Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} + \frac{y}{x} = \arctan (x)$

Paso 1

Reescribe la ecuación diferencial como $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

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Paso 1.1

Factoriza $y$ de $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + y \frac{1}{x} = \arctan (x)$

Paso 1.2

Reordena $y$ y $\frac{1}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{1}{x} y = \arctan (x)$

Paso 2

El factor integrador se define mediante la fórmula $e^{\int P (x) d x}$ , donde $P (x) = \frac{1}{x}$ .

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Paso 2.1

Establece la integración.

$e^{\int \frac{1}{x} d x}$

Paso 2.2

La integral de $\frac{1}{x}$ con respecto a $x$ es $\ln (| x |)$ .

$e^{\ln (| x |) + C}$

Paso 2.3

Elimina la constante de integración.

$e^{\ln (x)}$

Paso 2.4

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

$x$

Paso 3

Multiplica cada término por el factor integrador $x$ .

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Paso 3.1

Multiplica cada término por $x$ .

$x \frac{d y}{d x} + x (\frac{1}{x} y) = x \arctan (x)$

Paso 3.2

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.1

Combina $\frac{1}{x}$ y $y$ .

$x \frac{d y}{d x} + x \frac{y}{x} = x \arctan (x)$

Paso 3.2.2

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 3.2.2.1

Cancela el factor común.

$x \frac{d y}{d x} + x \frac{y}{x} = x \arctan (x)$

Paso 3.2.2.2

Reescribe la expresión.

$x \frac{d y}{d x} + y = x \arctan (x)$

Paso 4

Reescribe el lado izquierdo como resultado de la diferenciación de un producto.

$\frac{d}{d x} [x y] = x \arctan (x)$

Paso 5

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [x y] d x = \int x \arctan (x) d x$

Paso 6

Integra el lado izquierdo.

$x y = \int x \arctan (x) d x$

Paso 7

Integra el lado derecho.

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Paso 7.1

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = \arctan (x)$ y $d v = x$ .

$x y = \arctan (x) (\frac{1}{2} x^{2}) - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

Paso 7.2

Simplifica.

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Paso 7.2.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{2}$ .

$x y = \arctan (x) \frac{x^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

Paso 7.2.2

Combina $\arctan (x)$ y $\frac{x^{2}}{2}$ .

$x y = \frac{\arctan (x) x^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

Paso 7.3

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$x y = \frac{\arctan (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int x^{2} \frac{1}{x^{2} + 1} d x)$

Paso 7.4

Combina $x^{2}$ y $\frac{1}{x^{2} + 1}$ .

$x y = \frac{\arctan (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} \int \frac{x^{2}}{x^{2} + 1} d x$

Paso 7.5

Divide $x^{2}$ por $x^{2} + 1$ .

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Paso 7.5.1

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{2}$

$0 x$

$0$

Paso 7.5.2

Divide el término de mayor orden en el dividendo $x^{2}$ por el término de mayor orden en el divisor $x^{2}$ .

							$1$
	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$

Paso 7.5.3

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

						$1$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
					+	$x^{2}$	+	$0$	+	$1$

Paso 7.5.4

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $x^{2} + 0 + 1$ .

						$1$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
					-	$x^{2}$	-	$0$	-	$1$

Paso 7.5.5

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

						$1$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
					-	$x^{2}$	-	$0$	-	$1$
									-	$1$

Paso 7.5.6

La respuesta final es el cociente más el resto sobre el divisor.

$x y = \frac{\arctan (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} \int 1 - \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

Paso 7.6

Divide la única integral en varias integrales.

$x y = \frac{\arctan (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\int d x + \int - \frac{1}{x^{2} + 1} d x)$

Paso 7.7

Aplica la regla de la constante.

$x y = \frac{\arctan (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (x + C + \int - \frac{1}{x^{2} + 1} d x)$

Paso 7.8

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$x y = \frac{\arctan (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (x + C - \int \frac{1}{x^{2} + 1} d x)$

Paso 7.9

Simplifica la expresión.

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Paso 7.9.1

Reordena $x^{2}$ y $1$ .

$x y = \frac{\arctan (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (x + C - \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x)$

Paso 7.9.2

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$x y = \frac{\arctan (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (x + C - \int \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x)$

Paso 7.10

La integral de $\frac{1}{1^{2} + x^{2}}$ con respecto a $x$ es $\arctan (x) + C$ .

$x y = \frac{\arctan (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (x + C - (\arctan (x) + C))$

Paso 7.11

Simplifica.

$x y = \frac{\arctan (x) x^{2}}{2} - \frac{x}{2} + \frac{\arctan (x)}{2} + C$

Paso 7.12

Reordena los términos.

$x y = \frac{1}{2} \arctan (x) x^{2} - \frac{1}{2} x + \frac{1}{2} \arctan (x) + C$

Paso 8

Resuelve $y$

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Paso 8.1

Simplifica.

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Paso 8.1.1

Combina $x$ y $\frac{1}{2}$ .

$x y = \frac{1}{2} \cdot (\arctan (x) x^{2}) - \frac{x}{2} + \frac{1}{2} \cdot \arctan (x) + C$

Paso 8.1.2

Elimina los paréntesis.

$x y = \frac{1}{2} \cdot \arctan (x) x^{2} - \frac{x}{2} + \frac{1}{2} \cdot \arctan (x) + C$

Paso 8.2

Divide cada término en $x y = \frac{1}{2} \cdot (\arctan (x) x^{2}) - \frac{x}{2} + \frac{1}{2} \cdot \arctan (x) + C$ por $x$ y simplifica.

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Paso 8.2.1

Divide cada término en $x y = \frac{1}{2} \cdot (\arctan (x) x^{2}) - \frac{x}{2} + \frac{1}{2} \cdot \arctan (x) + C$ por $x$ .

$\frac{x y}{x} = \frac{\frac{1}{2} \cdot (\arctan (x) x^{2})}{x} + \frac{- \frac{x}{2}}{x} + \frac{\frac{1}{2} \cdot \arctan (x)}{x} + \frac{C}{x}$

Paso 8.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 8.2.2.1

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 8.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x y}{x} = \frac{\frac{1}{2} \cdot (\arctan (x) x^{2})}{x} + \frac{- \frac{x}{2}}{x} + \frac{\frac{1}{2} \cdot \arctan (x)}{x} + \frac{C}{x}$

Paso 8.2.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{\frac{1}{2} \cdot (\arctan (x) x^{2})}{x} + \frac{- \frac{x}{2}}{x} + \frac{\frac{1}{2} \cdot \arctan (x)}{x} + \frac{C}{x}$

Paso 8.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 8.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 8.2.3.1.1

Cancela el factor común de $x^{2}$ y $x$ .

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Paso 8.2.3.1.1.1

Factoriza $x$ de $\frac{1}{2} \cdot (\arctan (x) x^{2})$ .

$y = \frac{x (\frac{1}{2} \cdot (\arctan (x) x))}{x} + \frac{- \frac{x}{2}}{x} + \frac{\frac{1}{2} \cdot \arctan (x)}{x} + \frac{C}{x}$

Paso 8.2.3.1.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 8.2.3.1.1.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$y = \frac{x (\frac{1}{2} \cdot (\arctan (x) x))}{x^{1}} + \frac{- \frac{x}{2}}{x} + \frac{\frac{1}{2} \cdot \arctan (x)}{x} + \frac{C}{x}$

Paso 8.2.3.1.1.2.2

Factoriza $x$ de $x^{1}$ .

$y = \frac{x (\frac{1}{2} \cdot (\arctan (x) x))}{x \cdot 1} + \frac{- \frac{x}{2}}{x} + \frac{\frac{1}{2} \cdot \arctan (x)}{x} + \frac{C}{x}$

Paso 8.2.3.1.1.2.3

Cancela el factor común.

$y = \frac{x (\frac{1}{2} \cdot (\arctan (x) x))}{x \cdot 1} + \frac{- \frac{x}{2}}{x} + \frac{\frac{1}{2} \cdot \arctan (x)}{x} + \frac{C}{x}$

Paso 8.2.3.1.1.2.4

Reescribe la expresión.

$y = \frac{\frac{1}{2} \cdot (\arctan (x) x)}{1} + \frac{- \frac{x}{2}}{x} + \frac{\frac{1}{2} \cdot \arctan (x)}{x} + \frac{C}{x}$

Paso 8.2.3.1.1.2.5

Divide $\frac{1}{2} \cdot (\arctan (x) x)$ por $1$ .

$y = \frac{1}{2} \cdot (\arctan (x) x) + \frac{- \frac{x}{2}}{x} + \frac{\frac{1}{2} \cdot \arctan (x)}{x} + \frac{C}{x}$

Paso 8.2.3.1.2

Multiplica $\frac{1}{2} (\arctan (x) x)$ .

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Paso 8.2.3.1.2.1

Combina $\arctan (x)$ y $\frac{1}{2}$ .

$y = \frac{\arctan (x)}{2} x + \frac{- \frac{x}{2}}{x} + \frac{\frac{1}{2} \cdot \arctan (x)}{x} + \frac{C}{x}$

Paso 8.2.3.1.2.2

Combina $\frac{\arctan (x)}{2}$ y $x$ .

$y = \frac{\arctan (x) x}{2} + \frac{- \frac{x}{2}}{x} + \frac{\frac{1}{2} \cdot \arctan (x)}{x} + \frac{C}{x}$

Paso 8.2.3.1.3

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$y = \frac{\arctan (x) x}{2} - \frac{x}{2} \cdot \frac{1}{x} + \frac{\frac{1}{2} \cdot \arctan (x)}{x} + \frac{C}{x}$

Paso 8.2.3.1.4

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 8.2.3.1.4.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{x}{2}$ al numerador.

$y = \frac{\arctan (x) x}{2} + \frac{- x}{2} \cdot \frac{1}{x} + \frac{\frac{1}{2} \cdot \arctan (x)}{x} + \frac{C}{x}$

Paso 8.2.3.1.4.2

Factoriza $x$ de $- x$ .

$y = \frac{\arctan (x) x}{2} + \frac{x \cdot - 1}{2} \cdot \frac{1}{x} + \frac{\frac{1}{2} \cdot \arctan (x)}{x} + \frac{C}{x}$

Paso 8.2.3.1.4.3

Cancela el factor común.

$y = \frac{\arctan (x) x}{2} + \frac{x \cdot - 1}{2} \cdot \frac{1}{x} + \frac{\frac{1}{2} \cdot \arctan (x)}{x} + \frac{C}{x}$

Paso 8.2.3.1.4.4

Reescribe la expresión.

$y = \frac{\arctan (x) x}{2} + \frac{- 1}{2} + \frac{\frac{1}{2} \cdot \arctan (x)}{x} + \frac{C}{x}$

Paso 8.2.3.1.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = \frac{\arctan (x) x}{2} - \frac{1}{2} + \frac{\frac{1}{2} \cdot \arctan (x)}{x} + \frac{C}{x}$

Paso 8.2.3.1.6

Combina $\frac{1}{2}$ y $\arctan (x)$ .

$y = \frac{\arctan (x) x}{2} - \frac{1}{2} + \frac{\frac{\arctan (x)}{2}}{x} + \frac{C}{x}$

Paso 8.2.3.1.7

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$y = \frac{\arctan (x) x}{2} - \frac{1}{2} + \frac{\arctan (x)}{2} \cdot \frac{1}{x} + \frac{C}{x}$

Paso 8.2.3.1.8

Multiplica $\frac{\arctan (x)}{2}$ por $\frac{1}{x}$ .

$y = \frac{\arctan (x) x}{2} - \frac{1}{2} + \frac{\arctan (x)}{2 x} + \frac{C}{x}$

Paso 8.2.3.2

Reordena los factores en $\frac{\arctan (x) x}{2} - \frac{1}{2} + \frac{\arctan (x)}{2 x} + \frac{C}{x}$ .

$y = \frac{x \arctan (x)}{2} - \frac{1}{2} + \frac{\arctan (x)}{2 x} + \frac{C}{x}$