Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d t} = k \sqrt[5]{t}$

Paso 1

Reescribe la ecuación.

$d y = k \sqrt[5]{t} d t$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int d y = \int k \sqrt[5]{t} d t$

Paso 2.2

Aplica la regla de la constante.

$y + C_{1} = \int k \sqrt[5]{t} d t$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Dado que $k$ es constante con respecto a $t$ , mueve $k$ fuera de la integral.

$y + C_{1} = k \int \sqrt[5]{t} d t$

Paso 2.3.2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[5]{t}$ como $t^{\frac{1}{5}}$ .

$y + C_{1} = k \int t^{\frac{1}{5}} d t$

Paso 2.3.3

Según la regla de la potencia, la integral de $t^{\frac{1}{5}}$ con respecto a $t$ es $\frac{5}{6} t^{\frac{6}{5}}$ .

$y + C_{1} = k (\frac{5}{6} t^{\frac{6}{5}} + C_{2})$

Paso 2.3.4

Simplifica la respuesta.

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Paso 2.3.4.1

Reescribe $k (\frac{5}{6} t^{\frac{6}{5}} + C_{2})$ como $k \frac{5}{6} t^{\frac{6}{5}} + C_{2}$ .

$y + C_{1} = k \frac{5}{6} t^{\frac{6}{5}} + C_{2}$

Paso 2.3.4.2

Simplifica.

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Paso 2.3.4.2.1

Combina $k$ y $\frac{5}{6}$ .

$y + C_{1} = \frac{k \cdot 5}{6} t^{\frac{6}{5}} + C_{2}$

Paso 2.3.4.2.2

Mueve $5$ a la izquierda de $k$ .

$y + C_{1} = \frac{5 \cdot k}{6} t^{\frac{6}{5}} + C_{2}$

Paso 2.3.4.2.3

Combina $\frac{5 k}{6}$ y $t^{\frac{6}{5}}$ .

$y + C_{1} = \frac{5 k t^{\frac{6}{5}}}{6} + C_{2}$

$y + C_{1} = \frac{5}{6} k t^{\frac{6}{5}} + C_{2}$

Paso 2.3.5

Reordena los términos.

$y + C_{1} = \frac{5}{6} t^{\frac{6}{5}} k + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$y = \frac{5}{6} t^{\frac{6}{5}} k + K$