Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} + \frac{4}{x} y = x^{2} - 1$

Paso 1

El factor integrador se define mediante la fórmula $e^{\int P (x) d x}$ , donde $P (x) = \frac{4}{x}$ .

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Paso 1.1

Establece la integración.

$e^{\int \frac{4}{x} d x}$

Paso 1.2

Integra $\frac{4}{x}$ .

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Paso 1.2.1

Dado que $4$ es constante con respecto a $x$ , mueve $4$ fuera de la integral.

$e^{4 \int \frac{1}{x} d x}$

Paso 1.2.2

La integral de $\frac{1}{x}$ con respecto a $x$ es $\ln (| x |)$ .

$e^{4 (\ln (| x |) + C)}$

Paso 1.2.3

Simplifica.

$e^{4 \ln (| x |) + C}$

Paso 1.3

Elimina la constante de integración.

$e^{4 \ln (x)}$

Paso 1.4

Usa la regla de la potencia del logaritmo.

$e^{\ln (x^{4})}$

Paso 1.5

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

$x^{4}$

Paso 2

Multiplica cada término por el factor integrador $x^{4}$ .

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Paso 2.1

Multiplica cada término por $x^{4}$ .

$x^{4} \frac{d y}{d x} + x^{4} (\frac{4}{x} y) = x^{4} x^{2} + x^{4} \cdot - 1$

Paso 2.2

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.1

Combina $\frac{4}{x}$ y $y$ .

$x^{4} \frac{d y}{d x} + x^{4} \frac{4 y}{x} = x^{4} x^{2} + x^{4} \cdot - 1$

Paso 2.2.2

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 2.2.2.1

Factoriza $x$ de $x^{4}$ .

$x^{4} \frac{d y}{d x} + x \cdot x^{3} \frac{4 y}{x} = x^{4} x^{2} + x^{4} \cdot - 1$

Paso 2.2.2.2

Cancela el factor común.

$x^{4} \frac{d y}{d x} + x \cdot x^{3} \frac{4 y}{x} = x^{4} x^{2} + x^{4} \cdot - 1$

Paso 2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$x^{4} \frac{d y}{d x} + x^{3} (4 y) = x^{4} x^{2} + x^{4} \cdot - 1$

Paso 2.2.3

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$x^{4} \frac{d y}{d x} + 4 x^{3} y = x^{4} x^{2} + x^{4} \cdot - 1$

Paso 2.3

Simplifica cada término.

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Paso 2.3.1

Multiplica $x^{4}$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 2.3.1.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$x^{4} \frac{d y}{d x} + 4 x^{3} y = x^{4 + 2} + x^{4} \cdot - 1$

Paso 2.3.1.2

Suma $4$ y $2$ .

$x^{4} \frac{d y}{d x} + 4 x^{3} y = x^{6} + x^{4} \cdot - 1$

Paso 2.3.2

Mueve $- 1$ a la izquierda de $x^{4}$ .

$x^{4} \frac{d y}{d x} + 4 x^{3} y = x^{6} - 1 \cdot x^{4}$

Paso 2.3.3

Reescribe $- 1 x^{4}$ como $- x^{4}$ .

$x^{4} \frac{d y}{d x} + 4 x^{3} y = x^{6} - x^{4}$

Paso 3

Reescribe el lado izquierdo como resultado de la diferenciación de un producto.

$\frac{d}{d x} [x^{4} y] = x^{6} - x^{4}$

Paso 4

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [x^{4} y] d x = \int x^{6} - x^{4} d x$

Paso 5

Integra el lado izquierdo.

$x^{4} y = \int x^{6} - x^{4} d x$

Paso 6

Integra el lado derecho.

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Paso 6.1

Divide la única integral en varias integrales.

$x^{4} y = \int x^{6} d x + \int - x^{4} d x$

Paso 6.2

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{6}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{7} x^{7}$ .

$x^{4} y = \frac{1}{7} x^{7} + C + \int - x^{4} d x$

Paso 6.3

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$x^{4} y = \frac{1}{7} x^{7} + C - \int x^{4} d x$

Paso 6.4

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{4}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$x^{4} y = \frac{1}{7} x^{7} + C - (\frac{1}{5} x^{5} + C)$

Paso 6.5

Simplifica.

$x^{4} y = \frac{1}{7} x^{7} - \frac{1}{5} x^{5} + C$

Paso 7

Divide cada término en $x^{4} y = \frac{1}{7} x^{7} - \frac{1}{5} x^{5} + C$ por $x^{4}$ y simplifica.

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Paso 7.1

Divide cada término en $x^{4} y = \frac{1}{7} x^{7} - \frac{1}{5} x^{5} + C$ por $x^{4}$ .

$\frac{x^{4} y}{x^{4}} = \frac{\frac{1}{7} x^{7}}{x^{4}} + \frac{- \frac{1}{5} x^{5}}{x^{4}} + \frac{C}{x^{4}}$

Paso 7.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 7.2.1

Cancela el factor común de $x^{4}$ .

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Paso 7.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x^{4} y}{x^{4}} = \frac{\frac{1}{7} x^{7}}{x^{4}} + \frac{- \frac{1}{5} x^{5}}{x^{4}} + \frac{C}{x^{4}}$

Paso 7.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{\frac{1}{7} x^{7}}{x^{4}} + \frac{- \frac{1}{5} x^{5}}{x^{4}} + \frac{C}{x^{4}}$

Paso 7.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 7.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 7.3.1.1

Cancela el factor común de $x^{7}$ y $x^{4}$ .

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Paso 7.3.1.1.1

Factoriza $x^{4}$ de $\frac{1}{7} x^{7}$ .

$y = \frac{x^{4} (\frac{1}{7} x^{3})}{x^{4}} + \frac{- \frac{1}{5} x^{5}}{x^{4}} + \frac{C}{x^{4}}$

Paso 7.3.1.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 7.3.1.1.2.1

Multiplica por $1$ .

$y = \frac{x^{4} (\frac{1}{7} x^{3})}{x^{4} \cdot 1} + \frac{- \frac{1}{5} x^{5}}{x^{4}} + \frac{C}{x^{4}}$

Paso 7.3.1.1.2.2

Cancela el factor común.

$y = \frac{x^{4} (\frac{1}{7} x^{3})}{x^{4} \cdot 1} + \frac{- \frac{1}{5} x^{5}}{x^{4}} + \frac{C}{x^{4}}$

Paso 7.3.1.1.2.3

Reescribe la expresión.

$y = \frac{\frac{1}{7} x^{3}}{1} + \frac{- \frac{1}{5} x^{5}}{x^{4}} + \frac{C}{x^{4}}$

Paso 7.3.1.1.2.4

Divide $\frac{1}{7} x^{3}$ por $1$ .

$y = \frac{1}{7} x^{3} + \frac{- \frac{1}{5} x^{5}}{x^{4}} + \frac{C}{x^{4}}$

Paso 7.3.1.2

Combina $\frac{1}{7}$ y $x^{3}$ .

$y = \frac{x^{3}}{7} + \frac{- \frac{1}{5} x^{5}}{x^{4}} + \frac{C}{x^{4}}$

Paso 7.3.1.3

Cancela el factor común de $x^{5}$ y $x^{4}$ .

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Paso 7.3.1.3.1

Factoriza $x^{4}$ de $- \frac{1}{5} x^{5}$ .

$y = \frac{x^{3}}{7} + \frac{x^{4} (- \frac{1}{5} x)}{x^{4}} + \frac{C}{x^{4}}$

Paso 7.3.1.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 7.3.1.3.2.1

Multiplica por $1$ .

$y = \frac{x^{3}}{7} + \frac{x^{4} (- \frac{1}{5} x)}{x^{4} \cdot 1} + \frac{C}{x^{4}}$

Paso 7.3.1.3.2.2

Cancela el factor común.

$y = \frac{x^{3}}{7} + \frac{x^{4} (- \frac{1}{5} x)}{x^{4} \cdot 1} + \frac{C}{x^{4}}$

Paso 7.3.1.3.2.3

Reescribe la expresión.

$y = \frac{x^{3}}{7} + \frac{- \frac{1}{5} x}{1} + \frac{C}{x^{4}}$

Paso 7.3.1.3.2.4

Divide $- \frac{1}{5} x$ por $1$ .

$y = \frac{x^{3}}{7} - \frac{1}{5} x + \frac{C}{x^{4}}$

Paso 7.3.1.4

Combina $x$ y $\frac{1}{5}$ .

$y = \frac{x^{3}}{7} - \frac{x}{5} + \frac{C}{x^{4}}$