Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = e^{4 x} \cos (e^{4 x})$ , $y (0) = 0$

Paso 1

Reescribe la ecuación.

$d y = e^{4 x} \cos (e^{4 x}) d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int d y = \int e^{4 x} \cos (e^{4 x}) d x$

Paso 2.2

Aplica la regla de la constante.

$y + C_{1} = \int e^{4 x} \cos (e^{4 x}) d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.1

Sea $u_{1} = 4 x$ . Entonces $d u_{1} = 4 d x$ , de modo que $\frac{1}{4} d u_{1} = d x$ . Reescribe mediante $u_{1}$ y $d$ $u_{1}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.1.1

Deja $u_{1} = 4 x$ . Obtén $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.1.1.1

Diferencia $4 x$ .

$\frac{d}{d x} [4 x]$

Paso 2.3.1.1.2

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.3.1.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$4 \cdot 1$

Paso 2.3.1.1.4

Multiplica $4$ por $1$ .

$4$

Paso 2.3.1.2

Reescribe el problema mediante $u_{1}$ y $d u_{1}$ .

$y + C_{1} = \int e^{u_{1}} \cos (e^{u_{1}}) \frac{1}{4} d u_{1}$

Paso 2.3.2

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.2.1

Combina $\frac{1}{4}$ y $e^{u_{1}}$ .

$y + C_{1} = \int \frac{e^{u_{1}}}{4} \cos (e^{u_{1}}) d u_{1}$

Paso 2.3.2.2

Combina $\frac{e^{u_{1}}}{4}$ y $\cos (e^{u_{1}})$ .

$y + C_{1} = \int \frac{e^{u_{1}} \cos (e^{u_{1}})}{4} d u_{1}$

Paso 2.3.3

Dado que $\frac{1}{4}$ es constante con respecto a $u_{1}$ , mueve $\frac{1}{4}$ fuera de la integral.

$y + C_{1} = \frac{1}{4} \int e^{u_{1}} \cos (e^{u_{1}}) d u_{1}$

Paso 2.3.4

Sea $u_{2} = e^{u_{1}}$ . Entonces $d u_{2} = e^{u_{1}} d u_{1}$ , de modo que $\frac{1}{e^{u_{1}}} d u_{2} = d u_{1}$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.4.1

Deja $u_{2} = e^{u_{1}}$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.4.1.1

Diferencia $e^{u_{1}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}]$

Paso 2.3.4.1.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ es $a^{u_{1}} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}}$

Paso 2.3.4.2

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ y $d u_{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{4} \int \cos (u_{2}) d u_{2}$

Paso 2.3.5

La integral de $\cos (u_{2})$ con respecto a $u_{2}$ es $\sin (u_{2})$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{4} (\sin (u_{2}) + C_{2})$

Paso 2.3.6

Simplifica.

$y + C_{1} = \frac{1}{4} \sin (u_{2}) + C_{2}$

Paso 2.3.7

Vuelve a sustituir para cada variable de sustitución de la integración.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.7.1

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $e^{u_{1}}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{4} \sin (e^{u_{1}}) + C_{2}$

Paso 2.3.7.2

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $4 x$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{4} \sin (e^{4 x}) + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$y = \frac{1}{4} \sin (e^{4 x}) + K$

Paso 3

Usa la condición inicial para obtener el valor de $K$ mediante la sustitución de $0$ por $x$ y de $0$ por $y$ en $y = \frac{1}{4} \sin (e^{4 x}) + K$ .

$0 = \frac{1}{4} \sin (e^{4 \cdot 0}) + K$

Paso 4

Resuelve $K$

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1

Reescribe la ecuación como $\frac{1}{4} \cdot \sin (e^{4 \cdot 0}) + K = 0$ .

$\frac{1}{4} \cdot \sin (e^{4 \cdot 0}) + K = 0$

Paso 4.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.1.1

Multiplica $4$ por $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot \sin (e^{0}) + K = 0$

Paso 4.2.1.2

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$\frac{1}{4} \cdot \sin (1) + K = 0$

Paso 4.2.1.3

Evalúa $\sin (1)$ .

$\frac{1}{4} \cdot 0.0174524 + K = 0$

Paso 4.2.1.4

Combina $\frac{1}{4}$ y $0.0174524$ .

$\frac{0.0174524}{4} + K = 0$

Paso 4.2.1.5

Divide $0.0174524$ por $4$ .

$0.0043631 + K = 0$

Paso 4.3

Resta $0.0043631$ de ambos lados de la ecuación.

$K = - 0.0043631$

Paso 5

Sustituye $- 0.0043631$ por $K$ en $y = \frac{1}{4} \sin (e^{4 x}) + K$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1

Sustituye $- 0.0043631$ por $K$ .

$y = \frac{1}{4} \sin (e^{4 x}) - 0.0043631$

Paso 5.2

Combina $\frac{1}{4}$ y $\sin (e^{4 x})$ .

$y = \frac{\sin (e^{4 x})}{4} - 0.0043631$