Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{\cos^{2} (y)}{x^{2}}$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{\cos^{2} (y)}$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (y)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\cos^{2} (y)} \cdot \frac{\cos^{2} (y)}{x^{2}}$

Paso 1.2

Simplifica.

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Paso 1.2.1

Combinar.

$\frac{1}{\cos^{2} (y)} \frac{d y}{d x} = \frac{1 \cos^{2} (y)}{\cos^{2} (y) x^{2}}$

Paso 1.2.2

Cancela el factor común de $\cos^{2} (y)$ .

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Paso 1.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{\cos^{2} (y)} \frac{d y}{d x} = \frac{1 \cos^{2} (y)}{\cos^{2} (y) x^{2}}$

Paso 1.2.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{\cos^{2} (y)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{x^{2}}$

Paso 1.3

Reescribe la ecuación.

$\frac{1}{\cos^{2} (y)} d y = \frac{1}{x^{2}} d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{1}{\cos^{2} (y)} d y = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Paso 2.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Convierte de $\frac{1}{\cos^{2} (y)}$ a $\sec^{2} (y)$ .

$\int \sec^{2} (y) d y = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Paso 2.2.2

Como la derivada de $\tan (y)$ es $\sec^{2} (y)$ , la integral de $\sec^{2} (y)$ es $\tan (y)$ .

$\tan (y) + C_{1} = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 2.3.1.1

Mueve $x^{2}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$\tan (y) + C_{1} = \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

Paso 2.3.1.2

Multiplica los exponentes en ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Paso 2.3.1.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\tan (y) + C_{1} = \int x^{2 \cdot - 1} d x$

Paso 2.3.1.2.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\tan (y) + C_{1} = \int x^{- 2} d x$

Paso 2.3.2

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{- 2}$ con respecto a $x$ es $- x^{- 1}$ .

$\tan (y) + C_{1} = - x^{- 1} + C_{2}$

Paso 2.3.3

Reescribe $- x^{- 1} + C_{2}$ como $- \frac{1}{x} + C_{2}$ .

$\tan (y) + C_{1} = - \frac{1}{x} + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$\tan (y) = - \frac{1}{x} + K$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Reordena $- \frac{1}{x}$ y $K$ .

$\tan (y) = K - \frac{1}{x}$

Paso 3.2

Resta la inversa de la tangente de ambos lados de la ecuación para extraer $y$ del interior de la tangente.

$y = \arctan (K - \frac{1}{x})$