Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x}{\sqrt{2 x^{2} - 1}}$ , $y (5) = 4$

Paso 1

Reescribe la ecuación.

$d y = \frac{2 x}{\sqrt{2 x^{2} - 1}} d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int d y = \int \frac{2 x}{\sqrt{2 x^{2} - 1}} d x$

Paso 2.2

Aplica la regla de la constante.

$y + C_{1} = \int \frac{2 x}{\sqrt{2 x^{2} - 1}} d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Dado que $2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$y + C_{1} = 2 \int \frac{x}{\sqrt{2 x^{2} - 1}} d x$

Paso 2.3.2

Sea $u = 2 x^{2} - 1$ . Entonces $d u = 4 x d x$ , de modo que $\frac{1}{4} d u = x d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.3.2.1

Deja $u = 2 x^{2} - 1$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 2.3.2.1.1

Diferencia $2 x^{2} - 1$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{2} - 1]$

Paso 2.3.2.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x^{2} - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 2.3.2.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

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Paso 2.3.2.1.3.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x^{2}$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 2.3.2.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 2.3.2.1.3.3

Multiplica $2$ por $2$ .

$4 x + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 2.3.2.1.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 2.3.2.1.4.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$4 x + 0$

Paso 2.3.2.1.4.2

Suma $4 x$ y $0$ .

$4 x$

Paso 2.3.2.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$y + C_{1} = 2 \int \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{4} d u$

Paso 2.3.3

Simplifica.

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Paso 2.3.3.1

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{u}}$ por $\frac{1}{4}$ .

$y + C_{1} = 2 \int \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 4} d u$

Paso 2.3.3.2

Mueve $4$ a la izquierda de $\sqrt{u}$ .

$y + C_{1} = 2 \int \frac{1}{4 \sqrt{u}} d u$

Paso 2.3.4

Dado que $\frac{1}{4}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{4}$ fuera de la integral.

$y + C_{1} = 2 (\frac{1}{4} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u)$

Paso 2.3.5

Simplifica la expresión.

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Paso 2.3.5.1

Simplifica.

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Paso 2.3.5.1.1

Combina $\frac{1}{4}$ y $2$ .

$y + C_{1} = \frac{2}{4} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Paso 2.3.5.1.2

Cancela el factor común de $2$ y $4$ .

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Paso 2.3.5.1.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$y + C_{1} = \frac{2 (1)}{4} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Paso 2.3.5.1.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.3.5.1.2.2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Paso 2.3.5.1.2.2.2

Cancela el factor común.

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Paso 2.3.5.1.2.2.3

Reescribe la expresión.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Paso 2.3.5.2

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 2.3.5.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{u}$ como $u^{\frac{1}{2}}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Paso 2.3.5.2.2

Mueve $u^{\frac{1}{2}}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Paso 2.3.5.2.3

Multiplica los exponentes en ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Paso 2.3.5.2.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Paso 2.3.5.2.3.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $- 1$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Paso 2.3.5.2.3.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int u^{- \frac{1}{2}} d u$

Paso 2.3.6

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{- \frac{1}{2}}$ con respecto a $u$ es $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2})$

Paso 2.3.7

Simplifica.

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Paso 2.3.7.1

Reescribe $\frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2})$ como $\frac{1}{2} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Paso 2.3.7.2

Simplifica.

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Paso 2.3.7.2.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$y + C_{1} = \frac{2}{2} u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Paso 2.3.7.2.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.3.7.2.2.1

Cancela el factor común.

$y + C_{1} = \frac{2}{2} u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Paso 2.3.7.2.2.2

Reescribe la expresión.

$y + C_{1} = 1 u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Paso 2.3.7.2.3

Multiplica $u^{\frac{1}{2}}$ por $1$ .

$y + C_{1} = u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Paso 2.3.8

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 x^{2} - 1$ .

$y + C_{1} = {(2 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$y = {(2 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} + K$

Paso 3

Usa la condición inicial para obtener el valor de $K$ mediante la sustitución de $5$ por $x$ y de $4$ por $y$ en $y = {(2 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} + K$ .

$4 = {(2 \cdot 5^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} + K$

Paso 4

Resuelve $K$

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Paso 4.1

Reescribe la ecuación como ${(2 \cdot 5^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} + K = 4$ .

${(2 \cdot 5^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} + K = 4$

Paso 4.2

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.1.1

Eleva $5$ a la potencia de $2$ .

${(2 \cdot 25 - 1)}^{\frac{1}{2}} + K = 4$

Paso 4.2.1.2

Multiplica $2$ por $25$ .

${(50 - 1)}^{\frac{1}{2}} + K = 4$

Paso 4.2.2

Resta $1$ de $50$ .

$49^{\frac{1}{2}} + K = 4$

Paso 4.2.3

Reescribe $49$ como $7^{2}$ .

${(7^{2})}^{\frac{1}{2}} + K = 4$

Paso 4.2.4

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$7^{2 (\frac{1}{2})} + K = 4$

Paso 4.2.5

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.2.5.1

Cancela el factor común.

$7^{2 (\frac{1}{2})} + K = 4$

Paso 4.2.5.2

Reescribe la expresión.

$7^{1} + K = 4$

Paso 4.2.6

Evalúa el exponente.

$7 + K = 4$

Paso 4.3

Mueve todos los términos que no contengan $K$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 4.3.1

Resta $7$ de ambos lados de la ecuación.

$K = 4 - 7$

Paso 4.3.2

Resta $7$ de $4$ .

$K = - 3$

Paso 5

Sustituye $- 3$ por $K$ en $y = {(2 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} + K$ y simplifica.

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Paso 5.1

Sustituye $- 3$ por $K$ .

$y = {(2 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} - 3$