Cálculo Ejemplos

$(x^{4} e^{x} - 2 m x y^{2}) d x + (2 m x^{2} y) d y = 0$

Paso 1

Obtén $\frac{\partial M}{\partial y}$ donde $M (x, y) = x^{4} e^{x} - 2 m x y^{2}$ .

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Paso 1.1

Diferencia $M$ con respecto a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x^{4} e^{x} - 2 m x y^{2}]$

Paso 1.2

Diferencia.

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Paso 1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{4} e^{x} - 2 m x y^{2}$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [x^{4} e^{x}] + \frac{d}{d y} [- 2 m x y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x^{4} e^{x}] + \frac{d}{d y} [- 2 m x y^{2}]$

Paso 1.2.2

Como $x^{4} e^{x}$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $x^{4} e^{x}$ con respecto a $y$ es $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [- 2 m x y^{2}]$

Paso 1.3

Evalúa $\frac{d}{d y} [- 2 m x y^{2}]$ .

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Paso 1.3.1

Como $- 2 m x$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $- 2 m x y^{2}$ con respecto a $y$ es $- 2 m x \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 2 m x \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Paso 1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 2 m x (2 y)$

Paso 1.3.3

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 4 m x y$

Paso 1.4

Resta $4 m x y$ de $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 4 m x y$

Paso 2

Obtén $\frac{\partial N}{\partial x}$ donde $N (x, y) = 2 m x^{2} y$ .

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Paso 2.1

Diferencia $N$ con respecto a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [2 m x^{2} y]$

Paso 2.2

Como $2 m y$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 m x^{2} y$ con respecto a $x$ es $2 m y \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 m y \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 m y (2 x)$

Paso 2.4

Simplifica la expresión.

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Paso 2.4.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 4 m y x$

Paso 2.4.2

Reordena los factores de $4 m y x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 4 m x y$

Paso 3

Comprueba que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Paso 3.1

Sustituye $- 4 m x y$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ y $4 m x y$ para $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$- 4 m x y = 4 m x y$

Paso 3.2

Como el lado izquierdo no es igual al lado derecho, la ecuación no es una identidad.

$- 4 m x y = 4 m x y$ no es una identidad.

Paso 4

Obtén el factor integrador $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

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Paso 4.1

Sustituye $- 4 m x y$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{- 4 m x y - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Paso 4.2

Sustituye $4 m x y$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{- 4 m x y - (4 m x y)}{N}$

Paso 4.3

Sustituye $2 m x^{2} y$ por $N$ .

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Paso 4.3.1

Sustituye $2 m x^{2} y$ por $N$ .

$\frac{- 4 m x y - (4 m x y)}{2 m x^{2} y}$

Paso 4.3.2

Simplifica el numerador.

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Paso 4.3.2.1

Factoriza $m x y$ de $- 4 m x y - 1 \cdot 4 m x y$ .

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Paso 4.3.2.1.1

Factoriza $m x y$ de $- 4 m x y$ .

$\frac{m x y (- 4) - 1 \cdot 4 m x y}{2 m x^{2} y}$

Paso 4.3.2.1.2

Factoriza $m x y$ de $- 1 \cdot 4 m x y$ .

$\frac{m x y (- 4) + m x y (- 1 \cdot 4)}{2 m x^{2} y}$

Paso 4.3.2.1.3

Factoriza $m x y$ de $m x y (- 4) + m x y (- 1 \cdot 4)$ .

$\frac{m x y (- 4 - 1 \cdot 4)}{2 m x^{2} y}$

Paso 4.3.2.2

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$\frac{m x y (- 4 - 4)}{2 m x^{2} y}$

Paso 4.3.2.3

Resta $4$ de $- 4$ .

$\frac{m x y \cdot - 8}{2 m x^{2} y}$

Paso 4.3.3

Cancela el factor común de $m$ .

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Paso 4.3.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{m x y \cdot - 8}{2 m x^{2} y}$

Paso 4.3.3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{x y \cdot - 8}{2 x^{2} y}$

Paso 4.3.4

Cancela el factor común de $x$ y $x^{2}$ .

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Paso 4.3.4.1

Factoriza $x$ de $x y \cdot - 8$ .

$\frac{x (y \cdot - 8)}{2 x^{2} y}$

Paso 4.3.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.3.4.2.1

Factoriza $x$ de $2 x^{2} y$ .

$\frac{x (y \cdot - 8)}{x (2 x y)}$

Paso 4.3.4.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{x (y \cdot - 8)}{x (2 x y)}$

Paso 4.3.4.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{y \cdot - 8}{2 x y}$

Paso 4.3.5

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 4.3.5.1

Cancela el factor común.

$\frac{y \cdot - 8}{2 x y}$

Paso 4.3.5.2

Reescribe la expresión.

$\frac{- 8}{2 x}$

Paso 4.3.6

Cancela el factor común de $- 8$ y $2$ .

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Paso 4.3.6.1

Factoriza $2$ de $- 8$ .

$\frac{2 \cdot - 4}{2 x}$

Paso 4.3.6.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.3.6.2.1

Factoriza $2$ de $2 x$ .

$\frac{2 \cdot - 4}{2 (x)}$

Paso 4.3.6.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 \cdot - 4}{2 x}$

Paso 4.3.6.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{- 4}{x}$

Paso 4.3.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{4}{x}$

Paso 4.4

Obtén el factor integrador $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{4}{x} d x}$

Paso 5

Evalúa la integral $e^{\int - \frac{4}{x} d x}$ .

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Paso 5.1

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{4}{x} d x}$

Paso 5.2

Dado que $4$ es constante con respecto a $x$ , mueve $4$ fuera de la integral.

$μ (x, y) = e^{- (4 \int \frac{1}{x} d x)}$

Paso 5.3

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 4 \int \frac{1}{x} d x}$

Paso 5.4

La integral de $\frac{1}{x}$ con respecto a $x$ es $\ln (| x |)$ .

$μ (x, y) = e^{- 4 (\ln (| x |) + C)}$

Paso 5.5

Simplifica.

$μ (x, y) = e^{- 4 \ln (| x |)} + C$

Paso 5.6

Simplifica cada término.

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Paso 5.6.1

Simplifica $- 4 \ln (| x |)$ al mover $- 4$ dentro del algoritmo.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| x |}^{- 4})} + C$

Paso 5.6.2

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

$μ (x, y) = {| x |}^{- 4} + C$

Paso 5.6.3

Elimina el valor absoluto en ${| x |}^{- 4}$ porque las potenciaciones con potencias pares siempre son positivas.

$μ (x, y) = x^{- 4} + C$

Paso 5.6.4

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{x^{4}} + C$

Paso 6

Multiplica ambos lados de $(x^{4} e^{x} - 2 m x y^{2}) d x + 2 m x^{2} y d y = 0$ por el factor integrador $\frac{1}{x^{4}}$ .

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Paso 6.1

Multiplica $x^{4} e^{x} - 2 m x y^{2}$ por $\frac{1}{x^{4}}$ .

$(x^{4} e^{x} - 2 m x y^{2}) \frac{1}{x^{4}} d x + 2 m x^{2} y d y = 0$

Paso 6.2

Multiplica $x^{4} e^{x} - 2 m x y^{2}$ por $\frac{1}{x^{4}}$ .

$\frac{x^{4} e^{x} - 2 m x y^{2}}{x^{4}} d x + 2 m x^{2} y d y = 0$

Paso 6.3

Factoriza $x$ de $x^{4} e^{x} - 2 m x y^{2}$ .

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Paso 6.3.1

Factoriza $x$ de $x^{4} e^{x}$ .

$\frac{x (x^{3} e^{x}) - 2 m x y^{2}}{x^{4}} d x + 2 m x^{2} y d y = 0$

Paso 6.3.2

Factoriza $x$ de $- 2 m x y^{2}$ .

$\frac{x (x^{3} e^{x}) + x (- 2 m y^{2})}{x^{4}} d x + 2 m x^{2} y d y = 0$

Paso 6.3.3

Factoriza $x$ de $x (x^{3} e^{x}) + x (- 2 m y^{2})$ .

$\frac{x (x^{3} e^{x} - 2 m y^{2})}{x^{4}} d x + 2 m x^{2} y d y = 0$

Paso 6.4

Cancela los factores comunes.

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Paso 6.4.1

Factoriza $x$ de $x^{4}$ .

$\frac{x (x^{3} e^{x} - 2 m y^{2})}{x \cdot x^{3}} d x + 2 m x^{2} y d y = 0$

Paso 6.4.2

Cancela el factor común.

$\frac{x (x^{3} e^{x} - 2 m y^{2})}{x \cdot x^{3}} d x + 2 m x^{2} y d y = 0$

Paso 6.4.3

Reescribe la expresión.

$\frac{x^{3} e^{x} - 2 m y^{2}}{x^{3}} d x + 2 m x^{2} y d y = 0$

Paso 6.5

Multiplica $2 m x^{2} y$ por $\frac{1}{x^{4}}$ .

$\frac{x^{3} e^{x} - 2 m y^{2}}{x^{3}} d x + 2 m x^{2} y \frac{1}{x^{4}} d y = 0$

Paso 6.6

Cancela el factor común de $x^{2}$ .

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Paso 6.6.1

Factoriza $x^{2}$ de $2 m x^{2} y$ .

$\frac{x^{3} e^{x} - 2 m y^{2}}{x^{3}} d x + x^{2} (2 m y) \frac{1}{x^{4}} d y = 0$

Paso 6.6.2

Factoriza $x^{2}$ de $x^{4}$ .

$\frac{x^{3} e^{x} - 2 m y^{2}}{x^{3}} d x + x^{2} (2 m y) \frac{1}{x^{2} x^{2}} d y = 0$

Paso 6.6.3

Cancela el factor común.

$\frac{x^{3} e^{x} - 2 m y^{2}}{x^{3}} d x + x^{2} (2 m y) \frac{1}{x^{2} x^{2}} d y = 0$

Paso 6.6.4

Reescribe la expresión.

$\frac{x^{3} e^{x} - 2 m y^{2}}{x^{3}} d x + 2 m y \frac{1}{x^{2}} d y = 0$

Paso 6.7

Combina $2$ y $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{x^{3} e^{x} - 2 m y^{2}}{x^{3}} d x + m y \frac{2}{x^{2}} d y = 0$

Paso 6.8

Combina $m$ y $\frac{2}{x^{2}}$ .

$\frac{x^{3} e^{x} - 2 m y^{2}}{x^{3}} d x + y \frac{m \cdot 2}{x^{2}} d y = 0$

Paso 6.9

Combina $y$ y $\frac{m \cdot 2}{x^{2}}$ .

$\frac{x^{3} e^{x} - 2 m y^{2}}{x^{3}} d x + \frac{y (m \cdot 2)}{x^{2}} d y = 0$

Paso 6.10

Mueve $2$ a la izquierda de $y m$ .

$\frac{x^{3} e^{x} - 2 m y^{2}}{x^{3}} d x + \frac{2 y m}{x^{2}} d y = 0$

Paso 7

Establece $f (x, y)$ igual a la integral de $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \frac{2 y m}{x^{2}} d y$

Paso 8

Integra $N (x, y) = \frac{2 y m}{x^{2}}$ para obtener $f (x, y)$ .

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Paso 8.1

Dado que $\frac{2 m}{x^{2}}$ es constante con respecto a $y$ , mueve $\frac{2 m}{x^{2}}$ fuera de la integral.

$f (x, y) = \frac{2 m}{x^{2}} \int y d y$

Paso 8.2

Según la regla de la potencia, la integral de $y$ con respecto a $y$ es $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{2 m}{x^{2}} (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

Paso 8.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 8.3.1

Reescribe $\frac{2 m}{x^{2}} (\frac{1}{2} y^{2} + C)$ como $\frac{2 m}{x^{2}} \cdot \frac{1}{2} y^{2} + C$ .

$f (x, y) = \frac{2 m}{x^{2}} \cdot \frac{1}{2} y^{2} + C$

Paso 8.3.2

Simplifica.

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Paso 8.3.2.1

Multiplica $\frac{2 m}{x^{2}}$ por $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{2 m}{x^{2} \cdot 2} y^{2} + C$

Paso 8.3.2.2

Mueve $2$ a la izquierda de $x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{2 m}{2 \cdot x^{2}} y^{2} + C$

Paso 8.3.2.3

Multiplica $2$ por $x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{2 m}{2 x^{2}} y^{2} + C$

Paso 8.3.2.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 8.3.2.4.1

Cancela el factor común.

$f (x, y) = \frac{2 m}{2 x^{2}} y^{2} + C$

Paso 8.3.2.4.2

Reescribe la expresión.

$f (x, y) = \frac{m}{x^{2}} y^{2} + C$

Paso 8.3.2.5

Combina $\frac{m}{x^{2}}$ y $y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{m y^{2}}{x^{2}} + C$

Paso 9

Como la integral de $g (x)$ , contendrá una constante de integración, podemos reemplazar $C$ con $g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{m y^{2}}{x^{2}} + g (x)$

Paso 10

Establece $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{x^{3} e^{x} - 2 m y^{2}}{x^{3}}$

Paso 11

Obtén $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Paso 11.1

Diferencia $f$ con respecto a $x$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{m y^{2}}{x^{2}} + g (x)] = \frac{x^{3} e^{x} - 2 m y^{2}}{x^{3}}$

Paso 11.2

Según la regla de la suma, la derivada de $\frac{m y^{2}}{x^{2}} + g (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\frac{m y^{2}}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{m y^{2}}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{3} e^{x} - 2 m y^{2}}{x^{3}}$

Paso 11.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{m y^{2}}{x^{2}}]$ .

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Paso 11.3.1

Como $m y^{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{m y^{2}}{x^{2}}$ con respecto a $x$ es $m y^{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$m y^{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{3} e^{x} - 2 m y^{2}}{x^{3}}$

Paso 11.3.2

Reescribe $\frac{1}{x^{2}}$ como ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$m y^{2} \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{3} e^{x} - 2 m y^{2}}{x^{3}}$

Paso 11.3.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- 1}$ y $g (x) = x^{2}$ .

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Paso 11.3.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{2}$ .

$m y^{2} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{3} e^{x} - 2 m y^{2}}{x^{3}}$

Paso 11.3.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$m y^{2} (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{3} e^{x} - 2 m y^{2}}{x^{3}}$

Paso 11.3.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2}$ .

$m y^{2} (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{3} e^{x} - 2 m y^{2}}{x^{3}}$

Paso 11.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$m y^{2} (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{3} e^{x} - 2 m y^{2}}{x^{3}}$

Paso 11.3.5

Multiplica los exponentes en ${(x^{2})}^{- 2}$ .

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Paso 11.3.5.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$m y^{2} (- x^{2 \cdot - 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{3} e^{x} - 2 m y^{2}}{x^{3}}$

Paso 11.3.5.2

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$m y^{2} (- x^{- 4} (2 x)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{3} e^{x} - 2 m y^{2}}{x^{3}}$

Paso 11.3.6

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$m y^{2} (- 2 x^{- 4} x) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{3} e^{x} - 2 m y^{2}}{x^{3}}$

Paso 11.3.7

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$m y^{2} (- 2 (x^{1} x^{- 4})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{3} e^{x} - 2 m y^{2}}{x^{3}}$

Paso 11.3.8

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$m y^{2} (- 2 x^{1 - 4}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{3} e^{x} - 2 m y^{2}}{x^{3}}$

Paso 11.3.9

Resta $4$ de $1$ .

$m y^{2} (- 2 x^{- 3}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{3} e^{x} - 2 m y^{2}}{x^{3}}$

Paso 11.4

Diferencia con la regla de la función que establece que la derivada de $g (x)$ es $\frac{d g}{d x}$ .

$m y^{2} (- 2 x^{- 3}) + \frac{d g}{d x} = \frac{x^{3} e^{x} - 2 m y^{2}}{x^{3}}$

Paso 11.5

Simplifica.

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Paso 11.5.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$m y^{2} (- 2 \frac{1}{x^{3}}) + \frac{d g}{d x} = \frac{x^{3} e^{x} - 2 m y^{2}}{x^{3}}$

Paso 11.5.2

Combina los términos.

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Paso 11.5.2.1

Combina $- 2$ y $\frac{1}{x^{3}}$ .

$m y^{2} \frac{- 2}{x^{3}} + \frac{d g}{d x} = \frac{x^{3} e^{x} - 2 m y^{2}}{x^{3}}$

Paso 11.5.2.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$m y^{2} (- \frac{2}{x^{3}}) + \frac{d g}{d x} = \frac{x^{3} e^{x} - 2 m y^{2}}{x^{3}}$

Paso 11.5.2.3

Combina $m$ y $\frac{2}{x^{3}}$ .

$y^{2} (- \frac{m \cdot 2}{x^{3}}) + \frac{d g}{d x} = \frac{x^{3} e^{x} - 2 m y^{2}}{x^{3}}$

Paso 11.5.2.4

Combina $y^{2}$ y $\frac{m \cdot 2}{x^{3}}$ .

$- \frac{y^{2} (m \cdot 2)}{x^{3}} + \frac{d g}{d x} = \frac{x^{3} e^{x} - 2 m y^{2}}{x^{3}}$

Paso 11.5.2.5

Mueve $2$ a la izquierda de $m$ .

$- \frac{y^{2} (2 \cdot m)}{x^{3}} + \frac{d g}{d x} = \frac{x^{3} e^{x} - 2 m y^{2}}{x^{3}}$

Paso 11.5.2.6

Mueve $2$ a la izquierda de $y^{2}$ .

$- \frac{2 y^{2} m}{x^{3}} + \frac{d g}{d x} = \frac{x^{3} e^{x} - 2 m y^{2}}{x^{3}}$

Paso 11.5.3

Reordena los términos.

$\frac{d g}{d x} - \frac{2 y^{2} m}{x^{3}} = \frac{x^{3} e^{x} - 2 m y^{2}}{x^{3}}$

Paso 12

Resuelve $\frac{d g}{d x}$

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Paso 12.1

Resuelve $\frac{d g}{d x}$

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Paso 12.1.1

Mueve todos los términos que contengan las variables al lado izquierdo de la ecuación

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Paso 12.1.1.1

Resta $\frac{x^{3} e^{x} - 2 m y^{2}}{x^{3}}$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{d g}{d x} - \frac{2 y^{2} m}{x^{3}} - \frac{x^{3} e^{x} - 2 m y^{2}}{x^{3}} = 0$

Paso 12.1.1.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{d g}{d x} + \frac{- 2 y^{2} m - (x^{3} e^{x} - 2 m y^{2})}{x^{3}} = 0$

Paso 12.1.1.3

Simplifica cada término.

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Paso 12.1.1.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{d g}{d x} + \frac{- 2 y^{2} m - (x^{3} e^{x}) - (- 2 m y^{2})}{x^{3}} = 0$

Paso 12.1.1.3.2

Multiplica $- 2$ por $- 1$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- 2 y^{2} m - x^{3} e^{x} + 2 m y^{2}}{x^{3}} = 0$

Paso 12.1.1.4

Combina los términos opuestos en $- 2 y^{2} m - x^{3} e^{x} + 2 m y^{2}$ .

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Paso 12.1.1.4.1

Reordena los factores en los términos $- 2 y^{2} m$ y $2 m y^{2}$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- 2 y^{2} m - x^{3} e^{x} + 2 y^{2} m}{x^{3}} = 0$

Paso 12.1.1.4.2

Suma $- 2 y^{2} m$ y $2 y^{2} m$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- x^{3} e^{x} + 0}{x^{3}} = 0$

Paso 12.1.1.4.3

Suma $- x^{3} e^{x}$ y $0$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- x^{3} e^{x}}{x^{3}} = 0$

Paso 12.1.1.5

Simplifica cada término.

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Paso 12.1.1.5.1

Cancela el factor común de $x^{3}$ .

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Paso 12.1.1.5.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{d g}{d x} + \frac{- x^{3} e^{x}}{x^{3}} = 0$

Paso 12.1.1.5.1.2

Divide $- 1 e^{x}$ por $1$ .

$\frac{d g}{d x} - 1 e^{x} = 0$

Paso 12.1.1.5.2

Reescribe $- 1 e^{x}$ como $- e^{x}$ .

$\frac{d g}{d x} - e^{x} = 0$

Paso 12.1.2

Suma $e^{x}$ a ambos lados de la ecuación.

$\frac{d g}{d x} = e^{x}$

Paso 13

Obtén la antiderivada de $e^{x}$ y obtén $g (x)$ .

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Paso 13.1

Integra ambos lados de $\frac{d g}{d x} = e^{x}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int e^{x} d x$

Paso 13.2

Evalúa $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int e^{x} d x$

Paso 13.3

La integral de $e^{x}$ con respecto a $x$ es $e^{x}$ .

$g (x) = e^{x} + C$

Paso 14

Sustituye por $g (x)$ en $f (x, y) = \frac{m y^{2}}{x^{2}} + g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{m y^{2}}{x^{2}} + e^{x} + C$