Cálculo Ejemplos

$(x^{2} - y^{2}) d x = 2 x (y d) y$

Paso 1

Reescribe la ecuación diferencial para que se ajuste a la técnica de ecuación diferencial exacta.

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Paso 1.1

Resta $2 x y d y$ de ambos lados de la ecuación.

$(x^{2} - y^{2}) d x - 2 x y d y = 0$

Paso 2

Obtén $\frac{\partial M}{\partial y}$ donde $M (x, y) = x^{2} - y^{2}$ .

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Paso 2.1

Diferencia $M$ con respecto a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x^{2} - y^{2}]$

Paso 2.2

Diferencia.

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Paso 2.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} - y^{2}$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [- y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [- y^{2}]$

Paso 2.2.2

Como $x^{2}$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $x^{2}$ con respecto a $y$ es $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [- y^{2}]$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d y} [- y^{2}]$ .

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Paso 2.3.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $- y^{2}$ con respecto a $y$ es $- \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - (2 y)$

Paso 2.3.3

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 2 y$

Paso 2.4

Resta $2 y$ de $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 y$

Paso 3

Obtén $\frac{\partial N}{\partial x}$ donde $N (x, y) = - 2 x y$ .

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Paso 3.1

Diferencia $N$ con respecto a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- 2 x y]$

Paso 3.2

Como $- 2 y$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2 x y$ con respecto a $x$ es $- 2 y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 y \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 y \cdot 1$

Paso 3.4

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 y$

Paso 4

Comprueba que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Paso 4.1

Sustituye $- 2 y$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ y $- 2 y$ para $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$- 2 y = - 2 y$

Paso 4.2

Debido a que se ha demostrado que los dos lados son equivalentes, la ecuación es una identidad.

$- 2 y = - 2 y$ es una identidad.

Paso 5

Establece $f (x, y)$ igual a la integral de $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int - 2 x y d y$

Paso 6

Integra $N (x, y) = - 2 x y$ para obtener $f (x, y)$ .

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Paso 6.1

Dado que $- 2 x$ es constante con respecto a $y$ , mueve $- 2 x$ fuera de la integral.

$f (x, y) = - 2 x \int y d y$

Paso 6.2

Según la regla de la potencia, la integral de $y$ con respecto a $y$ es $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = - 2 x (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

Paso 6.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 6.3.1

Reescribe $- 2 x (\frac{1}{2} y^{2} + C)$ como $- 2 x \frac{1}{2} y^{2} + C$ .

$f (x, y) = - 2 x \frac{1}{2} y^{2} + C$

Paso 6.3.2

Simplifica.

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Paso 6.3.2.1

Combina $- 2$ y $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = x \frac{- 2}{2} y^{2} + C$

Paso 6.3.2.2

Combina $x$ y $\frac{- 2}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x \cdot - 2}{2} y^{2} + C$

Paso 6.3.2.3

Mueve $- 2$ a la izquierda de $x$ .

$f (x, y) = \frac{- 2 x}{2} y^{2} + C$

Paso 6.3.2.4

Cancela el factor común de $- 2$ y $2$ .

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Paso 6.3.2.4.1

Factoriza $2$ de $- 2 x$ .

$f (x, y) = \frac{2 (- x)}{2} y^{2} + C$

Paso 6.3.2.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 6.3.2.4.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$f (x, y) = \frac{2 (- x)}{2 (1)} y^{2} + C$

Paso 6.3.2.4.2.2

Cancela el factor común.

$f (x, y) = \frac{2 (- x)}{2 \cdot 1} y^{2} + C$

Paso 6.3.2.4.2.3

Reescribe la expresión.

$f (x, y) = \frac{- x}{1} y^{2} + C$

Paso 6.3.2.4.2.4

Divide $- x$ por $1$ .

$f (x, y) = - x y^{2} + C$

Paso 7

Como la integral de $g (x)$ , contendrá una constante de integración, podemos reemplazar $C$ con $g (x)$ .

$f (x, y) = - x y^{2} + g (x)$

Paso 8

Establece $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = x^{2} - y^{2}$

Paso 9

Obtén $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Paso 9.1

Diferencia $f$ con respecto a $x$ .

$\frac{d}{d x} [- x y^{2} + g (x)] = x^{2} - y^{2}$

Paso 9.2

Según la regla de la suma, la derivada de $- x y^{2} + g (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [- x y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [- x y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} - y^{2}$

Paso 9.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- x y^{2}]$ .

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Paso 9.3.1

Como $- y^{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x y^{2}$ con respecto a $x$ es $- y^{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$- y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} - y^{2}$

Paso 9.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- y^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} - y^{2}$

Paso 9.3.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- y^{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} - y^{2}$

Paso 9.4

Diferencia con la regla de la función que establece que la derivada de $g (x)$ es $\frac{d g}{d x}$ .

$- y^{2} + \frac{d g}{d x} = x^{2} - y^{2}$

Paso 9.5

Reordena los términos.

$\frac{d g}{d x} - y^{2} = x^{2} - y^{2}$

Paso 10

Resuelve $\frac{d g}{d x}$

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Paso 10.1

Mueve todos los términos que no contengan $\frac{d g}{d x}$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 10.1.1

Suma $y^{2}$ a ambos lados de la ecuación.

$\frac{d g}{d x} = x^{2} - y^{2} + y^{2}$

Paso 10.1.2

Combina los términos opuestos en $x^{2} - y^{2} + y^{2}$ .

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Paso 10.1.2.1

Suma $- y^{2}$ y $y^{2}$ .

$\frac{d g}{d x} = x^{2} + 0$

Paso 10.1.2.2

Suma $x^{2}$ y $0$ .

$\frac{d g}{d x} = x^{2}$

Paso 11

Obtén la antiderivada de $x^{2}$ y obtén $g (x)$ .

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Paso 11.1

Integra ambos lados de $\frac{d g}{d x} = x^{2}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int x^{2} d x$

Paso 11.2

Evalúa $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int x^{2} d x$

Paso 11.3

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$g (x) = \frac{1}{3} x^{3} + C$

Paso 12

Sustituye por $g (x)$ en $f (x, y) = - x y^{2} + g (x)$ .

$f (x, y) = - x y^{2} + \frac{1}{3} x^{3} + C$

Paso 13

Combina $\frac{1}{3}$ y $x^{3}$ .

$f (x, y) = - x y^{2} + \frac{x^{3}}{3} + C$