Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = y x (x + 4)$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y x (x + 4))$

Paso 1.2

Simplifica.

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Paso 1.2.1

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 1.2.1.1

Factoriza $y$ de $y x (x + 4)$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y (x (x + 4)))$

Paso 1.2.1.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y (x (x + 4)))$

Paso 1.2.1.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = x (x + 4)$

Paso 1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = x \cdot x + x \cdot 4$

Paso 1.2.3

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = x^{2} + x \cdot 4$

Paso 1.2.4

Mueve $4$ a la izquierda de $x$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = x^{2} + 4 x$

Paso 1.3

Reescribe la ecuación.

$\frac{1}{y} d y = (x^{2} + 4 x) d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{1}{y} d y = \int x^{2} + 4 x d x$

Paso 2.2

La integral de $\frac{1}{y}$ con respecto a $y$ es $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int x^{2} + 4 x d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Divide la única integral en varias integrales.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int x^{2} d x + \int 4 x d x$

Paso 2.3.2

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2} + \int 4 x d x$

Paso 2.3.3

Dado que $4$ es constante con respecto a $x$ , mueve $4$ fuera de la integral.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2} + 4 \int x d x$

Paso 2.3.4

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2} + 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{3})$

Paso 2.3.5

Simplifica.

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Paso 2.3.5.1

Simplifica.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + 4 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$

Paso 2.3.5.2

Simplifica.

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Paso 2.3.5.2.1

Combina $4$ y $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + \frac{4}{2} x^{2} + C_{4}$

Paso 2.3.5.2.2

Cancela el factor común de $4$ y $2$ .

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Paso 2.3.5.2.2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + \frac{2 \cdot 2}{2} x^{2} + C_{4}$

Paso 2.3.5.2.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.3.5.2.2.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + \frac{2 \cdot 2}{2 (1)} x^{2} + C_{4}$

Paso 2.3.5.2.2.2.2

Cancela el factor común.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} x^{2} + C_{4}$

Paso 2.3.5.2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + \frac{2}{1} x^{2} + C_{4}$

Paso 2.3.5.2.2.2.4

Divide $2$ por $1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + 2 x^{2} + C_{4}$

Paso 2.3.6

Reordena los términos.

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 x^{2} + \frac{1}{3} x^{3} + C_{4}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$\ln (| y |) = 2 x^{2} + \frac{1}{3} x^{3} + C$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Para resolver $y$ , reescribe la ecuación mediante las propiedades de los logaritmos.

$e^{\ln (| y |)} = e^{2 x^{2} + \frac{1}{3} x^{3} + C}$

Paso 3.2

Reescribe $\ln (| y |) = 2 x^{2} + \frac{1}{3} x^{3} + C$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{2 x^{2} + \frac{1}{3} x^{3} + C} = | y |$

Paso 3.3

Resuelve $y$

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Paso 3.3.1

Reescribe la ecuación como $| y | = e^{2 x^{2} + \frac{1}{3} x^{3} + C}$ .

$| y | = e^{2 x^{2} + \frac{1}{3} x^{3} + C}$

Paso 3.3.2

Combina $\frac{1}{3}$ y $x^{3}$ .

$| y | = e^{2 x^{2} + \frac{x^{3}}{3} + C}$

Paso 3.3.3

Elimina el término de valor absoluto. Esto crea un $\pm$ en el lado derecho de la ecuación debido a $| x | = \pm x$ .

$y = \pm e^{2 x^{2} + \frac{x^{3}}{3} + C}$

Paso 4

Agrupa los términos de la constante.

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Paso 4.1

Reescribe $e^{2 x^{2} + \frac{x^{3}}{3} + C}$ como $e^{2 x^{2} + \frac{x^{3}}{3}} e^{C}$ .

$y = \pm e^{2 x^{2} + \frac{x^{3}}{3}} e^{C}$

Paso 4.2

Reordena $e^{2 x^{2} + \frac{x^{3}}{3}}$ y $e^{C}$ .

$y = \pm e^{C} e^{2 x^{2} + \frac{x^{3}}{3}}$

Paso 4.3

Combina constantes con el signo más o menos.

$y = C e^{2 x^{2} + \frac{x^{3}}{3}}$