Cálculo Ejemplos

$x \frac{d y}{d x} + 6 y = 18$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Resuelve $\frac{d y}{d x}$

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Paso 1.1.1

Resta $6 y$ de ambos lados de la ecuación.

$x \frac{d y}{d x} = 18 - 6 y$

Paso 1.1.2

Divide cada término en $x \frac{d y}{d x} = 18 - 6 y$ por $x$ y simplifica.

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Paso 1.1.2.1

Divide cada término en $x \frac{d y}{d x} = 18 - 6 y$ por $x$ .

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{18}{x} + \frac{- 6 y}{x}$

Paso 1.1.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.1.2.2.1

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 1.1.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{18}{x} + \frac{- 6 y}{x}$

Paso 1.1.2.2.1.2

Divide $\frac{d y}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{18}{x} + \frac{- 6 y}{x}$

Paso 1.1.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.1.2.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{d y}{d x} = \frac{18}{x} - \frac{6 y}{x}$

Paso 1.2

Factoriza.

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Paso 1.2.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{d y}{d x} = \frac{18 - 6 y}{x}$

Paso 1.2.2

Factoriza $6$ de $18 - 6 y$ .

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Paso 1.2.2.1

Factoriza $6$ de $18$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{6 (3) - 6 y}{x}$

Paso 1.2.2.2

Factoriza $6$ de $- 6 y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{6 (3) + 6 (- y)}{x}$

Paso 1.2.2.3

Factoriza $6$ de $6 (3) + 6 (- y)$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{6 (3 - y)}{x}$

Paso 1.3

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{3 - y}$ .

$\frac{1}{3 - y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{3 - y} \cdot \frac{6 (3 - y)}{x}$

Paso 1.4

Cancela el factor común de $3 - y$ .

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Paso 1.4.1

Factoriza $3 - y$ de $6 (3 - y)$ .

$\frac{1}{3 - y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{3 - y} \cdot \frac{(3 - y) \cdot 6}{x}$

Paso 1.4.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{3 - y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{3 - y} \cdot \frac{(3 - y) \cdot 6}{x}$

Paso 1.4.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{3 - y} \frac{d y}{d x} = \frac{6}{x}$

Paso 1.5

Reescribe la ecuación.

$\frac{1}{3 - y} d y = \frac{6}{x} d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{1}{3 - y} d y = \int \frac{6}{x} d x$

Paso 2.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Sea $u = 3 - y$ . Entonces $d u = - d y$ , de modo que $- d u = d y$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.2.1.1

Deja $u = 3 - y$ . Obtén $\frac{d u}{d y}$ .

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Paso 2.2.1.1.1

Reescribe.

$\frac{- 1}{1}$

Paso 2.2.1.1.2

Divide $- 1$ por $1$ .

$- 1$

Paso 2.2.1.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\int \frac{- 1}{u} d u = \int \frac{6}{x} d x$

Paso 2.2.2

Divide la fracción en varias fracciones.

$\int - \frac{1}{u} d u = \int \frac{6}{x} d x$

Paso 2.2.3

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$- \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{6}{x} d x$

Paso 2.2.4

La integral de $\frac{1}{u}$ con respecto a $u$ es $\ln (| u |)$ .

$- (\ln (| u |) + C_{1}) = \int \frac{6}{x} d x$

Paso 2.2.5

Simplifica.

$- \ln (| u |) + C_{1} = \int \frac{6}{x} d x$

Paso 2.2.6

Reemplaza todos los casos de $u$ con $3 - y$ .

$- \ln (| 3 - y |) + C_{1} = \int \frac{6}{x} d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Dado que $6$ es constante con respecto a $x$ , mueve $6$ fuera de la integral.

$- \ln (| 3 - y |) + C_{1} = 6 \int \frac{1}{x} d x$

Paso 2.3.2

La integral de $\frac{1}{x}$ con respecto a $x$ es $\ln (| x |)$ .

$- \ln (| 3 - y |) + C_{1} = 6 (\ln (| x |) + C_{2})$

Paso 2.3.3

Simplifica.

$- \ln (| 3 - y |) + C_{1} = 6 \ln (| x |) + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$- \ln (| 3 - y |) = 6 \ln (| x |) + C$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Mueve todos los términos que contengan un logaritmo al lado izquierdo de la ecuación.

$- \ln (| 3 - y |) - 6 \ln (| x |) = C$

Paso 3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.1.1

Simplifica $- 6 \ln (| x |)$ al mover $6$ dentro del algoritmo.

$- \ln (| 3 - y |) - \ln ({| x |}^{6}) = C$

Paso 3.2.1.2

Elimina el valor absoluto en ${| x |}^{6}$ porque las potenciaciones con potencias pares siempre son positivas.

$- \ln (| 3 - y |) - \ln (x^{6}) = C$

Paso 3.3

Suma $\ln (x^{6})$ a ambos lados de la ecuación.

$- \ln (| 3 - y |) = C + \ln (x^{6})$

Paso 3.4

Divide cada término en $- \ln (| 3 - y |) = C + \ln (x^{6})$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 3.4.1

Divide cada término en $- \ln (| 3 - y |) = C + \ln (x^{6})$ por $- 1$ .

$\frac{- \ln (| 3 - y |)}{- 1} = \frac{C}{- 1} + \frac{\ln (x^{6})}{- 1}$

Paso 3.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.4.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{\ln (| 3 - y |)}{1} = \frac{C}{- 1} + \frac{\ln (x^{6})}{- 1}$

Paso 3.4.2.2

Divide $\ln (| 3 - y |)$ por $1$ .

$\ln (| 3 - y |) = \frac{C}{- 1} + \frac{\ln (x^{6})}{- 1}$

Paso 3.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.4.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.4.3.1.1

Mueve el negativo del denominador de $\frac{C}{- 1}$ .

$\ln (| 3 - y |) = - 1 \cdot C + \frac{\ln (x^{6})}{- 1}$

Paso 3.4.3.1.2

Reescribe $- 1 \cdot C$ como $- C$ .

$\ln (| 3 - y |) = - C + \frac{\ln (x^{6})}{- 1}$

Paso 3.4.3.1.3

Mueve el negativo del denominador de $\frac{\ln (x^{6})}{- 1}$ .

$\ln (| 3 - y |) = - C - 1 \cdot \ln (x^{6})$

Paso 3.4.3.1.4

Reescribe $- 1 \cdot \ln (x^{6})$ como $- \ln (x^{6})$ .

$\ln (| 3 - y |) = - C - \ln (x^{6})$

Paso 3.5

Mueve todos los términos que contengan un logaritmo al lado izquierdo de la ecuación.

$\ln (| 3 - y |) + \ln (x^{6}) = - C$

Paso 3.6

Usa las propiedades de los logaritmos del producto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| 3 - y | x^{6}) = - C$

Paso 3.7

Reordena los factores en $\ln (| 3 - y | x^{6})$ .

$\ln (x^{6} | 3 - y |) = - C$

Paso 3.8

Para resolver $y$ , reescribe la ecuación mediante las propiedades de los logaritmos.

$e^{\ln (x^{6} | 3 - y |)} = e^{- C}$

Paso 3.9

Reescribe $\ln (x^{6} | 3 - y |) = - C$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{- C} = x^{6} | 3 - y |$

Paso 3.10

Resuelve $y$

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Paso 3.10.1

Reescribe la ecuación como $x^{6} | 3 - y | = e^{- C}$ .

$x^{6} | 3 - y | = e^{- C}$

Paso 3.10.2

Divide cada término en $x^{6} | 3 - y | = e^{- C}$ por $x^{6}$ y simplifica.

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Paso 3.10.2.1

Divide cada término en $x^{6} | 3 - y | = e^{- C}$ por $x^{6}$ .

$\frac{x^{6} | 3 - y |}{x^{6}} = \frac{e^{- C}}{x^{6}}$

Paso 3.10.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.10.2.2.1

Cancela el factor común de $x^{6}$ .

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Paso 3.10.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x^{6} | 3 - y |}{x^{6}} = \frac{e^{- C}}{x^{6}}$

Paso 3.10.2.2.1.2

Divide $| 3 - y |$ por $1$ .

$| 3 - y | = \frac{e^{- C}}{x^{6}}$

Paso 3.10.3

Elimina el término de valor absoluto. Esto crea un $\pm$ en el lado derecho de la ecuación debido a $| x | = \pm x$ .

$3 - y = \pm \frac{e^{- C}}{x^{6}}$

Paso 3.10.4

Resta $3$ de ambos lados de la ecuación.

$- y = \pm \frac{e^{- C}}{x^{6}} - 3$

Paso 3.10.5

Divide cada término en $- y = \pm \frac{e^{- C}}{x^{6}} - 3$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 3.10.5.1

Divide cada término en $- y = \pm \frac{e^{- C}}{x^{6}} - 3$ por $- 1$ .

$\frac{- y}{- 1} = \frac{\pm \frac{e^{- C}}{x^{6}}}{- 1} + \frac{- 3}{- 1}$

Paso 3.10.5.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.10.5.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{y}{1} = \frac{\pm \frac{e^{- C}}{x^{6}}}{- 1} + \frac{- 3}{- 1}$

Paso 3.10.5.2.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{\pm \frac{e^{- C}}{x^{6}}}{- 1} + \frac{- 3}{- 1}$

Paso 3.10.5.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.10.5.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.10.5.3.1.1

Mueve el negativo del denominador de $\frac{\pm \frac{e^{- C}}{x^{6}}}{- 1}$ .

$y = - 1 \cdot (\pm \frac{e^{- C}}{x^{6}}) + \frac{- 3}{- 1}$

Paso 3.10.5.3.1.2

Reescribe $- 1 \cdot (\pm \frac{e^{- C}}{x^{6}})$ como $- (\pm \frac{e^{- C}}{x^{6}})$ .

$y = - (\pm \frac{e^{- C}}{x^{6}}) + \frac{- 3}{- 1}$

Paso 3.10.5.3.1.3

Divide $- 3$ por $- 1$ .

$y = - (\pm \frac{e^{- C}}{x^{6}}) + 3$

Paso 4

Agrupa los términos de la constante.

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Paso 4.1

Simplifica la constante de integración.

$y = - (\pm \frac{C}{x^{6}}) + 3$

Paso 4.2

Combina constantes con el signo más o menos.

$y = - (C \frac{1}{x^{6}}) + 3$