Cálculo Ejemplos

$(2 x^{3} + x y^{2} + 2 y + 3) d x + (x^{2} y + 2 x) d y = 0$

Paso 1

Obtén $\frac{\partial M}{\partial y}$ donde $M (x, y) = 2 x^{3} + x y^{2} + 2 y + 3$ .

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Paso 1.1

Diferencia $M$ con respecto a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x^{3} + x y^{2} + 2 y + 3]$

Paso 1.2

Diferencia.

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Paso 1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x^{3} + x y^{2} + 2 y + 3$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [2 x^{3}] + \frac{d}{d y} [x y^{2}] + \frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [3]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x^{3}] + \frac{d}{d y} [x y^{2}] + \frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [3]$

Paso 1.2.2

Como $2 x^{3}$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $2 x^{3}$ con respecto a $y$ es $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [x y^{2}] + \frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [3]$

Paso 1.3

Evalúa $\frac{d}{d y} [x y^{2}]$ .

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Paso 1.3.1

Como $x$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $x y^{2}$ con respecto a $y$ es $x \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + x \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [3]$

Paso 1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + x (2 y) + \frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [3]$

Paso 1.3.3

Mueve $2$ a la izquierda de $x$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 x y + \frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [3]$

Paso 1.4

Evalúa $\frac{d}{d y} [2 y]$ .

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Paso 1.4.1

Como $2$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $2 y$ con respecto a $y$ es $2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 x y + 2 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [3]$

Paso 1.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 x y + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [3]$

Paso 1.4.3

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 x y + 2 + \frac{d}{d y} [3]$

Paso 1.5

Como $3$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $3$ con respecto a $y$ es $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 x y + 2 + 0$

Paso 1.6

Combina los términos.

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Paso 1.6.1

Suma $0$ y $2 x y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x y + 2 + 0$

Paso 1.6.2

Suma $2 x y + 2$ y $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x y + 2$

Paso 2

Obtén $\frac{\partial N}{\partial x}$ donde $N (x, y) = x^{2} y + 2 x$ .

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Paso 2.1

Diferencia $N$ con respecto a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2} y + 2 x]$

Paso 2.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} y + 2 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [2 x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [x^{2} y]$ .

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Paso 2.3.1

Como $y$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $x^{2} y$ con respecto a $x$ es $y \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (2 x) + \frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 2.3.3

Mueve $2$ a la izquierda de $y$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y x + \frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 2.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Paso 2.4.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y x + 2 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y x + 2 \cdot 1$

Paso 2.4.3

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y x + 2$

Paso 2.5

Reordena los términos.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x y + 2$

Paso 3

Comprueba que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Paso 3.1

Sustituye $2 x y + 2$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ y $2 x y + 2$ para $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$2 x y + 2 = 2 x y + 2$

Paso 3.2

Debido a que se ha demostrado que los dos lados son equivalentes, la ecuación es una identidad.

$2 x y + 2 = 2 x y + 2$ es una identidad.

Paso 4

Establece $f (x, y)$ igual a la integral de $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int x^{2} y + 2 x d y$

Paso 5

Integra $N (x, y) = x^{2} y + 2 x$ para obtener $f (x, y)$ .

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Paso 5.1

Divide la única integral en varias integrales.

$f (x, y) = \int x^{2} y d y + \int 2 x d y$

Paso 5.2

Dado que $x^{2}$ es constante con respecto a $y$ , mueve $x^{2}$ fuera de la integral.

$f (x, y) = x^{2} \int y d y + \int 2 x d y$

Paso 5.3

Según la regla de la potencia, la integral de $y$ con respecto a $y$ es $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = x^{2} (\frac{1}{2} y^{2} + C) + \int 2 x d y$

Paso 5.4

Aplica la regla de la constante.

$f (x, y) = x^{2} (\frac{1}{2} y^{2} + C) + 2 x y + C$

Paso 5.5

Combina $\frac{1}{2}$ y $y^{2}$ .

$f (x, y) = x^{2} (\frac{y^{2}}{2} + C) + 2 x y + C$

Paso 5.6

Simplifica.

$f (x, y) = \frac{x^{2} y^{2}}{2} + 2 x y + C$

Paso 5.7

Reordena los términos.

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} y^{2} + 2 x y + C$

Paso 6

Como la integral de $g (x)$ , contendrá una constante de integración, podemos reemplazar $C$ con $g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} y^{2} + 2 x y + g (x)$

Paso 7

Establece $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = 2 x^{3} + x y^{2} + 2 y + 3$

Paso 8

Obtén $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Paso 8.1

Diferencia $f$ con respecto a $x$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{2} y^{2} + 2 x y + g (x)] = 2 x^{3} + x y^{2} + 2 y + 3$

Paso 8.2

Según la regla de la suma, la derivada de $\frac{1}{2} x^{2} y^{2} + 2 x y + g (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x^{3} + x y^{2} + 2 y + 3$

Paso 8.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{2} y^{2}]$ .

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Paso 8.3.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x^{3} + x y^{2} + 2 y + 3$

Paso 8.3.2

Combina $\frac{x^{2}}{2}$ y $y^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{2} y^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x^{3} + x y^{2} + 2 y + 3$

Paso 8.3.3

Como $\frac{y^{2}}{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{x^{2} y^{2}}{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{y^{2}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{y^{2}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x^{3} + x y^{2} + 2 y + 3$

Paso 8.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{y^{2}}{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x^{3} + x y^{2} + 2 y + 3$

Paso 8.3.5

Combina $2$ y $\frac{y^{2}}{2}$ .

$\frac{2 y^{2}}{2} x + \frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x^{3} + x y^{2} + 2 y + 3$

Paso 8.3.6

Combina $\frac{2 y^{2}}{2}$ y $x$ .

$\frac{2 y^{2} x}{2} + \frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x^{3} + x y^{2} + 2 y + 3$

Paso 8.3.7

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 8.3.7.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 y^{2} x}{2} + \frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x^{3} + x y^{2} + 2 y + 3$

Paso 8.3.7.2

Divide $y^{2} x$ por $1$ .

$y^{2} x + \frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x^{3} + x y^{2} + 2 y + 3$

Paso 8.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 x y]$ .

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Paso 8.4.1

Como $2 y$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x y$ con respecto a $x$ es $2 y \frac{d}{d x} [x]$ .

$y^{2} x + 2 y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x^{3} + x y^{2} + 2 y + 3$

Paso 8.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$y^{2} x + 2 y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x^{3} + x y^{2} + 2 y + 3$

Paso 8.4.3

Multiplica $2$ por $1$ .

$y^{2} x + 2 y + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x^{3} + x y^{2} + 2 y + 3$

Paso 8.5

Diferencia con la regla de la función que establece que la derivada de $g (x)$ es $\frac{d g}{d x}$ .

$y^{2} x + 2 y + \frac{d g}{d x} = 2 x^{3} + x y^{2} + 2 y + 3$

Paso 8.6

Reordena los términos.

$\frac{d g}{d x} + y^{2} x + 2 y = 2 x^{3} + x y^{2} + 2 y + 3$

Paso 9

Resuelve $\frac{d g}{d x}$

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Paso 9.1

Mueve todos los términos que no contengan $\frac{d g}{d x}$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 9.1.1

Resta $y^{2} x$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{d g}{d x} + 2 y = 2 x^{3} + x y^{2} + 2 y + 3 - y^{2} x$

Paso 9.1.2

Resta $2 y$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{d g}{d x} = 2 x^{3} + x y^{2} + 2 y + 3 - y^{2} x - 2 y$

Paso 9.1.3

Combina los términos opuestos en $2 x^{3} + x y^{2} + 2 y + 3 - y^{2} x - 2 y$ .

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Paso 9.1.3.1

Reordena los factores en los términos $x y^{2}$ y $- y^{2} x$ .

$\frac{d g}{d x} = 2 x^{3} + y^{2} x + 2 y + 3 - y^{2} x - 2 y$

Paso 9.1.3.2

Resta $y^{2} x$ de $y^{2} x$ .

$\frac{d g}{d x} = 2 x^{3} + 2 y + 3 + 0 - 2 y$

Paso 9.1.3.3

Suma $2 x^{3} + 2 y + 3$ y $0$ .

$\frac{d g}{d x} = 2 x^{3} + 2 y + 3 - 2 y$

Paso 9.1.3.4

Resta $2 y$ de $2 y$ .

$\frac{d g}{d x} = 2 x^{3} + 0 + 3$

Paso 9.1.3.5

Suma $2 x^{3}$ y $0$ .

$\frac{d g}{d x} = 2 x^{3} + 3$

Paso 10

Obtén la antiderivada de $2 x^{3} + 3$ y obtén $g (x)$ .

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Paso 10.1

Integra ambos lados de $\frac{d g}{d x} = 2 x^{3} + 3$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 2 x^{3} + 3 d x$

Paso 10.2

Evalúa $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int 2 x^{3} + 3 d x$

Paso 10.3

Divide la única integral en varias integrales.

$g (x) = \int 2 x^{3} d x + \int 3 d x$

Paso 10.4

Dado que $2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$g (x) = 2 \int x^{3} d x + \int 3 d x$

Paso 10.5

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$g (x) = 2 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + \int 3 d x$

Paso 10.6

Aplica la regla de la constante.

$g (x) = 2 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + 3 x + C$

Paso 10.7

Combina $\frac{1}{4}$ y $x^{4}$ .

$g (x) = 2 (\frac{x^{4}}{4} + C) + 3 x + C$

Paso 10.8

Simplifica.

$g (x) = \frac{x^{4}}{2} + 3 x + C$

Paso 10.9

Reordena los términos.

$g (x) = \frac{1}{2} x^{4} + 3 x + C$

Paso 11

Sustituye por $g (x)$ en $f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} y^{2} + 2 x y + g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} y^{2} + 2 x y + \frac{1}{2} x^{4} + 3 x + C$

Paso 12

Simplifica cada término.

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Paso 12.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2}}{2} y^{2} + 2 x y + \frac{1}{2} x^{4} + 3 x + C$

Paso 12.2

Combina $\frac{x^{2}}{2}$ y $y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2} y^{2}}{2} + 2 x y + \frac{1}{2} x^{4} + 3 x + C$

Paso 12.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{4}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2} y^{2}}{2} + 2 x y + \frac{x^{4}}{2} + 3 x + C$