Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{x + 1}{\sqrt{x}}$ , $y (1) = 0$

Paso 1

Reescribe la ecuación.

$d y = \frac{x + 1}{\sqrt{x}} d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int d y = \int \frac{x + 1}{\sqrt{x}} d x$

Paso 2.2

Aplica la regla de la constante.

$y + C_{1} = \int \frac{x + 1}{\sqrt{x}} d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$y + C_{1} = \int \frac{x + 1}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Paso 2.3.2

Mueve $x^{\frac{1}{2}}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$y + C_{1} = \int (x + 1) {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

Paso 2.3.3

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Paso 2.3.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y + C_{1} = \int (x + 1) x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

Paso 2.3.3.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $- 1$ .

$y + C_{1} = \int (x + 1) x^{\frac{- 1}{2}} d x$

Paso 2.3.3.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y + C_{1} = \int (x + 1) x^{- \frac{1}{2}} d x$

Paso 2.3.4

Expande $(x + 1) x^{- \frac{1}{2}}$ .

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Paso 2.3.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y + C_{1} = \int x \cdot x^{- \frac{1}{2}} + 1 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Paso 2.3.4.2

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$y + C_{1} = \int x^{1} x^{- \frac{1}{2}} + 1 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Paso 2.3.4.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$y + C_{1} = \int x^{1 - \frac{1}{2}} + 1 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Paso 2.3.4.4

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$y + C_{1} = \int x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} + 1 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Paso 2.3.4.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y + C_{1} = \int x^{\frac{2 - 1}{2}} + 1 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Paso 2.3.4.6

Resta $1$ de $2$ .

$y + C_{1} = \int x^{\frac{1}{2}} + 1 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Paso 2.3.4.7

Multiplica $x^{- \frac{1}{2}}$ por $1$ .

$y + C_{1} = \int x^{\frac{1}{2}} + x^{- \frac{1}{2}} d x$

Paso 2.3.5

Divide la única integral en varias integrales.

$y + C_{1} = \int x^{\frac{1}{2}} d x + \int x^{- \frac{1}{2}} d x$

Paso 2.3.6

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{\frac{1}{2}}$ con respecto a $x$ es $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$y + C_{1} = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C_{2} + \int x^{- \frac{1}{2}} d x$

Paso 2.3.7

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{- \frac{1}{2}}$ con respecto a $x$ es $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$y + C_{1} = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C_{2} + 2 x^{\frac{1}{2}} + C_{3}$

Paso 2.3.8

Simplifica.

$y + C_{1} = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + 2 x^{\frac{1}{2}} + C_{4}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$y = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + 2 x^{\frac{1}{2}} + K$

Paso 3

Usa la condición inicial para obtener el valor de $K$ mediante la sustitución de $1$ por $x$ y de $0$ por $y$ en $y = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + 2 x^{\frac{1}{2}} + K$ .

$0 = \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} + 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}} + K$

Paso 4

Resuelve $K$

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Paso 4.1

Reescribe la ecuación como $\frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} + 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}} + K = 0$ .

$\frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} + 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}} + K = 0$

Paso 4.2

Simplifica $\frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} + 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}} + K$ .

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Paso 4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.1.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{2}{3} \cdot 1 + 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}} + K = 0$

Paso 4.2.1.2

Multiplica $\frac{2}{3}$ por $1$ .

$\frac{2}{3} + 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}} + K = 0$

Paso 4.2.1.3

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{2}{3} + 2 \cdot 1 + K = 0$

Paso 4.2.1.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{2}{3} + 2 + K = 0$

Paso 4.2.2

Para escribir $2$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} + 2 \cdot \frac{3}{3} + K = 0$

Paso 4.2.3

Combina $2$ y $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} + \frac{2 \cdot 3}{3} + K = 0$

Paso 4.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2 + 2 \cdot 3}{3} + K = 0$

Paso 4.2.5

Simplifica el numerador.

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Paso 4.2.5.1

Multiplica $2$ por $3$ .

$\frac{2 + 6}{3} + K = 0$

Paso 4.2.5.2

Suma $2$ y $6$ .

$\frac{8}{3} + K = 0$

Paso 4.3

Resta $\frac{8}{3}$ de ambos lados de la ecuación.

$K = - \frac{8}{3}$

Paso 5

Sustituye $- \frac{8}{3}$ por $K$ en $y = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + 2 x^{\frac{1}{2}} + K$ y simplifica.

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Paso 5.1

Sustituye $- \frac{8}{3}$ por $K$ .

$y = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + 2 x^{\frac{1}{2}} - \frac{8}{3}$

Paso 5.2

Combina $\frac{2}{3}$ y $x^{\frac{3}{2}}$ .

$y = \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + 2 x^{\frac{1}{2}} - \frac{8}{3}$