \int - \frac{e^{2 x}}{e^{2 x} + 5} d x$

Paso 4.2

La integral de $\frac{1}{y}$ con respecto a $y$ es $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int - \frac{e^{2 x}}{e^{2 x} + 5} d x$

Paso 4.3

Integra el lado derecho.

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Paso 4.3.1

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{e^{2 x}}{e^{2 x} + 5} d x$

Paso 4.3.2

Sea $u_{2} = e^{2 x} + 5$ . Entonces $d u_{2} = 2 e^{2 x} d x$ , de modo que $\frac{1}{2} d u_{2} = e^{2 x} d x$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 4.3.2.1

Deja $u_{2} = e^{2 x} + 5$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Paso 4.3.2.1.1

Diferencia $e^{2 x} + 5$ .

$\frac{d}{d x} [e^{2 x} + 5]$

Paso 4.3.2.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $e^{2 x} + 5$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [5]$

Paso 4.3.2.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ .

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Paso 4.3.2.1.3.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = 2 x$ .

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Paso 4.3.2.1.3.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $2 x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Paso 4.3.2.1.3.1.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ es $a^{u_{1}} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Paso 4.3.2.1.3.1.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $2 x$ .

$e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Paso 4.3.2.1.3.2

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [5]$

Paso 4.3.2.1.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$e^{2 x} (2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [5]$

Paso 4.3.2.1.3.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$e^{2 x} \cdot 2 + \frac{d}{d x} [5]$

Paso 4.3.2.1.3.5

Mueve $2$ a la izquierda de $e^{2 x}$ .

$2 e^{2 x} + \frac{d}{d x} [5]$

Paso 4.3.2.1.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 4.3.2.1.4.1

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5$ con respecto a $x$ es $0$ .

$2 e^{2 x} + 0$

Paso 4.3.2.1.4.2

Suma $2 e^{2 x}$ y $0$ .

$2 e^{2 x}$

Paso 4.3.2.2

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ y $d u_{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{2}$

Paso 4.3.3

Simplifica.

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Paso 4.3.3.1

Multiplica $\frac{1}{u_{2}}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{1}{u_{2} \cdot 2} d u_{2}$

Paso 4.3.3.2

Mueve $2$ a la izquierda de $u_{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2}$

Paso 4.3.4

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u_{2}$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\ln (| y |) + C_{1} = - (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

Paso 4.3.5

La integral de $\frac{1}{u_{2}}$ con respecto a $u_{2}$ es $\ln (| u_{2} |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C_{2})$

Paso 4.3.6

Simplifica.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \ln (| u_{2} |) + C_{2}$

Paso 4.3.7

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $e^{2 x} + 5$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \ln (| e^{2 x} + 5 |) + C_{2}$

Paso 4.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$\ln (| y |) = - \frac{1}{2} \ln (| e^{2 x} + 5 |) + C$