Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 (2 + y)}{{(3 - x)}^{2}}$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{2 + y}$ .

$\frac{1}{2 + y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 + y} \cdot \frac{3 (2 + y)}{{(3 - x)}^{2}}$

Paso 1.2

Cancela el factor común de $2 + y$ .

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Paso 1.2.1

Factoriza $2 + y$ de $3 (2 + y)$ .

$\frac{1}{2 + y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 + y} \cdot \frac{(2 + y) \cdot 3}{{(3 - x)}^{2}}$

Paso 1.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{2 + y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 + y} \cdot \frac{(2 + y) \cdot 3}{{(3 - x)}^{2}}$

Paso 1.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{2 + y} \frac{d y}{d x} = \frac{3}{{(3 - x)}^{2}}$

Paso 1.3

Reescribe la ecuación.

$\frac{1}{2 + y} d y = \frac{3}{{(3 - x)}^{2}} d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{1}{2 + y} d y = \int \frac{3}{{(3 - x)}^{2}} d x$

Paso 2.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Sea $u_{1} = 2 + y$ . Entonces $d u_{1} = d y$ . Reescribe mediante $u_{1}$ y $d$ $u_{1}$ .

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Paso 2.2.1.1

Deja $u_{1} = 2 + y$ . Obtén $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

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Paso 2.2.1.1.1

Diferencia $2 + y$ .

$\frac{d}{d y} [2 + y]$

Paso 2.2.1.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $2 + y$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [2] + \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{d}{d y} [2] + \frac{d}{d y} [y]$

Paso 2.2.1.1.3

Como $2$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $2$ con respecto a $y$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [y]$

Paso 2.2.1.1.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$0 + 1$

Paso 2.2.1.1.5

Suma $0$ y $1$ .

$1$

Paso 2.2.1.2

Reescribe el problema mediante $u_{1}$ y $d u_{1}$ .

$\int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int \frac{3}{{(3 - x)}^{2}} d x$

Paso 2.2.2

La integral de $\frac{1}{u_{1}}$ con respecto a $u_{1}$ es $\ln (| u_{1} |)$ .

$\ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int \frac{3}{{(3 - x)}^{2}} d x$

Paso 2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $2 + y$ .

$\ln (| 2 + y |) + C_{1} = \int \frac{3}{{(3 - x)}^{2}} d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Dado que $3$ es constante con respecto a $x$ , mueve $3$ fuera de la integral.

$\ln (| 2 + y |) + C_{1} = 3 \int \frac{1}{{(3 - x)}^{2}} d x$

Paso 2.3.2

Sea $u_{2} = 3 - x$ . Entonces $d u_{2} = - d x$ , de modo que $- d u_{2} = d x$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 2.3.2.1

Deja $u_{2} = 3 - x$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Paso 2.3.2.1.1

Reescribe.

$\frac{- 1}{1}$

Paso 2.3.2.1.2

Divide $- 1$ por $1$ .

$- 1$

Paso 2.3.2.2

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ y $d u_{2}$ .

$\ln (| 2 + y |) + C_{1} = 3 \int \frac{- 1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Paso 2.3.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\ln (| 2 + y |) + C_{1} = 3 \int - \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Paso 2.3.4

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u_{2}$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$\ln (| 2 + y |) + C_{1} = 3 (- \int \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2})$

Paso 2.3.5

Simplifica la expresión.

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Paso 2.3.5.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$\ln (| 2 + y |) + C_{1} = - 3 \int \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Paso 2.3.5.2

Mueve ${u_{2}}^{2}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$\ln (| 2 + y |) + C_{1} = - 3 \int {({u_{2}}^{2})}^{- 1} d u_{2}$

Paso 2.3.5.3

Multiplica los exponentes en ${({u_{2}}^{2})}^{- 1}$ .

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Paso 2.3.5.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (| 2 + y |) + C_{1} = - 3 \int {u_{2}}^{2 \cdot - 1} d u_{2}$

Paso 2.3.5.3.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\ln (| 2 + y |) + C_{1} = - 3 \int {u_{2}}^{- 2} d u_{2}$

Paso 2.3.6

Según la regla de la potencia, la integral de ${u_{2}}^{- 2}$ con respecto a $u_{2}$ es $- {u_{2}}^{- 1}$ .

$\ln (| 2 + y |) + C_{1} = - 3 (- {u_{2}}^{- 1} + C_{2})$

Paso 2.3.7

Simplifica.

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Paso 2.3.7.1

Reescribe $- 3 (- {u_{2}}^{- 1} + C_{2})$ como $- 3 (- \frac{1}{u_{2}}) + C_{2}$ .

$\ln (| 2 + y |) + C_{1} = - 3 (- \frac{1}{u_{2}}) + C_{2}$

Paso 2.3.7.2

Simplifica.

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Paso 2.3.7.2.1

Multiplica $- 1$ por $- 3$ .

$\ln (| 2 + y |) + C_{1} = 3 \frac{1}{u_{2}} + C_{2}$

Paso 2.3.7.2.2

Combina $3$ y $\frac{1}{u_{2}}$ .

$\ln (| 2 + y |) + C_{1} = \frac{3}{u_{2}} + C_{2}$

Paso 2.3.8

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $3 - x$ .

$\ln (| 2 + y |) + C_{1} = \frac{3}{3 - x} + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$\ln (| 2 + y |) = \frac{3}{3 - x} + C$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Para resolver $y$ , reescribe la ecuación mediante las propiedades de los logaritmos.

$e^{\ln (| 2 + y |)} = e^{\frac{3}{3 - x} + C}$

Paso 3.2

Reescribe $\ln (| 2 + y |) = \frac{3}{3 - x} + C$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{\frac{3}{3 - x} + C} = | 2 + y |$

Paso 3.3

Resuelve $y$

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Paso 3.3.1

Reescribe la ecuación como $| 2 + y | = e^{\frac{3}{3 - x} + C}$ .

$| 2 + y | = e^{\frac{3}{3 - x} + C}$

Paso 3.3.2

Simplifica $e^{\frac{3}{3 - x} + C}$ .

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Paso 3.3.2.1

Para escribir $C$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3 - x}{3 - x}$ .

$| 2 + y | = e^{\frac{3}{3 - x} + \frac{C (3 - x)}{3 - x}}$

Paso 3.3.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$| 2 + y | = e^{\frac{3 + C (3 - x)}{3 - x}}$

Paso 3.3.2.3

Simplifica el numerador.

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Paso 3.3.2.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$| 2 + y | = e^{\frac{3 + C \cdot 3 + C (- x)}{3 - x}}$

Paso 3.3.2.3.2

Mueve $3$ a la izquierda de $C$ .

$| 2 + y | = e^{\frac{3 + 3 \cdot C + C (- x)}{3 - x}}$

Paso 3.3.2.3.3

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$| 2 + y | = e^{\frac{3 + 3 C - C x}{3 - x}}$

Paso 3.3.3

Elimina el término de valor absoluto. Esto crea un $\pm$ en el lado derecho de la ecuación debido a $| x | = \pm x$ .

$2 + y = \pm e^{\frac{3 + 3 C - C x}{3 - x}}$

Paso 3.3.4

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.3.4.1

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$y = \pm e^{\frac{3 + 3 C - C x}{3 - x}} - 2$

Paso 3.3.4.2

Simplifica cada término.

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Paso 3.3.4.2.1

Divide la fracción $\frac{3 + 3 C - C x}{3 - x}$ en dos fracciones.

$y = \pm e^{\frac{3 + 3 C}{3 - x} + \frac{- C x}{3 - x}} - 2$

Paso 3.3.4.2.2

Simplifica cada término.

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Paso 3.3.4.2.2.1

Factoriza $3$ de $3 + 3 C$ .

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Paso 3.3.4.2.2.1.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$y = \pm e^{\frac{3 \cdot 1 + 3 C}{3 - x} + \frac{- C x}{3 - x}} - 2$

Paso 3.3.4.2.2.1.2

Factoriza $3$ de $3 \cdot 1 + 3 C$ .

$y = \pm e^{\frac{3 (1 + C)}{3 - x} + \frac{- C x}{3 - x}} - 2$

Paso 3.3.4.2.2.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = \pm e^{\frac{3 (1 + C)}{3 - x} - \frac{C x}{3 - x}} - 2$

Paso 4

Simplifica la constante de integración.

$y = \pm e^{\frac{C}{3 - x} - \frac{C x}{3 - x}} - 2$