Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} - y = y^{3}$

Paso 1

Para resolver la ecuación diferencial, sea $v = y^{1 - n}$ donde $n$ es el exponente de $y^{3}$ .

$v = y^{- 2}$

Paso 2

Resuelve la ecuación en $y$ .

$y = v^{- \frac{1}{2}}$

Paso 3

Calcula la derivada de $y$ con respecto a $x$ .

$y' = v^{- \frac{1}{2}}$

Paso 4

Calcula la derivada de $v^{- \frac{1}{2}}$ con respecto a $x$ .

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Paso 4.1

Calcula la derivada de $v^{- \frac{1}{2}}$ .

$y' = \frac{d}{d x} [v^{- \frac{1}{2}}]$

Paso 4.2

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y' = \frac{d}{d x} [\frac{1}{v^{\frac{1}{2}}}]$

Paso 4.3

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = 1$ y $g (x) = v^{\frac{1}{2}}$ .

$y' = \frac{v^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1] - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{{(v^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 4.4

Simplifica la expresión.

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Paso 4.4.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$y' = \frac{v^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{{(v^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 4.4.2

Multiplica los exponentes en ${(v^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 4.4.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y' = \frac{v^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{v^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 4.4.2.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.4.2.2.1

Cancela el factor común.

$y' = \frac{v^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{v^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 4.4.2.2.2

Reescribe la expresión.

$y' = \frac{v^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{v^{1}}$

Paso 4.5

Simplifica.

$y' = \frac{v^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{v}$

Paso 4.6

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 4.6.1

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$y' = \frac{v^{\frac{1}{2}} \cdot 0 - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{v}$

Paso 4.6.2

Simplifica la expresión.

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Paso 4.6.2.1

Multiplica $v^{\frac{1}{2}}$ por $0$ .

$y' = \frac{0 - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{v}$

Paso 4.6.2.2

Resta $\frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]$ de $0$ .

$y' = \frac{- \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{v}$

Paso 4.6.2.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = - \frac{\frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{v}$

Paso 4.7

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ y $g (x) = v$ .

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Paso 4.7.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $v$ .

$y' = - \frac{\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [v]}{v}$

Paso 4.7.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

Paso 4.7.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $v$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{2} v^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

Paso 4.8

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{2} v^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

Paso 4.9

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{2} v^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

Paso 4.10

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y' = - \frac{\frac{1}{2} v^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

Paso 4.11

Simplifica el numerador.

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Paso 4.11.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{2} v^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

Paso 4.11.2

Resta $2$ de $1$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{2} v^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

Paso 4.12

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = - \frac{\frac{1}{2} v^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

Paso 4.13

Combina $\frac{1}{2}$ y $v^{- \frac{1}{2}}$ .

$y' = - \frac{\frac{v^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

Paso 4.14

Mueve $v^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{2 v^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

Paso 4.15

Reescribe $\frac{d}{d x} [v]$ como $v'$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{2 v^{\frac{1}{2}}} v'}{v}$

Paso 4.16

Combina $\frac{1}{2 v^{\frac{1}{2}}}$ y $v'$ .

$y' = - \frac{\frac{v'}{2 v^{\frac{1}{2}}}}{v}$

Paso 4.17

Reescribe $\frac{\frac{v'}{2 v^{\frac{1}{2}}}}{v}$ como un producto.

$y' = - (\frac{v'}{2 v^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{v})$

Paso 4.18

Multiplica $\frac{v'}{2 v^{\frac{1}{2}}}$ por $\frac{1}{v}$ .

$y' = - \frac{v'}{2 v^{\frac{1}{2}} v}$

Paso 4.19

Eleva $v$ a la potencia de $1$ .

$y' = - \frac{v'}{2 (v^{1} v^{\frac{1}{2}})}$

Paso 4.20

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$y' = - \frac{v'}{2 v^{1 + \frac{1}{2}}}$

Paso 4.21

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$y' = - \frac{v'}{2 v^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}$

Paso 4.22

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y' = - \frac{v'}{2 v^{\frac{2 + 1}{2}}}$

Paso 4.23

Suma $2$ y $1$ .

$y' = - \frac{v'}{2 v^{\frac{3}{2}}}$

Paso 5

Sustituye $- \frac{v'}{2 v^{\frac{3}{2}}}$ por $\frac{d y}{d x}$ y $v^{- \frac{1}{2}}$ por $y$ en la ecuación original $\frac{d y}{d x} - y = y^{3}$ .

$- \frac{v'}{2 v^{\frac{3}{2}}} - v^{- \frac{1}{2}} = {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3}$

Paso 6

Resuelve la ecuación diferencial sustituida.

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Paso 6.1

Separa las variables.

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Paso 6.1.1

Resuelve $\frac{d v}{d x}$

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Paso 6.1.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.1.1.1.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} - \frac{1}{v^{\frac{1}{2}}} - {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} = 0$

Paso 6.1.1.1.2

Multiplica los exponentes en ${(v^{- \frac{1}{2}})}^{3}$ .

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Paso 6.1.1.1.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} - \frac{1}{v^{\frac{1}{2}}} - v^{- \frac{1}{2} \cdot 3} = 0$

Paso 6.1.1.1.2.2

Multiplica $- \frac{1}{2} \cdot 3$ .

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Paso 6.1.1.1.2.2.1

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} - \frac{1}{v^{\frac{1}{2}}} - v^{- 3 (\frac{1}{2})} = 0$

Paso 6.1.1.1.2.2.2

Combina $- 3$ y $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} - \frac{1}{v^{\frac{1}{2}}} - v^{\frac{- 3}{2}} = 0$

Paso 6.1.1.1.2.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} - \frac{1}{v^{\frac{1}{2}}} - v^{- \frac{3}{2}} = 0$

Paso 6.1.1.1.3

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} - \frac{1}{v^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{v^{\frac{3}{2}}} = 0$

Paso 6.1.1.2

Mueve todos los términos que no contengan $\frac{d v}{d x}$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 6.1.1.2.1

Suma $\frac{1}{v^{\frac{1}{2}}}$ a ambos lados de la ecuación.

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} - \frac{1}{v^{\frac{3}{2}}} = \frac{1}{v^{\frac{1}{2}}}$

Paso 6.1.1.2.2

Suma $\frac{1}{v^{\frac{3}{2}}}$ a ambos lados de la ecuación.

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} = \frac{1}{v^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{v^{\frac{3}{2}}}$

Paso 6.1.1.3

Divide cada término en $- \frac{\frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} = \frac{1}{v^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{v^{\frac{3}{2}}}$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 6.1.1.3.1

Divide cada término en $- \frac{\frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} = \frac{1}{v^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{v^{\frac{3}{2}}}$ por $- 1$ .

$\frac{- \frac{\frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}}}{- 1} = \frac{\frac{1}{v^{\frac{1}{2}}}}{- 1} + \frac{\frac{1}{v^{\frac{3}{2}}}}{- 1}$

Paso 6.1.1.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.1.1.3.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{\frac{\frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}}}{1} = \frac{\frac{1}{v^{\frac{1}{2}}}}{- 1} + \frac{\frac{1}{v^{\frac{3}{2}}}}{- 1}$

Paso 6.1.1.3.2.2

Divide $\frac{\frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}}$ por $1$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} = \frac{\frac{1}{v^{\frac{1}{2}}}}{- 1} + \frac{\frac{1}{v^{\frac{3}{2}}}}{- 1}$

Paso 6.1.1.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.1.1.3.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.1.1.3.3.1.1

Mueve el negativo del denominador de $\frac{\frac{1}{v^{\frac{1}{2}}}}{- 1}$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} = - 1 \cdot \frac{1}{v^{\frac{1}{2}}} + \frac{\frac{1}{v^{\frac{3}{2}}}}{- 1}$

Paso 6.1.1.3.3.1.2

Reescribe $- 1 \cdot \frac{1}{v^{\frac{1}{2}}}$ como $- \frac{1}{v^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} = - \frac{1}{v^{\frac{1}{2}}} + \frac{\frac{1}{v^{\frac{3}{2}}}}{- 1}$

Paso 6.1.1.3.3.1.3

Mueve el negativo del denominador de $\frac{\frac{1}{v^{\frac{3}{2}}}}{- 1}$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} = - \frac{1}{v^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot \frac{1}{v^{\frac{3}{2}}}$

Paso 6.1.1.3.3.1.4

Reescribe $- 1 \cdot \frac{1}{v^{\frac{3}{2}}}$ como $- \frac{1}{v^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} = - \frac{1}{v^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{v^{\frac{3}{2}}}$

Paso 6.1.1.4

Multiplica ambos lados por $2 v^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} (2 v^{\frac{3}{2}}) = (- \frac{1}{v^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{v^{\frac{3}{2}}}) (2 v^{\frac{3}{2}})$

Paso 6.1.1.5

Simplifica.

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Paso 6.1.1.5.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.1.1.5.1.1

Simplifica $\frac{\frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} (2 v^{\frac{3}{2}})$ .

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Paso 6.1.1.5.1.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$2 \frac{\frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} v^{\frac{3}{2}} = (- \frac{1}{v^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{v^{\frac{3}{2}}}) (2 v^{\frac{3}{2}})$

Paso 6.1.1.5.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.1.1.5.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$2 \frac{\frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} v^{\frac{3}{2}} = (- \frac{1}{v^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{v^{\frac{3}{2}}}) (2 v^{\frac{3}{2}})$

Paso 6.1.1.5.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v^{\frac{3}{2}}} v^{\frac{3}{2}} = (- \frac{1}{v^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{v^{\frac{3}{2}}}) (2 v^{\frac{3}{2}})$

Paso 6.1.1.5.1.1.3

Cancela el factor común de $v^{\frac{3}{2}}$ .

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Paso 6.1.1.5.1.1.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v^{\frac{3}{2}}} v^{\frac{3}{2}} = (- \frac{1}{v^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{v^{\frac{3}{2}}}) (2 v^{\frac{3}{2}})$

Paso 6.1.1.5.1.1.3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{d v}{d x} = (- \frac{1}{v^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{v^{\frac{3}{2}}}) (2 v^{\frac{3}{2}})$

Paso 6.1.1.5.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.1.1.5.2.1

Simplifica $(- \frac{1}{v^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{v^{\frac{3}{2}}}) (2 v^{\frac{3}{2}})$ .

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Paso 6.1.1.5.2.1.1

Simplifica los términos.

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Paso 6.1.1.5.2.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{d v}{d x} = - \frac{1}{v^{\frac{1}{2}}} (2 v^{\frac{3}{2}}) - \frac{1}{v^{\frac{3}{2}}} (2 v^{\frac{3}{2}})$

Paso 6.1.1.5.2.1.1.2

Cancela el factor común de $v^{\frac{1}{2}}$ .

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Paso 6.1.1.5.2.1.1.2.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{v^{\frac{1}{2}}}$ al numerador.

$\frac{d v}{d x} = \frac{- 1}{v^{\frac{1}{2}}} (2 v^{\frac{3}{2}}) - \frac{1}{v^{\frac{3}{2}}} (2 v^{\frac{3}{2}})$

Paso 6.1.1.5.2.1.1.2.2

Factoriza $v^{\frac{1}{2}}$ de $2 v^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{d v}{d x} = \frac{- 1}{v^{\frac{1}{2}}} (v^{\frac{1}{2}} (2 v^{\frac{2}{2}})) - \frac{1}{v^{\frac{3}{2}}} (2 v^{\frac{3}{2}})$

Paso 6.1.1.5.2.1.1.2.3

Cancela el factor común.

$\frac{d v}{d x} = \frac{- 1}{v^{\frac{1}{2}}} (v^{\frac{1}{2}} (2 v^{\frac{2}{2}})) - \frac{1}{v^{\frac{3}{2}}} (2 v^{\frac{3}{2}})$

Paso 6.1.1.5.2.1.1.2.4

Reescribe la expresión.

$\frac{d v}{d x} = - 1 (2 v^{\frac{2}{2}}) - \frac{1}{v^{\frac{3}{2}}} (2 v^{\frac{3}{2}})$

Paso 6.1.1.5.2.1.1.3

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{d v}{d x} = - 2 v^{\frac{2}{2}} - \frac{1}{v^{\frac{3}{2}}} (2 v^{\frac{3}{2}})$

Paso 6.1.1.5.2.1.1.4

Cancela el factor común de $v^{\frac{3}{2}}$ .

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Paso 6.1.1.5.2.1.1.4.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{v^{\frac{3}{2}}}$ al numerador.

$\frac{d v}{d x} = - 2 v^{\frac{2}{2}} + \frac{- 1}{v^{\frac{3}{2}}} (2 v^{\frac{3}{2}})$

Paso 6.1.1.5.2.1.1.4.2

Factoriza $v^{\frac{3}{2}}$ de $2 v^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{d v}{d x} = - 2 v^{\frac{2}{2}} + \frac{- 1}{v^{\frac{3}{2}}} (v^{\frac{3}{2}} \cdot 2)$

Paso 6.1.1.5.2.1.1.4.3

Cancela el factor común.

$\frac{d v}{d x} = - 2 v^{\frac{2}{2}} + \frac{- 1}{v^{\frac{3}{2}}} (v^{\frac{3}{2}} \cdot 2)$

Paso 6.1.1.5.2.1.1.4.4

Reescribe la expresión.

$\frac{d v}{d x} = - 2 v^{\frac{2}{2}} - 1 \cdot 2$

Paso 6.1.1.5.2.1.1.5

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{d v}{d x} = - 2 v^{\frac{2}{2}} - 2$

Paso 6.1.1.5.2.1.2

Simplifica cada término.

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Paso 6.1.1.5.2.1.2.1

Divide $2$ por $2$ .

$\frac{d v}{d x} = - 2 v^{1} - 2$

Paso 6.1.1.5.2.1.2.2

Simplifica.

$\frac{d v}{d x} = - 2 v - 2$

Paso 6.1.2

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{- 2 v - 2}$ .

$\frac{1}{- 2 v - 2} \frac{d v}{d x} = \frac{1}{- 2 v - 2} (- 2 v - 2)$

Paso 6.1.3

Simplifica.

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Paso 6.1.3.1

Factoriza $2$ de $- 2 v - 2$ .

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Paso 6.1.3.1.1

Factoriza $2$ de $- 2 v$ .

$\frac{1}{- 2 v - 2} \frac{d v}{d x} = \frac{1}{2 (- v) - 2} (- 2 v - 2)$

Paso 6.1.3.1.2

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$\frac{1}{- 2 v - 2} \frac{d v}{d x} = \frac{1}{2 (- v) + 2 (- 1)} (- 2 v - 2)$

Paso 6.1.3.1.3

Factoriza $2$ de $2 (- v) + 2 (- 1)$ .

$\frac{1}{- 2 v - 2} \frac{d v}{d x} = \frac{1}{2 (- v - 1)} (- 2 v - 2)$

Paso 6.1.3.2

Multiplica $\frac{1}{2 (- v - 1)}$ por $- 2 v - 2$ .

$\frac{1}{- 2 v - 2} \frac{d v}{d x} = \frac{- 2 v - 2}{2 (- v - 1)}$

Paso 6.1.3.3

Cancela el factor común de $- 2 v - 2$ y $2$ .

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Paso 6.1.3.3.1

Factoriza $2$ de $- 2 v$ .

$\frac{1}{- 2 v - 2} \frac{d v}{d x} = \frac{2 (- v) - 2}{2 (- v - 1)}$

Paso 6.1.3.3.2

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$\frac{1}{- 2 v - 2} \frac{d v}{d x} = \frac{2 (- v) + 2 \cdot - 1}{2 (- v - 1)}$

Paso 6.1.3.3.3

Factoriza $2$ de $2 (- v) + 2 (- 1)$ .

$\frac{1}{- 2 v - 2} \frac{d v}{d x} = \frac{2 (- v - 1)}{2 (- v - 1)}$

Paso 6.1.3.3.4

Cancela los factores comunes.

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Paso 6.1.3.3.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{- 2 v - 2} \frac{d v}{d x} = \frac{2 (- v - 1)}{2 (- v - 1)}$

Paso 6.1.3.3.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{- 2 v - 2} \frac{d v}{d x} = \frac{- v - 1}{- v - 1}$

Paso 6.1.3.4

Cancela el factor común de $- v - 1$ .

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Paso 6.1.3.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{- 2 v - 2} \frac{d v}{d x} = \frac{- v - 1}{- v - 1}$

Paso 6.1.3.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{- 2 v - 2} \frac{d v}{d x} = 1$

Paso 6.1.4

Reescribe la ecuación.

$\frac{1}{- 2 v - 2} d v = 1 d x$

Paso 6.2

Integra ambos lados.

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Paso 6.2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{1}{- 2 v - 2} d v = \int d x$

Paso 6.2.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 6.2.2.1

Sea $u_{2} = - 2 v - 2$ . Entonces $d u_{2} = - 2 d v$ , de modo que $- \frac{1}{2} d u_{2} = d v$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 6.2.2.1.1

Deja $u_{2} = - 2 v - 2$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d v}$ .

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Paso 6.2.2.1.1.1

Diferencia $- 2 v - 2$ .

$\frac{d}{d v} [- 2 v - 2]$

Paso 6.2.2.1.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $- 2 v - 2$ con respecto a $v$ es $\frac{d}{d v} [- 2 v] + \frac{d}{d v} [- 2]$ .

$\frac{d}{d v} [- 2 v] + \frac{d}{d v} [- 2]$

Paso 6.2.2.1.1.3

Evalúa $\frac{d}{d v} [- 2 v]$ .

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Paso 6.2.2.1.1.3.1

Como $- 2$ es constante con respecto a $v$ , la derivada de $- 2 v$ con respecto a $v$ es $- 2 \frac{d}{d v} [v]$ .

$- 2 \frac{d}{d v} [v] + \frac{d}{d v} [- 2]$

Paso 6.2.2.1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d v} [v^{n}]$ es $n v^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 2 \cdot 1 + \frac{d}{d v} [- 2]$

Paso 6.2.2.1.1.3.3

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$- 2 + \frac{d}{d v} [- 2]$

Paso 6.2.2.1.1.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 6.2.2.1.1.4.1

Como $- 2$ es constante con respecto a $v$ , la derivada de $- 2$ con respecto a $v$ es $0$ .

$- 2 + 0$

Paso 6.2.2.1.1.4.2

Suma $- 2$ y $0$ .

$- 2$

Paso 6.2.2.1.2

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ y $d u_{2}$ .

$\int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{- 2} d u_{2} = \int d x$

Paso 6.2.2.2

Simplifica.

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Paso 6.2.2.2.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\int \frac{1}{u_{2}} (- \frac{1}{2}) d u_{2} = \int d x$

Paso 6.2.2.2.2

Multiplica $\frac{1}{u_{2}}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\int - \frac{1}{u_{2} \cdot 2} d u_{2} = \int d x$

Paso 6.2.2.2.3

Mueve $2$ a la izquierda de $u_{2}$ .

$\int - \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2} = \int d x$

Paso 6.2.2.3

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u_{2}$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$- \int \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2} = \int d x$

Paso 6.2.2.4

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u_{2}$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$- (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}) = \int d x$

Paso 6.2.2.5

La integral de $\frac{1}{u_{2}}$ con respecto a $u_{2}$ es $\ln (| u_{2} |)$ .

$- \frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C_{1}) = \int d x$

Paso 6.2.2.6

Simplifica.

$- \frac{1}{2} \ln (| u_{2} |) + C_{1} = \int d x$

Paso 6.2.2.7

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $- 2 v - 2$ .

$- \frac{1}{2} \ln (| - 2 v - 2 |) + C_{1} = \int d x$

Paso 6.2.3

Aplica la regla de la constante.

$- \frac{1}{2} \ln (| - 2 v - 2 |) + C_{1} = x + C_{2}$

Paso 6.2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$- \frac{1}{2} \ln (| - 2 v - 2 |) = x + C$

Paso 6.3

Resuelve $v$

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Paso 6.3.1

Multiplica ambos lados de la ecuación por $- 2$ .

$- 2 (- \frac{1}{2} \ln (| - 2 v - 2 |)) = - 2 (x + C)$

Paso 6.3.2

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 6.3.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.3.2.1.1

Simplifica $- 2 (- \frac{1}{2} \ln (| - 2 v - 2 |))$ .

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Paso 6.3.2.1.1.1

Combina $\ln (| - 2 v - 2 |)$ y $\frac{1}{2}$ .

$- 2 (- \frac{\ln (| - 2 v - 2 |)}{2}) = - 2 (x + C)$

Paso 6.3.2.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.3.2.1.1.2.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{\ln (| - 2 v - 2 |)}{2}$ al numerador.

$- 2 \frac{- \ln (| - 2 v - 2 |)}{2} = - 2 (x + C)$

Paso 6.3.2.1.1.2.2

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$2 (- 1) \frac{- \ln (| - 2 v - 2 |)}{2} = - 2 (x + C)$

Paso 6.3.2.1.1.2.3

Cancela el factor común.

$2 \cdot - 1 \frac{- \ln (| - 2 v - 2 |)}{2} = - 2 (x + C)$

Paso 6.3.2.1.1.2.4

Reescribe la expresión.

$- - \ln (| - 2 v - 2 |) = - 2 (x + C)$

Paso 6.3.2.1.1.3

Multiplica.

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Paso 6.3.2.1.1.3.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1 \ln (| - 2 v - 2 |) = - 2 (x + C)$

Paso 6.3.2.1.1.3.2

Multiplica $\ln (| - 2 v - 2 |)$ por $1$ .

$\ln (| - 2 v - 2 |) = - 2 (x + C)$

Paso 6.3.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.3.2.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\ln (| - 2 v - 2 |) = - 2 x - 2 C$

Paso 6.3.3

Para resolver $v$ , reescribe la ecuación mediante las propiedades de los logaritmos.

$e^{\ln (| - 2 v - 2 |)} = e^{- 2 x - 2 C}$

Paso 6.3.4

Reescribe $\ln (| - 2 v - 2 |) = - 2 x - 2 C$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{- 2 x - 2 C} = | - 2 v - 2 |$

Paso 6.3.5

Resuelve $v$

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Paso 6.3.5.1

Reescribe la ecuación como $| - 2 v - 2 | = e^{- 2 x - 2 C}$ .

$| - 2 v - 2 | = e^{- 2 x - 2 C}$

Paso 6.3.5.2

Elimina el término de valor absoluto. Esto crea un $\pm$ en el lado derecho de la ecuación debido a $| x | = \pm x$ .

$- 2 v - 2 = \pm e^{- 2 x - 2 C}$

Paso 6.3.5.3

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$- 2 v = \pm e^{- 2 x - 2 C} + 2$

Paso 6.3.5.4

Divide cada término en $- 2 v = \pm e^{- 2 x - 2 C} + 2$ por $- 2$ y simplifica.

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Paso 6.3.5.4.1

Divide cada término en $- 2 v = \pm e^{- 2 x - 2 C} + 2$ por $- 2$ .

$\frac{- 2 v}{- 2} = \frac{\pm e^{- 2 x - 2 C}}{- 2} + \frac{2}{- 2}$

Paso 6.3.5.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.3.5.4.2.1

Cancela el factor común de $- 2$ .

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Paso 6.3.5.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 2 v}{- 2} = \frac{\pm e^{- 2 x - 2 C}}{- 2} + \frac{2}{- 2}$

Paso 6.3.5.4.2.1.2

Divide $v$ por $1$ .

$v = \frac{\pm e^{- 2 x - 2 C}}{- 2} + \frac{2}{- 2}$

Paso 6.3.5.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.3.5.4.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.3.5.4.3.1.1

Simplifica $\frac{\pm e^{- 2 x - 2 C}}{- 2}$ .

$v = \frac{\pm e^{- 2 x - 2 C}}{2} + \frac{2}{- 2}$

Paso 6.3.5.4.3.1.2

Divide $2$ por $- 2$ .

$v = \frac{\pm e^{- 2 x - 2 C}}{2} - 1$

Paso 6.3.5.4.3.2

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$v = \frac{\pm e^{- 2 x - 2 C}}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}$

Paso 6.3.5.4.3.3

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$v = \frac{\pm e^{- 2 x - 2 C}}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}$

Paso 6.3.5.4.3.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$v = \frac{\pm e^{- 2 x - 2 C} - 1 \cdot 2}{2}$

Paso 6.3.5.4.3.5

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$v = \frac{\pm e^{- 2 x - 2 C} - 2}{2}$

Paso 6.4

Agrupa los términos de la constante.

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Paso 6.4.1

Simplifica la constante de integración.

$v = \frac{\pm e^{- 2 x + C} - 2}{2}$

Paso 6.4.2

Reescribe $e^{- 2 x + C}$ como $e^{- 2 x} e^{C}$ .

$v = \frac{\pm e^{- 2 x} e^{C} - 2}{2}$

Paso 6.4.3

Reordena $e^{- 2 x}$ y $e^{C}$ .

$v = \frac{\pm e^{C} e^{- 2 x} - 2}{2}$

Paso 6.4.4

Combina constantes con el signo más o menos.

$v = \frac{C e^{- 2 x} - 2}{2}$

Paso 7

Sustituye $y^{- 2}$ por $v$ .

$y^{- 2} = \frac{C e^{- 2 x} - 2}{2}$