Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (\ln (y) - \ln (x))}{x}$

Paso 1

Reescribe la ecuación diferencial como una función de $\frac{y}{x}$ .

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Paso 1.1

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \ln (\frac{y}{x})}{x}$

Paso 1.2

Factoriza $\frac{y}{x}$ de $\frac{y \ln (\frac{y}{x})}{x}$ .

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Paso 1.2.1

Factoriza $\frac{y}{x}$ de $\frac{y \ln (\frac{y}{x})}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} \ln (\frac{y}{x})$

Paso 1.2.2

Reordena $\frac{y}{x}$ y $\ln (\frac{y}{x})$ .

$\frac{d y}{d x} = \ln (\frac{y}{x}) \frac{y}{x}$

Paso 2

Sea $V = \frac{y}{x}$ . Sustituye $V$ por $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \ln (V) V$

Paso 3

Resuelve $V = \frac{y}{x}$ en $y$ .

$y = V x$

Paso 4

Usa la regla del producto para obtener la derivada de $y = V x$ con respecto a $x$ .

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

Paso 5

Sustituye $x \frac{d V}{d x} + V$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \ln (V) V$

Paso 6

Resuelve la ecuación diferencial sustituida.

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Paso 6.1

Separa las variables.

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Paso 6.1.1

Resuelve $\frac{d V}{d x}$

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Paso 6.1.1.1

Reordena los factores en $\ln (V) V$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V \ln (V)$

Paso 6.1.1.2

Resta $V$ de ambos lados de la ecuación.

$x \frac{d V}{d x} = V \ln (V) - V$

Paso 6.1.1.3

Divide cada término en $x \frac{d V}{d x} = V \ln (V) - V$ por $x$ y simplifica.

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Paso 6.1.1.3.1

Divide cada término en $x \frac{d V}{d x} = V \ln (V) - V$ por $x$ .

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{V \ln (V)}{x} + \frac{- V}{x}$

Paso 6.1.1.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.1.1.3.2.1

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 6.1.1.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{V \ln (V)}{x} + \frac{- V}{x}$

Paso 6.1.1.3.2.1.2

Divide $\frac{d V}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \ln (V)}{x} + \frac{- V}{x}$

Paso 6.1.1.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.1.1.3.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \ln (V)}{x} - \frac{V}{x}$

Paso 6.1.2

Factoriza.

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Paso 6.1.2.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \ln (V) - V}{x}$

Paso 6.1.2.2

Factoriza $V$ de $V \ln (V) - V$ .

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Paso 6.1.2.2.1

Factoriza $V$ de $V \ln (V)$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{V (\ln (V)) - V}{x}$

Paso 6.1.2.2.2

Factoriza $V$ de $- V$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{V (\ln (V)) + V \cdot - 1}{x}$

Paso 6.1.2.2.3

Factoriza $V$ de $V (\ln (V)) + V \cdot - 1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{V (\ln (V) - 1)}{x}$

Paso 6.1.3

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{V (\ln (V) - 1)}$ .

$\frac{1}{V (\ln (V) - 1)} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{V (\ln (V) - 1)} \cdot \frac{V (\ln (V) - 1)}{x}$

Paso 6.1.4

Cancela el factor común de $V (\ln (V) - 1)$ .

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Paso 6.1.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{V (\ln (V) - 1)} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{V (\ln (V) - 1)} \cdot \frac{V (\ln (V) - 1)}{x}$

Paso 6.1.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{V (\ln (V) - 1)} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{x}$

Paso 6.1.5

Reescribe la ecuación.

$\frac{1}{V (\ln (V) - 1)} d V = \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2

Integra ambos lados.

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Paso 6.2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{1}{V (\ln (V) - 1)} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 6.2.2.1

Sea $u_{1} = \ln (V)$ . Entonces $d u_{1} = \frac{1}{V} d V$ , de modo que $V d u_{1} = d V$ . Reescribe mediante $u_{1}$ y $d$ $u_{1}$ .

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Paso 6.2.2.1.1

Deja $u_{1} = \ln (V)$ . Obtén $\frac{d u_{1}}{d V}$ .

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Paso 6.2.2.1.1.1

Diferencia $\ln (V)$ .

$\frac{d}{d V} [\ln (V)]$

Paso 6.2.2.1.1.2

La derivada de $\ln (V)$ con respecto a $V$ es $\frac{1}{V}$ .

$\frac{1}{V}$

Paso 6.2.2.1.2

Reescribe el problema mediante $u_{1}$ y $d u_{1}$ .

$\int \frac{1}{u_{1} - 1} d u_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2.2.2

Sea $u_{2} = u_{1} - 1$ . Entonces $d u_{2} = d u_{1}$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 6.2.2.2.1

Deja $u_{2} = u_{1} - 1$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Paso 6.2.2.2.1.1

Diferencia $u_{1} - 1$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [u_{1} - 1]$

Paso 6.2.2.2.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $u_{1} - 1$ con respecto a $u_{1}$ es $\frac{d}{d u_{1}} [u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [- 1]$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [- 1]$

Paso 6.2.2.2.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d u_{1}} [- 1]$

Paso 6.2.2.2.1.4

Como $- 1$ es constante con respecto a $u_{1}$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $u_{1}$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 6.2.2.2.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 6.2.2.2.2

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ y $d u_{2}$ .

$\int \frac{1}{u_{2}} d u_{2} = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2.2.3

La integral de $\frac{1}{u_{2}}$ con respecto a $u_{2}$ es $\ln (| u_{2} |)$ .

$\ln (| u_{2} |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2.2.4

Vuelve a sustituir para cada variable de sustitución de la integración.

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Paso 6.2.2.4.1

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $u_{1} - 1$ .

$\ln (| u_{1} - 1 |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2.2.4.2

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $\ln (V)$ .

$\ln (| \ln (V) - 1 |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2.3

La integral de $\frac{1}{x}$ con respecto a $x$ es $\ln (| x |)$ .

$\ln (| \ln (V) - 1 |) + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

Paso 6.2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$\ln (| \ln (V) - 1 |) = \ln (| x |) + C$

Paso 6.3

Resuelve $V$

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Paso 6.3.1

Mueve todos los términos que contengan un logaritmo al lado izquierdo de la ecuación.

$\ln (| \ln (V) - 1 |) - \ln (| x |) = C$

Paso 6.3.2

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| \ln (V) - 1 |}{| x |}) = C$

Paso 6.3.3

Para resolver $V$ , reescribe la ecuación mediante las propiedades de los logaritmos.

$e^{\ln (\frac{| \ln (V) - 1 |}{| x |})} = e^{C}$

Paso 6.3.4

Reescribe $\ln (\frac{| \ln (V) - 1 |}{| x |}) = C$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{C} = \frac{| \ln (V) - 1 |}{| x |}$

Paso 6.3.5

Resuelve $V$

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Paso 6.3.5.1

Reescribe la ecuación como $\frac{| \ln (V) - 1 |}{| x |} = e^{C}$ .

$\frac{| \ln (V) - 1 |}{| x |} = e^{C}$

Paso 6.3.5.2

Multiplica ambos lados por $| x |$ .

$\frac{| \ln (V) - 1 |}{| x |} | x | = e^{C} | x |$

Paso 6.3.5.3

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.3.5.3.1

Cancela el factor común de $| x |$ .

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Paso 6.3.5.3.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{| \ln (V) - 1 |}{| x |} | x | = e^{C} | x |$

Paso 6.3.5.3.1.2

Reescribe la expresión.

$| \ln (V) - 1 | = e^{C} | x |$

Paso 6.3.5.4

Resuelve $V$

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Paso 6.3.5.4.1

Reordena los factores en $e^{C} | x |$ .

$| \ln (V) - 1 | = | x | e^{C}$

Paso 6.3.5.4.2

Elimina el término de valor absoluto. Esto crea un $\pm$ en el lado derecho de la ecuación debido a $| x | = \pm x$ .

$\ln (V) - 1 = \pm | x | e^{C}$

Paso 6.3.5.4.3

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$\ln (V) = \pm | x | e^{C} + 1$

Paso 6.3.5.4.4

Para resolver $V$ , reescribe la ecuación mediante las propiedades de los logaritmos.

$e^{\ln (V)} = e^{\pm | x | e^{C} + 1}$

Paso 6.3.5.4.5

Reescribe $\ln (V) = \pm | x | e^{C} + 1$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{\pm | x | e^{C} + 1} = V$

Paso 6.3.5.4.6

Resuelve $V$

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Paso 6.3.5.4.6.1

Reescribe la ecuación como $V = e^{\pm | x | e^{C} + 1}$ .

$V = e^{\pm | x | e^{C} + 1}$

Paso 6.3.5.4.6.2

Reordena los factores en $e^{\pm | x | e^{C} + 1}$ .

$V = e^{\pm e^{C} | x | + 1}$

Paso 6.4

Agrupa los términos de la constante.

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Paso 6.4.1

Simplifica la constante de integración.

$V = e^{\pm C | x | + 1}$

Paso 6.4.2

Combina constantes con el signo más o menos.

$V = e^{C | x | + 1}$

Paso 7

Sustituye $\frac{y}{x}$ por $V$ .

$\frac{y}{x} = e^{C | x | + 1}$

Paso 8

Resuelve $\frac{y}{x} = e^{C | x | + 1}$ en $y$ .

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Paso 8.1

Multiplica ambos lados por $x$ .

$\frac{y}{x} x = e^{C | x | + 1} x$

Paso 8.2

Simplifica.

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Paso 8.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 8.2.1.1

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 8.2.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y}{x} x = e^{C | x | + 1} x$

Paso 8.2.1.1.2

Reescribe la expresión.

$y = e^{C | x | + 1} x$

Paso 8.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 8.2.2.1

Reordena los factores en $e^{C | x | + 1} x$ .

$y = x e^{C | x | + 1}$