Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} + \frac{3 x^{2}}{1 + x^{3}} y = \frac{1}{1 + x^{3}}$

Paso 1

El factor integrador se define mediante la fórmula $e^{\int P (x) d x}$ , donde $P (x) = \frac{3 x^{2}}{1 + x^{3}}$ .

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Paso 1.1

Establece la integración.

$e^{\int \frac{3 x^{2}}{1 + x^{3}} d x}$

Paso 1.2

Integra $\frac{3 x^{2}}{1 + x^{3}}$ .

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Paso 1.2.1

Dado que $3$ es constante con respecto a $x$ , mueve $3$ fuera de la integral.

$e^{3 \int \frac{x^{2}}{1 + x^{3}} d x}$

Paso 1.2.2

Reescribe $x^{3}$ como ${(x^{3})}^{1}$ .

$e^{3 \int \frac{x^{2}}{1 + {(x^{3})}^{1}} d x}$

Paso 1.2.3

Sea $u_{1} = x^{3}$ . Entonces $d u_{1} = 3 x^{2} d x$ , de modo que $\frac{1}{3} d u_{1} = x^{2} d x$ . Reescribe mediante $u_{1}$ y $d$ $u_{1}$ .

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Paso 1.2.3.1

Deja $u_{1} = x^{3}$ . Obtén $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Paso 1.2.3.1.1

Diferencia $x^{3}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}]$

Paso 1.2.3.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$3 x^{2}$

Paso 1.2.3.2

Reescribe el problema mediante $u_{1}$ y $d u_{1}$ .

$e^{3 \int \frac{1}{1 + {u_{1}}^{1}} \cdot \frac{1}{3} d u_{1}}$

Paso 1.2.4

Simplifica.

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Paso 1.2.4.1

Simplifica.

$e^{3 \int \frac{1}{1 + u_{1}} \cdot \frac{1}{3} d u_{1}}$

Paso 1.2.4.2

Multiplica $\frac{1}{1 + u_{1}}$ por $\frac{1}{3}$ .

$e^{3 \int \frac{1}{(1 + u_{1}) \cdot 3} d u_{1}}$

Paso 1.2.4.3

Mueve $3$ a la izquierda de $1 + u_{1}$ .

$e^{3 \int \frac{1}{3 (1 + u_{1})} d u_{1}}$

Paso 1.2.5

Dado que $\frac{1}{3}$ es constante con respecto a $u_{1}$ , mueve $\frac{1}{3}$ fuera de la integral.

$e^{3 (\frac{1}{3} \int \frac{1}{1 + u_{1}} d u_{1})}$

Paso 1.2.6

Simplifica.

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Paso 1.2.6.1

Combina $\frac{1}{3}$ y $3$ .

$e^{\frac{3}{3} \int \frac{1}{1 + u_{1}} d u_{1}}$

Paso 1.2.6.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 1.2.6.2.1

Cancela el factor común.

$e^{\frac{3}{3} \int \frac{1}{1 + u_{1}} d u_{1}}$

Paso 1.2.6.2.2

Reescribe la expresión.

$e^{1 \int \frac{1}{1 + u_{1}} d u_{1}}$

Paso 1.2.6.3

Multiplica $\int \frac{1}{1 + u_{1}} d u_{1}$ por $1$ .

$e^{\int \frac{1}{1 + u_{1}} d u_{1}}$

Paso 1.2.7

Sea $u_{2} = 1 + u_{1}$ . Entonces $d u_{2} = d u_{1}$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 1.2.7.1

Deja $u_{2} = 1 + u_{1}$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Paso 1.2.7.1.1

Diferencia $1 + u_{1}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [1 + u_{1}]$

Paso 1.2.7.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $1 + u_{1}$ con respecto a $u_{1}$ es $\frac{d}{d u_{1}} [1] + \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [1] + \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

Paso 1.2.7.1.3

Como $1$ es constante con respecto a $u_{1}$ , la derivada de $1$ con respecto a $u_{1}$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

Paso 1.2.7.1.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$0 + 1$

Paso 1.2.7.1.5

Suma $0$ y $1$ .

$1$

Paso 1.2.7.2

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ y $d u_{2}$ .

$e^{\int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}}$

Paso 1.2.8

La integral de $\frac{1}{u_{2}}$ con respecto a $u_{2}$ es $\ln (| u_{2} |)$ .

$e^{\ln (| u_{2} |) + C}$

Paso 1.2.9

Vuelve a sustituir para cada variable de sustitución de la integración.

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Paso 1.2.9.1

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $1 + u_{1}$ .

$e^{\ln (| 1 + u_{1} |) + C}$

Paso 1.2.9.2

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $x^{3}$ .

$e^{\ln (| 1 + x^{3} |) + C}$

Paso 1.3

Elimina la constante de integración.

$e^{\ln (1 + x^{3})}$

Paso 1.4

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

$1 + x^{3}$

Paso 2

Multiplica cada término por el factor integrador $1 + x^{3}$ .

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Paso 2.1

Multiplica cada término por $1 + x^{3}$ .

$(1 + x^{3}) \frac{d y}{d x} + (1 + x^{3}) (\frac{3 x^{2}}{1 + x^{3}} y) = (1 + x^{3}) \frac{1}{1 + x^{3}}$

Paso 2.2

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$1 \frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + (1 + x^{3}) (\frac{3 x^{2}}{1 + x^{3}} y) = (1 + x^{3}) \frac{1}{1 + x^{3}}$

Paso 2.2.2

Multiplica $\frac{d y}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + (1 + x^{3}) (\frac{3 x^{2}}{1 + x^{3}} y) = (1 + x^{3}) \frac{1}{1 + x^{3}}$

Paso 2.2.3

Simplifica el denominador.

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Paso 2.2.3.1

Reescribe $1$ como $1^{3}$ .

$\frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + (1 + x^{3}) (\frac{3 x^{2}}{1^{3} + x^{3}} y) = (1 + x^{3}) \frac{1}{1 + x^{3}}$

Paso 2.2.3.2

Dado que ambos términos son cubos perfectos, factoriza con la fórmula de la suma de cubos, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , donde $a = 1$ y $b = x$ .

$\frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + (1 + x^{3}) (\frac{3 x^{2}}{(1 + x) (1^{2} - 1 x + x^{2})} y) = (1 + x^{3}) \frac{1}{1 + x^{3}}$

Paso 2.2.3.3

Simplifica.

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Paso 2.2.3.3.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + (1 + x^{3}) (\frac{3 x^{2}}{(1 + x) (1 - 1 x + x^{2})} y) = (1 + x^{3}) \frac{1}{1 + x^{3}}$

Paso 2.2.3.3.2

Reescribe $- 1 x$ como $- x$ .

$\frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + (1 + x^{3}) (\frac{3 x^{2}}{(1 + x) (1 - x + x^{2})} y) = (1 + x^{3}) \frac{1}{1 + x^{3}}$

Paso 2.2.4

Combina $\frac{3 x^{2}}{(1 + x) (1 - x + x^{2})}$ y $y$ .

$\frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + (1 + x^{3}) \frac{3 x^{2} y}{(1 + x) (1 - x + x^{2})} = (1 + x^{3}) \frac{1}{1 + x^{3}}$

Paso 2.2.5

Multiplica $1 + x^{3}$ por $\frac{3 x^{2} y}{(1 + x) (1 - x + x^{2})}$ .

$\frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + \frac{(1 + x^{3}) (3 x^{2} y)}{(1 + x) (1 - x + x^{2})} = (1 + x^{3}) \frac{1}{1 + x^{3}}$

Paso 2.2.6

Simplifica el numerador.

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Paso 2.2.6.1

Reescribe $1$ como $1^{3}$ .

$\frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + \frac{(1^{3} + x^{3}) \cdot 3 x^{2} y}{(1 + x) (1 - x + x^{2})} = (1 + x^{3}) \frac{1}{1 + x^{3}}$

Paso 2.2.6.2

Dado que ambos términos son cubos perfectos, factoriza con la fórmula de la suma de cubos, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , donde $a = 1$ y $b = x$ .

$\frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + \frac{(1 + x) (1^{2} - 1 x + x^{2}) \cdot 3 x^{2} y}{(1 + x) (1 - x + x^{2})} = (1 + x^{3}) \frac{1}{1 + x^{3}}$

Paso 2.2.6.3

Simplifica.

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Paso 2.2.6.3.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + \frac{(1 + x) (1 - 1 x + x^{2}) \cdot 3 x^{2} y}{(1 + x) (1 - x + x^{2})} = (1 + x^{3}) \frac{1}{1 + x^{3}}$

Paso 2.2.6.3.2

Reescribe $- 1 x$ como $- x$ .

$\frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + \frac{(1 + x) (1 - x + x^{2}) \cdot 3 x^{2} y}{(1 + x) (1 - x + x^{2})} = (1 + x^{3}) \frac{1}{1 + x^{3}}$

Paso 2.2.7

Cancela el factor común de $1 + x$ .

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Paso 2.2.7.1

Cancela el factor común.

$\frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + \frac{(1 + x) (1 - x + x^{2}) \cdot 3 x^{2} y}{(1 + x) (1 - x + x^{2})} = (1 + x^{3}) \frac{1}{1 + x^{3}}$

Paso 2.2.7.2

Reescribe la expresión.

$\frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + \frac{(1 - x + x^{2}) \cdot 3 x^{2} y}{1 - x + x^{2}} = (1 + x^{3}) \frac{1}{1 + x^{3}}$

Paso 2.2.8

Cancela el factor común de $1 - x + x^{2}$ .

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Paso 2.2.8.1

Cancela el factor común.

$\frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + \frac{(1 - x + x^{2}) \cdot 3 x^{2} y}{1 - x + x^{2}} = (1 + x^{3}) \frac{1}{1 + x^{3}}$

Paso 2.2.8.2

Divide $3 x^{2} y$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = (1 + x^{3}) \frac{1}{1 + x^{3}}$

Paso 2.3

Simplifica el denominador.

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Paso 2.3.1

Reescribe $1$ como $1^{3}$ .

$\frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = (1 + x^{3}) \frac{1}{1^{3} + x^{3}}$

Paso 2.3.2

Dado que ambos términos son cubos perfectos, factoriza con la fórmula de la suma de cubos, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , donde $a = 1$ y $b = x$ .

$\frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = (1 + x^{3}) \frac{1}{(1 + x) (1^{2} - 1 x + x^{2})}$

Paso 2.3.3

Simplifica.

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Paso 2.3.3.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = (1 + x^{3}) \frac{1}{(1 + x) (1 - 1 x + x^{2})}$

Paso 2.3.3.2

Reescribe $- 1 x$ como $- x$ .

$\frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = (1 + x^{3}) \frac{1}{(1 + x) (1 - x + x^{2})}$

Paso 2.4

Multiplica $1 + x^{3}$ por $\frac{1}{(1 + x) (1 - x + x^{2})}$ .

$\frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = \frac{1 + x^{3}}{(1 + x) (1 - x + x^{2})}$

Paso 2.5

Simplifica el numerador.

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Paso 2.5.1

Reescribe $1$ como $1^{3}$ .

$\frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = \frac{1^{3} + x^{3}}{(1 + x) (1 - x + x^{2})}$

Paso 2.5.2

Dado que ambos términos son cubos perfectos, factoriza con la fórmula de la suma de cubos, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , donde $a = 1$ y $b = x$ .

$\frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = \frac{(1 + x) (1^{2} - 1 x + x^{2})}{(1 + x) (1 - x + x^{2})}$

Paso 2.5.3

Simplifica.

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Paso 2.5.3.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = \frac{(1 + x) (1 - 1 x + x^{2})}{(1 + x) (1 - x + x^{2})}$

Paso 2.5.3.2

Reescribe $- 1 x$ como $- x$ .

$\frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = \frac{(1 + x) (1 - x + x^{2})}{(1 + x) (1 - x + x^{2})}$

Paso 2.6

Cancela el factor común de $1 + x$ .

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Paso 2.6.1

Cancela el factor común.

$\frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = \frac{(1 + x) (1 - x + x^{2})}{(1 + x) (1 - x + x^{2})}$

Paso 2.6.2

Reescribe la expresión.

$\frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = \frac{1 - x + x^{2}}{1 - x + x^{2}}$

Paso 2.7

Cancela el factor común de $1 - x + x^{2}$ .

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Paso 2.7.1

Cancela el factor común.

$\frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = \frac{1 - x + x^{2}}{1 - x + x^{2}}$

Paso 2.7.2

Reescribe la expresión.

$\frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = 1$

Paso 3

Reescribe el lado izquierdo como resultado de la diferenciación de un producto.

$\frac{d}{d x} [(1 + x^{3}) y] = 1$

Paso 4

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [(1 + x^{3}) y] d x = \int d x$

Paso 5

Integra el lado izquierdo.

$(1 + x^{3}) y = \int d x$

Paso 6

Aplica la regla de la constante.

$(1 + x^{3}) y = x + C$

Paso 7

Divide cada término en $(1 + x^{3}) y = x + C$ por $1 + x^{3}$ y simplifica.

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Paso 7.1

Divide cada término en $(1 + x^{3}) y = x + C$ por $1 + x^{3}$ .

$\frac{(1 + x^{3}) y}{1 + x^{3}} = \frac{x}{1 + x^{3}} + \frac{C}{1 + x^{3}}$

Paso 7.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 7.2.1

Cancela el factor común de $1 + x^{3}$ .

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Paso 7.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{(1 + x^{3}) y}{1 + x^{3}} = \frac{x}{1 + x^{3}} + \frac{C}{1 + x^{3}}$

Paso 7.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{x}{1 + x^{3}} + \frac{C}{1 + x^{3}}$

Paso 7.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 7.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 7.3.1.1

Simplifica el denominador.

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Paso 7.3.1.1.1

Reescribe $1$ como $1^{3}$ .

$y = \frac{x}{1^{3} + x^{3}} + \frac{C}{1 + x^{3}}$

Paso 7.3.1.1.2

Dado que ambos términos son cubos perfectos, factoriza con la fórmula de la suma de cubos, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , donde $a = 1$ y $b = x$ .

$y = \frac{x}{(1 + x) (1^{2} - 1 x + x^{2})} + \frac{C}{1 + x^{3}}$

Paso 7.3.1.1.3

Simplifica.

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Paso 7.3.1.1.3.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$y = \frac{x}{(1 + x) (1 - 1 x + x^{2})} + \frac{C}{1 + x^{3}}$

Paso 7.3.1.1.3.2

Reescribe $- 1 x$ como $- x$ .

$y = \frac{x}{(1 + x) (1 - x + x^{2})} + \frac{C}{1 + x^{3}}$

Paso 7.3.1.2

Simplifica el denominador.

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Paso 7.3.1.2.1

Reescribe $1$ como $1^{3}$ .

$y = \frac{x}{(1 + x) (1 - x + x^{2})} + \frac{C}{1^{3} + x^{3}}$

Paso 7.3.1.2.2

Dado que ambos términos son cubos perfectos, factoriza con la fórmula de la suma de cubos, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , donde $a = 1$ y $b = x$ .

$y = \frac{x}{(1 + x) (1 - x + x^{2})} + \frac{C}{(1 + x) (1^{2} - 1 x + x^{2})}$

Paso 7.3.1.2.3

Simplifica.

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Paso 7.3.1.2.3.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$y = \frac{x}{(1 + x) (1 - x + x^{2})} + \frac{C}{(1 + x) (1 - 1 x + x^{2})}$

Paso 7.3.1.2.3.2

Reescribe $- 1 x$ como $- x$ .

$y = \frac{x}{(1 + x) (1 - x + x^{2})} + \frac{C}{(1 + x) (1 - x + x^{2})}$