Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = 0.1 y$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (0.1 y)$

Paso 1.2

Simplifica.

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Paso 1.2.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 0.1 \frac{1}{y} y$

Paso 1.2.2

Combina $0.1$ y $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{0.1}{y} y$

Paso 1.2.3

Cancela el factor común de $0.1$ .

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Paso 1.2.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{0.1}{y} y$

Paso 1.2.3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} \cdot \frac{y}{10}$

Paso 1.2.4

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 1.2.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} \cdot \frac{y}{10}$

Paso 1.2.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{10}$

Paso 1.3

Reescribe la ecuación.

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{10} d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{1}{y} d y = \int \frac{1}{10} d x$

Paso 2.2

La integral de $\frac{1}{y}$ con respecto a $y$ es $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{1}{10} d x$

Paso 2.3

Aplica la regla de la constante.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{10} x + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$\ln (| y |) = \frac{1}{10} x + C$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Para resolver $y$ , reescribe la ecuación mediante las propiedades de los logaritmos.

$e^{\ln (| y |)} = e^{\frac{1}{10} x + C}$

Paso 3.2

Reescribe $\ln (| y |) = \frac{1}{10} x + C$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{\frac{1}{10} x + C} = | y |$

Paso 3.3

Resuelve $y$

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Paso 3.3.1

Reescribe la ecuación como $| y | = e^{\frac{1}{10} x + C}$ .

$| y | = e^{\frac{1}{10} x + C}$

Paso 3.3.2

Combina $\frac{1}{10}$ y $x$ .

$| y | = e^{\frac{x}{10} + C}$

Paso 3.3.3

Elimina el término de valor absoluto. Esto crea un $\pm$ en el lado derecho de la ecuación debido a $| x | = \pm x$ .

$y = \pm e^{\frac{x}{10} + C}$

Paso 4

Agrupa los términos de la constante.

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Paso 4.1

Reescribe $e^{\frac{x}{10} + C}$ como $e^{\frac{x}{10}} e^{C}$ .

$y = \pm e^{\frac{x}{10}} e^{C}$

Paso 4.2

Reordena $e^{\frac{x}{10}}$ y $e^{C}$ .

$y = \pm e^{C} e^{\frac{x}{10}}$

Paso 4.3

Combina constantes con el signo más o menos.

$y = C e^{\frac{x}{10}}$