Cálculo Ejemplos

$(2 x - y - 3) d x - (x + 4 y + 3) d y = 0$

Paso 1

Obtén $\frac{\partial M}{\partial y}$ donde $M (x, y) = 2 x - y - 3$ .

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Paso 1.1

Diferencia $M$ con respecto a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x - y - 3]$

Paso 1.2

Diferencia.

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Paso 1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x - y - 3$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [2 x] + \frac{d}{d y} [- y] + \frac{d}{d y} [- 3]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x] + \frac{d}{d y} [- y] + \frac{d}{d y} [- 3]$

Paso 1.2.2

Como $2 x$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $y$ es $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [- y] + \frac{d}{d y} [- 3]$

Paso 1.3

Evalúa $\frac{d}{d y} [- y]$ .

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Paso 1.3.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $- y$ con respecto a $y$ es $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 3]$

Paso 1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- 3]$

Paso 1.3.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 1 + \frac{d}{d y} [- 3]$

Paso 1.4

Como $- 3$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $- 3$ con respecto a $y$ es $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 1 + 0$

Paso 1.5

Combina los términos.

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Paso 1.5.1

Resta $1$ de $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 1 + 0$

Paso 1.5.2

Suma $- 1$ y $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 1$

Paso 2

Obtén $\frac{\partial N}{\partial x}$ donde $N (x, y) = - (x + 4 y + 3)$ .

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Paso 2.1

Diferencia $N$ con respecto a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- (x + 4 y + 3)]$

Paso 2.2

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- (x + 4 y + 3)$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x + 4 y + 3]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \frac{d}{d x} [x + 4 y + 3]$

Paso 2.3

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 4 y + 3$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [3])$

Paso 2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (1 + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [3])$

Paso 2.5

Como $4 y$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 y$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (1 + 0 + \frac{d}{d x} [3])$

Paso 2.6

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (1 + \frac{d}{d x} [3])$

Paso 2.7

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (1 + 0)$

Paso 2.8

Simplifica la expresión.

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Paso 2.8.1

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 1 \cdot 1$

Paso 2.8.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 1$

Paso 3

Comprueba que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Paso 3.1

Sustituye $- 1$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ y $- 1$ para $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$- 1 = - 1$

Paso 3.2

Debido a que se ha demostrado que los dos lados son equivalentes, la ecuación es una identidad.

$- 1 = - 1$ es una identidad.

Paso 4

Establece $f (x, y)$ igual a la integral de $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int - (x + 4 y + 3) d y$

Paso 5

Integra $N (x, y) = - (x + 4 y + 3)$ para obtener $f (x, y)$ .

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Paso 5.1

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $y$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$f (x, y) = - \int x + 4 y + 3 d y$

Paso 5.2

Divide la única integral en varias integrales.

$f (x, y) = - (\int x d y + \int 4 y d y + \int 3 d y)$

Paso 5.3

Aplica la regla de la constante.

$f (x, y) = - (x y + C + \int 4 y d y + \int 3 d y)$

Paso 5.4

Dado que $4$ es constante con respecto a $y$ , mueve $4$ fuera de la integral.

$f (x, y) = - (x y + C + 4 \int y d y + \int 3 d y)$

Paso 5.5

Según la regla de la potencia, la integral de $y$ con respecto a $y$ es $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = - (x y + C + 4 (\frac{1}{2} y^{2} + C) + \int 3 d y)$

Paso 5.6

Aplica la regla de la constante.

$f (x, y) = - (x y + C + 4 (\frac{1}{2} y^{2} + C) + 3 y + C)$

Paso 5.7

Combina $\frac{1}{2}$ y $y^{2}$ .

$f (x, y) = - (x y + C + 4 (\frac{y^{2}}{2} + C) + 3 y + C)$

Paso 5.8

Simplifica.

$f (x, y) = - (x y + 2 y^{2} + 3 y) + C$

Paso 6

Como la integral de $g (x)$ , contendrá una constante de integración, podemos reemplazar $C$ con $g (x)$ .

$f (x, y) = - (x y + 2 y^{2} + 3 y) + g (x)$

Paso 7

Establece $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = 2 x - y - 3$

Paso 8

Obtén $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Paso 8.1

Diferencia $f$ con respecto a $x$ .

$\frac{d}{d x} [- (x y + 2 y^{2} + 3 y) + g (x)] = 2 x - y - 3$

Paso 8.2

Según la regla de la suma, la derivada de $- (x y + 2 y^{2} + 3 y) + g (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [- (x y + 2 y^{2} + 3 y)] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [- (x y + 2 y^{2} + 3 y)] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x - y - 3$

Paso 8.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- (x y + 2 y^{2} + 3 y)]$ .

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Paso 8.3.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- (x y + 2 y^{2} + 3 y)$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x y + 2 y^{2} + 3 y]$ .

$- \frac{d}{d x} [x y + 2 y^{2} + 3 y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x - y - 3$

Paso 8.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x y + 2 y^{2} + 3 y$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [3 y]$ .

$- (\frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [3 y]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x - y - 3$

Paso 8.3.3

Como $y$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $x y$ con respecto a $x$ es $y \frac{d}{d x} [x]$ .

$- (y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [3 y]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x - y - 3$

Paso 8.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- (y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [3 y]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x - y - 3$

Paso 8.3.5

Como $2 y^{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 y^{2}$ con respecto a $x$ es $0$ .

$- (y \cdot 1 + 0 + \frac{d}{d x} [3 y]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x - y - 3$

Paso 8.3.6

Como $3 y$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 y$ con respecto a $x$ es $0$ .

$- (y \cdot 1 + 0 + 0) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x - y - 3$

Paso 8.3.7

Multiplica $y$ por $1$ .

$- (y + 0 + 0) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x - y - 3$

Paso 8.3.8

Suma $y$ y $0$ .

$- (y + 0) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x - y - 3$

Paso 8.3.9

Suma $y$ y $0$ .

$- y + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x - y - 3$

Paso 8.4

Diferencia con la regla de la función que establece que la derivada de $g (x)$ es $\frac{d g}{d x}$ .

$- y + \frac{d g}{d x} = 2 x - y - 3$

Paso 8.5

Reordena los términos.

$\frac{d g}{d x} - y = 2 x - y - 3$

Paso 9

Resuelve $\frac{d g}{d x}$

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Paso 9.1

Mueve todos los términos que no contengan $\frac{d g}{d x}$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 9.1.1

Suma $y$ a ambos lados de la ecuación.

$\frac{d g}{d x} = 2 x - y - 3 + y$

Paso 9.1.2

Combina los términos opuestos en $2 x - y - 3 + y$ .

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Paso 9.1.2.1

Suma $- y$ y $y$ .

$\frac{d g}{d x} = 2 x + 0 - 3$

Paso 9.1.2.2

Suma $2 x$ y $0$ .

$\frac{d g}{d x} = 2 x - 3$

Paso 10

Obtén la antiderivada de $2 x - 3$ y obtén $g (x)$ .

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Paso 10.1

Integra ambos lados de $\frac{d g}{d x} = 2 x - 3$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 2 x - 3 d x$

Paso 10.2

Evalúa $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int 2 x - 3 d x$

Paso 10.3

Divide la única integral en varias integrales.

$g (x) = \int 2 x d x + \int - 3 d x$

Paso 10.4

Dado que $2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$g (x) = 2 \int x d x + \int - 3 d x$

Paso 10.5

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$g (x) = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int - 3 d x$

Paso 10.6

Aplica la regla de la constante.

$g (x) = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) - 3 x + C$

Paso 10.7

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{2}$ .

$g (x) = 2 (\frac{x^{2}}{2} + C) - 3 x + C$

Paso 10.8

Simplifica.

$g (x) = x^{2} - 3 x + C$

Paso 11

Sustituye por $g (x)$ en $f (x, y) = - (x y + 2 y^{2} + 3 y) + g (x)$ .

$f (x, y) = - (x y + 2 y^{2} + 3 y) + x^{2} - 3 x + C$

Paso 12

Simplifica cada término.

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Paso 12.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f (x, y) = - (x y) - (2 y^{2}) - (3 y) + x^{2} - 3 x + C$

Paso 12.2

Simplifica.

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Paso 12.2.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$f (x, y) = - x y - 2 y^{2} - (3 y) + x^{2} - 3 x + C$

Paso 12.2.2

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$f (x, y) = - x y - 2 y^{2} - 3 y + x^{2} - 3 x + C$