Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = 6 x^{- 3} + 8 x^{- 1} - 1$ ; , $y (1) = 0$

Paso 1

Reescribe la ecuación.

$d y = (6 x^{- 3} + 8 x^{- 1} - 1) d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int d y = \int 6 x^{- 3} + 8 x^{- 1} - 1 d x$

Paso 2.2

Aplica la regla de la constante.

$y + C_{1} = \int 6 x^{- 3} + 8 x^{- 1} - 1 d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Divide la única integral en varias integrales.

$y + C_{1} = \int 6 x^{- 3} d x + \int 8 x^{- 1} d x + \int - 1 d x$

Paso 2.3.2

Dado que $6$ es constante con respecto a $x$ , mueve $6$ fuera de la integral.

$y + C_{1} = 6 \int x^{- 3} d x + \int 8 x^{- 1} d x + \int - 1 d x$

Paso 2.3.3

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{- 3}$ con respecto a $x$ es $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ .

$y + C_{1} = 6 (- \frac{1}{2} x^{- 2} + C_{2}) + \int 8 x^{- 1} d x + \int - 1 d x$

Paso 2.3.4

Simplifica.

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Paso 2.3.4.1

Combina $x^{- 2}$ y $\frac{1}{2}$ .

$y + C_{1} = 6 (- \frac{x^{- 2}}{2} + C_{2}) + \int 8 x^{- 1} d x + \int - 1 d x$

Paso 2.3.4.2

Mueve $x^{- 2}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y + C_{1} = 6 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C_{2}) + \int 8 x^{- 1} d x + \int - 1 d x$

Paso 2.3.5

Dado que $8$ es constante con respecto a $x$ , mueve $8$ fuera de la integral.

$y + C_{1} = 6 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C_{2}) + 8 \int x^{- 1} d x + \int - 1 d x$

Paso 2.3.6

La integral de $x^{- 1}$ con respecto a $x$ es $\ln (| x |)$ .

$y + C_{1} = 6 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C_{2}) + 8 (\ln (| x |) + C_{3}) + \int - 1 d x$

Paso 2.3.7

Aplica la regla de la constante.

$y + C_{1} = 6 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C_{2}) + 8 (\ln (| x |) + C_{3}) - x + C_{4}$

Paso 2.3.8

Simplifica.

$y + C_{1} = - \frac{3}{x^{2}} + 8 \ln (| x |) - x + C_{5}$

Paso 2.3.9

Reordena los términos.

$y + C_{1} = - x - \frac{3}{x^{2}} + 8 \ln (| x |) + C_{5}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$y = - x - \frac{3}{x^{2}} + 8 \ln (| x |) + C$

Paso 3

Usa la condición inicial para obtener el valor de $C$ mediante la sustitución de $1$ por $x$ y de $0$ por $y$ en $y = - x - \frac{3}{x^{2}} + 8 \ln (| x |) + C$ .

$0 = - 1 - \frac{3}{1^{2}} + 8 \ln (| 1 |) + C$

Paso 4

Resuelve $C$

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Paso 4.1

Reescribe la ecuación como $- 1 - \frac{3}{1^{2}} + 8 \ln (| 1 |) + C = 0$ .

$- 1 - \frac{3}{1^{2}} + 8 \ln (| 1 |) + C = 0$

Paso 4.2

Simplifica $- 1 - \frac{3}{1^{2}} + 8 \ln (| 1 |) + C$ .

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Paso 4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.1.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$- 1 - \frac{3}{1} + 8 \ln (| 1 |) + C = 0$

Paso 4.2.1.2

Divide $3$ por $1$ .

$- 1 - 1 \cdot 3 + 8 \ln (| 1 |) + C = 0$

Paso 4.2.1.3

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$- 1 - 3 + 8 \ln (| 1 |) + C = 0$

Paso 4.2.1.4

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$- 1 - 3 + 8 \ln (1) + C = 0$

Paso 4.2.1.5

El logaritmo natural de $1$ es $0$ .

$- 1 - 3 + 8 \cdot 0 + C = 0$

Paso 4.2.1.6

Multiplica $8$ por $0$ .

$- 1 - 3 + 0 + C = 0$

Paso 4.2.2

Simplifica mediante la resta de números.

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Paso 4.2.2.1

Suma $- 1 - 3$ y $0$ .

$- 1 - 3 + C = 0$

Paso 4.2.2.2

Resta $3$ de $- 1$ .

$- 4 + C = 0$

Paso 4.3

Suma $4$ a ambos lados de la ecuación.

$C = 4$

Paso 5

Sustituye $4$ por $C$ en $y = - x - \frac{3}{x^{2}} + 8 \ln (| x |) + C$ y simplifica.

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Paso 5.1

Sustituye $4$ por $C$ .

$y = - x - \frac{3}{x^{2}} + 8 \ln (| x |) + 4$

Paso 5.2

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.1

Simplifica $8 \ln (| x |)$ al mover $8$ dentro del algoritmo.

$y = - x - \frac{3}{x^{2}} + \ln ({| x |}^{8}) + 4$

Paso 5.2.2

Elimina el valor absoluto en ${| x |}^{8}$ porque las potenciaciones con potencias pares siempre son positivas.

$y = - x - \frac{3}{x^{2}} + \ln (x^{8}) + 4$