Cálculo Ejemplos

$y^{2} \frac{d x}{d y} + x y = 2 y^{2} + 1$

Paso 1

Reescribe la ecuación diferencial como $\frac{d x}{d y} + M (y) x = Q (y)$ .

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Paso 1.1

Factoriza $x$ de $x y$ .

$y^{2} \frac{d x}{d y} + x (y) = 2 y^{2} + 1$

Paso 1.2

Reordena $x$ y $y$ .

$y^{2} \frac{d x}{d y} + y x = 2 y^{2} + 1$

Paso 1.3

Divide cada término en $y^{2} \frac{d x}{d y} + y x = 2 y^{2} + 1$ por $y^{2}$ .

$\frac{y^{2} \frac{d x}{d y}}{y^{2}} + \frac{y x}{y^{2}} = \frac{2 y^{2}}{y^{2}} + \frac{1}{y^{2}}$

Paso 1.4

Cancela el factor común de $y^{2}$ .

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Paso 1.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{y^{2} \frac{d x}{d y}}{y^{2}} + \frac{y x}{y^{2}} = \frac{2 y^{2}}{y^{2}} + \frac{1}{y^{2}}$

Paso 1.4.2

Divide $\frac{d x}{d y}$ por $1$ .

$\frac{d x}{d y} + \frac{y x}{y^{2}} = \frac{2 y^{2}}{y^{2}} + \frac{1}{y^{2}}$

Paso 1.5

Cancela el factor común de $y$ y $y^{2}$ .

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Paso 1.5.1

Factoriza $y$ de $y x$ .

$\frac{d x}{d y} + \frac{y (x)}{y^{2}} = \frac{2 y^{2}}{y^{2}} + \frac{1}{y^{2}}$

Paso 1.5.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.5.2.1

Factoriza $y$ de $y^{2}$ .

$\frac{d x}{d y} + \frac{y (x)}{y \cdot y} = \frac{2 y^{2}}{y^{2}} + \frac{1}{y^{2}}$

Paso 1.5.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{d x}{d y} + \frac{y x}{y \cdot y} = \frac{2 y^{2}}{y^{2}} + \frac{1}{y^{2}}$

Paso 1.5.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{d x}{d y} + \frac{x}{y} = \frac{2 y^{2}}{y^{2}} + \frac{1}{y^{2}}$

Paso 1.6

Cancela el factor común de $y^{2}$ .

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Paso 1.6.1

Cancela el factor común.

$\frac{d x}{d y} + \frac{x}{y} = \frac{2 y^{2}}{y^{2}} + \frac{1}{y^{2}}$

Paso 1.6.2

Divide $2$ por $1$ .

$\frac{d x}{d y} + \frac{x}{y} = 2 + \frac{1}{y^{2}}$

Paso 1.7

Factoriza $x$ de $\frac{x}{y}$ .

$\frac{d x}{d y} + x \frac{1}{y} = 2 + \frac{1}{y^{2}}$

Paso 1.8

Reordena $x$ y $\frac{1}{y}$ .

$\frac{d x}{d y} + \frac{1}{y} x = 2 + \frac{1}{y^{2}}$

Paso 2

El factor integrador se define mediante la fórmula $e^{\int P (y) d y}$ , donde $P (y) = \frac{1}{y}$ .

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Paso 2.1

Establece la integración.

$e^{\int \frac{1}{y} d y}$

Paso 2.2

La integral de $\frac{1}{y}$ con respecto a $y$ es $\ln (| y |)$ .

$e^{\ln (| y |) + C}$

Paso 2.3

Elimina la constante de integración.

$e^{\ln (y)}$

Paso 2.4

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

$y$

Paso 3

Multiplica cada término por el factor integrador $y$ .

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Paso 3.1

Multiplica cada término por $y$ .

$y \frac{d x}{d y} + y (\frac{1}{y} x) = y \cdot 2 + y \frac{1}{y^{2}}$

Paso 3.2

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.1

Combina $\frac{1}{y}$ y $x$ .

$y \frac{d x}{d y} + y \frac{x}{y} = y \cdot 2 + y \frac{1}{y^{2}}$

Paso 3.2.2

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 3.2.2.1

Cancela el factor común.

$y \frac{d x}{d y} + y \frac{x}{y} = y \cdot 2 + y \frac{1}{y^{2}}$

Paso 3.2.2.2

Reescribe la expresión.

$y \frac{d x}{d y} + x = y \cdot 2 + y \frac{1}{y^{2}}$

Paso 3.3

Simplifica cada término.

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Paso 3.3.1

Mueve $2$ a la izquierda de $y$ .

$y \frac{d x}{d y} + x = 2 \cdot y + y \frac{1}{y^{2}}$

Paso 3.3.2

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 3.3.2.1

Factoriza $y$ de $y^{2}$ .

$y \frac{d x}{d y} + x = 2 y + y \frac{1}{y \cdot y}$

Paso 3.3.2.2

Cancela el factor común.

$y \frac{d x}{d y} + x = 2 y + y \frac{1}{y \cdot y}$

Paso 3.3.2.3

Reescribe la expresión.

$y \frac{d x}{d y} + x = 2 y + \frac{1}{y}$

Paso 4

Reescribe el lado izquierdo como resultado de la diferenciación de un producto.

$\frac{d}{d y} [y x] = 2 y + \frac{1}{y}$

Paso 5

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{d}{d y} [y x] d y = \int 2 y + \frac{1}{y} d y$

Paso 6

Integra el lado izquierdo.

$y x = \int 2 y + \frac{1}{y} d y$

Paso 7

Integra el lado derecho.

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Paso 7.1

Divide la única integral en varias integrales.

$y x = \int 2 y d y + \int \frac{1}{y} d y$

Paso 7.2

Dado que $2$ es constante con respecto a $y$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$y x = 2 \int y d y + \int \frac{1}{y} d y$

Paso 7.3

Según la regla de la potencia, la integral de $y$ con respecto a $y$ es $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$y x = 2 (\frac{1}{2} y^{2} + C) + \int \frac{1}{y} d y$

Paso 7.4

La integral de $\frac{1}{y}$ con respecto a $y$ es $\ln (| y |)$ .

$y x = 2 (\frac{1}{2} y^{2} + C) + \ln (| y |) + C$

Paso 7.5

Simplifica.

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Paso 7.5.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $y^{2}$ .

$y x = 2 (\frac{y^{2}}{2} + C) + \ln (| y |) + C$

Paso 7.5.2

Simplifica.

$y x = y^{2} + \ln (| y |) + C$

Paso 8

Divide cada término en $y x = y^{2} + \ln (| y |) + C$ por $y$ y simplifica.

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Paso 8.1

Divide cada término en $y x = y^{2} + \ln (| y |) + C$ por $y$ .

$\frac{y x}{y} = \frac{y^{2}}{y} + \frac{\ln (| y |)}{y} + \frac{C}{y}$

Paso 8.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 8.2.1

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 8.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y x}{y} = \frac{y^{2}}{y} + \frac{\ln (| y |)}{y} + \frac{C}{y}$

Paso 8.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{y^{2}}{y} + \frac{\ln (| y |)}{y} + \frac{C}{y}$

Paso 8.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 8.3.1

Cancela el factor común de $y^{2}$ y $y$ .

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Paso 8.3.1.1

Factoriza $y$ de $y^{2}$ .

$x = \frac{y \cdot y}{y} + \frac{\ln (| y |)}{y} + \frac{C}{y}$

Paso 8.3.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 8.3.1.2.1

Eleva $y$ a la potencia de $1$ .

$x = \frac{y \cdot y}{y^{1}} + \frac{\ln (| y |)}{y} + \frac{C}{y}$

Paso 8.3.1.2.2

Factoriza $y$ de $y^{1}$ .

$x = \frac{y \cdot y}{y \cdot 1} + \frac{\ln (| y |)}{y} + \frac{C}{y}$

Paso 8.3.1.2.3

Cancela el factor común.

$x = \frac{y \cdot y}{y \cdot 1} + \frac{\ln (| y |)}{y} + \frac{C}{y}$

Paso 8.3.1.2.4

Reescribe la expresión.

$x = \frac{y}{1} + \frac{\ln (| y |)}{y} + \frac{C}{y}$

Paso 8.3.1.2.5

Divide $y$ por $1$ .

$x = y + \frac{\ln (| y |)}{y} + \frac{C}{y}$