Cálculo Ejemplos

$\frac{d F}{d x} = - 5 e^{x} - 5 x$ , $F (0) = - 6$

Paso 1

Reescribe la ecuación.

$d F = (- 5 e^{x} - 5 x) d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int d F = \int - 5 e^{x} - 5 x d x$

Paso 2.2

Aplica la regla de la constante.

$F + C_{1} = \int - 5 e^{x} - 5 x d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Divide la única integral en varias integrales.

$F + C_{1} = \int - 5 e^{x} d x + \int - 5 x d x$

Paso 2.3.2

Dado que $- 5$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 5$ fuera de la integral.

$F + C_{1} = - 5 \int e^{x} d x + \int - 5 x d x$

Paso 2.3.3

La integral de $e^{x}$ con respecto a $x$ es $e^{x}$ .

$F + C_{1} = - 5 (e^{x} + C_{2}) + \int - 5 x d x$

Paso 2.3.4

Dado que $- 5$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 5$ fuera de la integral.

$F + C_{1} = - 5 (e^{x} + C_{2}) - 5 \int x d x$

Paso 2.3.5

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$F + C_{1} = - 5 (e^{x} + C_{2}) - 5 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{3})$

Paso 2.3.6

Simplifica.

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Paso 2.3.6.1

Simplifica.

$F + C_{1} = - 5 e^{x} - 5 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$

Paso 2.3.6.2

Simplifica.

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Paso 2.3.6.2.1

Combina $- 5$ y $\frac{1}{2}$ .

$F + C_{1} = - 5 e^{x} + \frac{- 5}{2} x^{2} + C_{4}$

Paso 2.3.6.2.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$F + C_{1} = - 5 e^{x} - \frac{5}{2} x^{2} + C_{4}$

Paso 2.3.7

Reordena los términos.

$F + C_{1} = - \frac{5}{2} x^{2} - 5 e^{x} + C_{4}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$F = - \frac{5}{2} x^{2} - 5 e^{x} + K$

Paso 3

Usa la condición inicial para obtener el valor de $K$ mediante la sustitución de $0$ por $x$ y de $- 6$ por $F$ en $F = - \frac{5}{2} x^{2} - 5 e^{x} + K$ .

$- 6 = - \frac{5}{2} \cdot 0^{2} - 5 e^{0} + K$

Paso 4

Resuelve $K$

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Paso 4.1

Reescribe la ecuación como $- \frac{5}{2} \cdot 0^{2} - 5 e^{0} + K = - 6$ .

$- \frac{5}{2} \cdot 0^{2} - 5 e^{0} + K = - 6$

Paso 4.2

Simplifica $- \frac{5}{2} \cdot 0^{2} - 5 e^{0} + K$ .

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Paso 4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$- \frac{5}{2} \cdot 0 - 5 e^{0} + K = - 6$

Paso 4.2.1.2

Multiplica $- \frac{5}{2} \cdot 0$ .

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Paso 4.2.1.2.1

Multiplica $0$ por $- 1$ .

$0 (\frac{5}{2}) - 5 e^{0} + K = - 6$

Paso 4.2.1.2.2

Multiplica $0$ por $\frac{5}{2}$ .

$0 - 5 e^{0} + K = - 6$

Paso 4.2.1.3

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$0 - 5 \cdot 1 + K = - 6$

Paso 4.2.1.4

Multiplica $- 5$ por $1$ .

$0 - 5 + K = - 6$

Paso 4.2.2

Resta $5$ de $0$ .

$- 5 + K = - 6$

Paso 4.3

Mueve todos los términos que no contengan $K$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 4.3.1

Suma $5$ a ambos lados de la ecuación.

$K = - 6 + 5$

Paso 4.3.2

Suma $- 6$ y $5$ .

$K = - 1$

Paso 5

Sustituye $- 1$ por $K$ en $F = - \frac{5}{2} x^{2} - 5 e^{x} + K$ y simplifica.

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Paso 5.1

Sustituye $- 1$ por $K$ .

$F = - \frac{5}{2} x^{2} - 5 e^{x} - 1$

Paso 5.2

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.1

Combina $x^{2}$ y $\frac{5}{2}$ .

$F = - \frac{x^{2} \cdot 5}{2} - 5 e^{x} - 1$

Paso 5.2.2

Mueve $5$ a la izquierda de $x^{2}$ .

$F = - \frac{5 x^{2}}{2} - 5 e^{x} - 1$