Cálculo Ejemplos

$8 y \frac{d y}{d x} = \frac{12}{{(3 x + 2)}^{2}}$

Paso 1

Reescribe la ecuación.

$8 y d y = \frac{12}{{(3 x + 2)}^{2}} d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int 8 y d y = \int \frac{12}{{(3 x + 2)}^{2}} d x$

Paso 2.2

Integra el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.1

Dado que $8$ es constante con respecto a $y$ , mueve $8$ fuera de la integral.

$8 \int y d y = \int \frac{12}{{(3 x + 2)}^{2}} d x$

Paso 2.2.2

Según la regla de la potencia, la integral de $y$ con respecto a $y$ es $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$8 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1}) = \int \frac{12}{{(3 x + 2)}^{2}} d x$

Paso 2.2.3

Simplifica la respuesta.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.3.1

Reescribe $8 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1})$ como $8 (\frac{1}{2}) y^{2} + C_{1}$ .

$8 (\frac{1}{2}) y^{2} + C_{1} = \int \frac{12}{{(3 x + 2)}^{2}} d x$

Paso 2.2.3.2

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.3.2.1

Combina $8$ y $\frac{1}{2}$ .

$\frac{8}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{12}{{(3 x + 2)}^{2}} d x$

Paso 2.2.3.2.2

Cancela el factor común de $8$ y $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.3.2.2.1

Factoriza $2$ de $8$ .

$\frac{2 \cdot 4}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{12}{{(3 x + 2)}^{2}} d x$

Paso 2.2.3.2.2.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.3.2.2.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{2 \cdot 4}{2 (1)} y^{2} + C_{1} = \int \frac{12}{{(3 x + 2)}^{2}} d x$

Paso 2.2.3.2.2.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1} y^{2} + C_{1} = \int \frac{12}{{(3 x + 2)}^{2}} d x$

Paso 2.2.3.2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{4}{1} y^{2} + C_{1} = \int \frac{12}{{(3 x + 2)}^{2}} d x$

Paso 2.2.3.2.2.2.4

Divide $4$ por $1$ .

$4 y^{2} + C_{1} = \int \frac{12}{{(3 x + 2)}^{2}} d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.1

Dado que $12$ es constante con respecto a $x$ , mueve $12$ fuera de la integral.

$4 y^{2} + C_{1} = 12 \int \frac{1}{{(3 x + 2)}^{2}} d x$

Paso 2.3.2

Sea $u = 3 x + 2$ . Entonces $d u = 3 d x$ , de modo que $\frac{1}{3} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.2.1

Deja $u = 3 x + 2$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.2.1.1

Diferencia $3 x + 2$ .

$\frac{d}{d x} [3 x + 2]$

Paso 2.3.2.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $3 x + 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 2.3.2.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.2.1.3.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 2.3.2.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 2.3.2.1.3.3

Multiplica $3$ por $1$ .

$3 + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 2.3.2.1.4

Diferencia con la regla de la constante.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.2.1.4.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$3 + 0$

Paso 2.3.2.1.4.2

Suma $3$ y $0$ .

$3$

Paso 2.3.2.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$4 y^{2} + C_{1} = 12 \int \frac{1}{u^{2}} \cdot \frac{1}{3} d u$

Paso 2.3.3

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.3.1

Multiplica $\frac{1}{u^{2}}$ por $\frac{1}{3}$ .

$4 y^{2} + C_{1} = 12 \int \frac{1}{u^{2} \cdot 3} d u$

Paso 2.3.3.2

Mueve $3$ a la izquierda de $u^{2}$ .

$4 y^{2} + C_{1} = 12 \int \frac{1}{3 u^{2}} d u$

Paso 2.3.4

Dado que $\frac{1}{3}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{3}$ fuera de la integral.

$4 y^{2} + C_{1} = 12 (\frac{1}{3} \int \frac{1}{u^{2}} d u)$

Paso 2.3.5

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.5.1

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.5.1.1

Combina $\frac{1}{3}$ y $12$ .

$4 y^{2} + C_{1} = \frac{12}{3} \int \frac{1}{u^{2}} d u$

Paso 2.3.5.1.2

Cancela el factor común de $12$ y $3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.5.1.2.1

Factoriza $3$ de $12$ .

$4 y^{2} + C_{1} = \frac{3 \cdot 4}{3} \int \frac{1}{u^{2}} d u$

Paso 2.3.5.1.2.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.5.1.2.2.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$4 y^{2} + C_{1} = \frac{3 \cdot 4}{3 (1)} \int \frac{1}{u^{2}} d u$

Paso 2.3.5.1.2.2.2

Cancela el factor común.

$4 y^{2} + C_{1} = \frac{3 \cdot 4}{3 \cdot 1} \int \frac{1}{u^{2}} d u$

Paso 2.3.5.1.2.2.3

Reescribe la expresión.

$4 y^{2} + C_{1} = \frac{4}{1} \int \frac{1}{u^{2}} d u$

Paso 2.3.5.1.2.2.4

Divide $4$ por $1$ .

$4 y^{2} + C_{1} = 4 \int \frac{1}{u^{2}} d u$

Paso 2.3.5.2

Aplica reglas básicas de exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.5.2.1

Mueve $u^{2}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$4 y^{2} + C_{1} = 4 \int {(u^{2})}^{- 1} d u$

Paso 2.3.5.2.2

Multiplica los exponentes en ${(u^{2})}^{- 1}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.5.2.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 y^{2} + C_{1} = 4 \int u^{2 \cdot - 1} d u$

Paso 2.3.5.2.2.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$4 y^{2} + C_{1} = 4 \int u^{- 2} d u$

Paso 2.3.6

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{- 2}$ con respecto a $u$ es $- u^{- 1}$ .

$4 y^{2} + C_{1} = 4 (- u^{- 1} + C_{2})$

Paso 2.3.7

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.7.1

Reescribe $4 (- u^{- 1} + C_{2})$ como $4 (- \frac{1}{u}) + C_{2}$ .

$4 y^{2} + C_{1} = 4 (- \frac{1}{u}) + C_{2}$

Paso 2.3.7.2

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.7.2.1

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$4 y^{2} + C_{1} = - 4 \frac{1}{u} + C_{2}$

Paso 2.3.7.2.2

Combina $- 4$ y $\frac{1}{u}$ .

$4 y^{2} + C_{1} = \frac{- 4}{u} + C_{2}$

Paso 2.3.7.2.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$4 y^{2} + C_{1} = - \frac{4}{u} + C_{2}$

Paso 2.3.8

Reemplaza todos los casos de $u$ con $3 x + 2$ .

$4 y^{2} + C_{1} = - \frac{4}{3 x + 2} + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$4 y^{2} = - \frac{4}{3 x + 2} + K$

Paso 3

Resuelve $y$

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1

Divide cada término en $4 y^{2} = - \frac{4}{3 x + 2} + K$ por $4$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1.1

Divide cada término en $4 y^{2} = - \frac{4}{3 x + 2} + K$ por $4$ .

$\frac{4 y^{2}}{4} = \frac{- \frac{4}{3 x + 2}}{4} + \frac{K}{4}$

Paso 3.1.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1.2.1

Cancela el factor común de $4$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 y^{2}}{4} = \frac{- \frac{4}{3 x + 2}}{4} + \frac{K}{4}$

Paso 3.1.2.1.2

Divide $y^{2}$ por $1$ .

$y^{2} = \frac{- \frac{4}{3 x + 2}}{4} + \frac{K}{4}$

Paso 3.1.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1.3.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y^{2} = \frac{- \frac{4}{3 x + 2} + K}{4}$

Paso 3.1.3.2

Para escribir $K$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3 x + 2}{3 x + 2}$ .

$y^{2} = \frac{- \frac{4}{3 x + 2} + \frac{K (3 x + 2)}{3 x + 2}}{4}$

Paso 3.1.3.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y^{2} = \frac{\frac{- 4 + K (3 x + 2)}{3 x + 2}}{4}$

Paso 3.1.3.4

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1.3.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y^{2} = \frac{\frac{- 4 + K (3 x) + K \cdot 2}{3 x + 2}}{4}$

Paso 3.1.3.4.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$y^{2} = \frac{\frac{- 4 + 3 K x + K \cdot 2}{3 x + 2}}{4}$

Paso 3.1.3.4.3

Mueve $2$ a la izquierda de $K$ .

$y^{2} = \frac{\frac{- 4 + 3 K x + 2 K}{3 x + 2}}{4}$

Paso 3.1.3.5

Simplifica con la obtención del factor común.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1.3.5.1

Reescribe $- 4$ como $- 1 (4)$ .

$y^{2} = \frac{\frac{- 1 (4) + 3 K x + 2 K}{3 x + 2}}{4}$

Paso 3.1.3.5.2

Factoriza $- 1$ de $3 K x$ .

$y^{2} = \frac{\frac{- 1 (4) - (- 3 K x) + 2 K}{3 x + 2}}{4}$

Paso 3.1.3.5.3

Factoriza $- 1$ de $- 1 (4) - (- 3 K x)$ .

$y^{2} = \frac{\frac{- 1 (4 - 3 K x) + 2 K}{3 x + 2}}{4}$

Paso 3.1.3.5.4

Factoriza $- 1$ de $2 K$ .

$y^{2} = \frac{\frac{- 1 (4 - 3 K x) - (- 2 K)}{3 x + 2}}{4}$

Paso 3.1.3.5.5

Factoriza $- 1$ de $- 1 (4 - 3 K x) - (- 2 K)$ .

$y^{2} = \frac{\frac{- 1 (4 - 3 K x - 2 K)}{3 x + 2}}{4}$

Paso 3.1.3.5.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y^{2} = \frac{- \frac{4 - 3 K x - 2 K}{3 x + 2}}{4}$

Paso 3.1.3.6

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$y^{2} = - \frac{4 - 3 K x - 2 K}{3 x + 2} \cdot \frac{1}{4}$

Paso 3.1.3.7

Multiplica $\frac{1}{4}$ por $\frac{4 - 3 K x - 2 K}{3 x + 2}$ .

$y^{2} = - \frac{4 - 3 K x - 2 K}{4 (3 x + 2)}$

Paso 3.2

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$y = \pm \sqrt{- \frac{4 - 3 K x - 2 K}{4 (3 x + 2)}}$

Paso 3.3

Simplifica $\pm \sqrt{- \frac{4 - 3 K x - 2 K}{4 (3 x + 2)}}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.1

Reescribe $- \frac{4 - 3 K x - 2 K}{4 (3 x + 2)}$ como ${(\frac{1^{2}}{2})}^{2} \cdot (- \frac{4 - 3 K x - 2 K}{3 x + 2})$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.1.1

Factoriza la potencia perfecta $1^{2}$ de $4 - 3 K x - 2 K$ .

$y = \pm \sqrt{- \frac{1^{2} (4 - 3 K x - 2 K)}{4 (3 x + 2)}}$

Paso 3.3.1.2

Factoriza la potencia perfecta $2^{2}$ de $4 (3 x + 2)$ .

$y = \pm \sqrt{- \frac{1^{2} (4 - 3 K x - 2 K)}{2^{2} (3 x + 2)}}$

Paso 3.3.1.3

Reorganiza la fracción $\frac{1^{2} (4 - 3 K x - 2 K)}{2^{2} (3 x + 2)}$ .

$y = \pm \sqrt{- ({(\frac{1}{2})}^{2} \frac{4 - 3 K x - 2 K}{3 x + 2})}$

Paso 3.3.1.4

Reordena $- 1$ y ${(\frac{1}{2})}^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} \cdot - 1 \frac{4 - 3 K x - 2 K}{3 x + 2}}$

Paso 3.3.1.5

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{{(\frac{1^{2}}{2})}^{2} \cdot - 1 \frac{4 - 3 K x - 2 K}{3 x + 2}}$

Paso 3.3.1.6

Agrega paréntesis.

$y = \pm \sqrt{{(\frac{1^{2}}{2})}^{2} \cdot (- \frac{4 - 3 K x - 2 K}{3 x + 2})}$

Paso 3.3.2

Retira los términos de abajo del radical.

$y = \pm \frac{1^{2}}{2} \sqrt{- \frac{4 - 3 K x - 2 K}{3 x + 2}}$

Paso 3.3.3

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$y = \pm \frac{1}{2} \sqrt{- \frac{4 - 3 K x - 2 K}{3 x + 2}}$

Paso 3.3.4

Combina $\frac{1}{2}$ y $\sqrt{- \frac{4 - 3 K x - 2 K}{3 x + 2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{- \frac{4 - 3 K x - 2 K}{3 x + 2}}}{2}$

Paso 3.4

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.4.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$y = \frac{\sqrt{- \frac{4 - 3 K x - 2 K}{3 x + 2}}}{2}$

Paso 3.4.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$y = - \frac{\sqrt{- \frac{4 - 3 K x - 2 K}{3 x + 2}}}{2}$

Paso 3.4.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$y = \frac{\sqrt{- \frac{4 - 3 K x - 2 K}{3 x + 2}}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{- \frac{4 - 3 K x - 2 K}{3 x + 2}}}{2}$

$y = \frac{\sqrt{- \frac{4 - 3 K x - 2 K}{3 x + 2}}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{- \frac{4 - 3 K x - 2 K}{3 x + 2}}}{2}$

$y = \frac{\sqrt{- \frac{4 - 3 K x - 2 K}{3 x + 2}}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{- \frac{4 - 3 K x - 2 K}{3 x + 2}}}{2}$

Paso 4

Simplifica la constante de integración.

$y = \frac{\sqrt{- \frac{4 + K x + K}{3 x + 2}}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{- \frac{4 + K x + K}{3 x + 2}}}{2}$