Cálculo Ejemplos

$d x - (2 + x) d y = 0$

Paso 1

Resta $d x$ de ambos lados de la ecuación.

$- (2 + x) d y = - d x$

Paso 2

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{2 + x}$ .

$\frac{1}{2 + x} (- (2 + x)) d y = \frac{1}{2 + x} \cdot - 1 d x$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$- \frac{1}{2 + x} (2 + x) d y = \frac{1}{2 + x} \cdot - 1 d x$

Paso 3.2

Cancela el factor común de $2 + x$ .

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Paso 3.2.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{2 + x}$ al numerador.

$\frac{- 1}{2 + x} (2 + x) d y = \frac{1}{2 + x} \cdot - 1 d x$

Paso 3.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{- 1}{2 + x} (2 + x) d y = \frac{1}{2 + x} \cdot - 1 d x$

Paso 3.2.3

Reescribe la expresión.

$- 1 d y = \frac{1}{2 + x} \cdot - 1 d x$

Paso 3.3

Combina $\frac{1}{2 + x}$ y $- 1$ .

$- 1 d y = \frac{- 1}{2 + x} d x$

Paso 3.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- 1 d y = - \frac{1}{2 + x} d x$

Paso 4

Integra ambos lados.

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Paso 4.1

Establece una integral en cada lado.

$\int - 1 d y = \int - \frac{1}{2 + x} d x$

Paso 4.2

Aplica la regla de la constante.

$- y + C_{1} = \int - \frac{1}{2 + x} d x$

Paso 4.3

Integra el lado derecho.

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Paso 4.3.1

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$- y + C_{1} = - \int \frac{1}{2 + x} d x$

Paso 4.3.2

Sea $u = 2 + x$ . Entonces $d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 4.3.2.1

Deja $u = 2 + x$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 4.3.2.1.1

Diferencia $2 + x$ .

$\frac{d}{d x} [2 + x]$

Paso 4.3.2.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $2 + x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [x]$

Paso 4.3.2.1.3

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x]$

Paso 4.3.2.1.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$0 + 1$

Paso 4.3.2.1.5

Suma $0$ y $1$ .

$1$

Paso 4.3.2.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$- y + C_{1} = - \int \frac{1}{u} d u$

Paso 4.3.3

La integral de $\frac{1}{u}$ con respecto a $u$ es $\ln (| u |)$ .

$- y + C_{1} = - (\ln (| u |) + C_{2})$

Paso 4.3.4

Simplifica.

$- y + C_{1} = - \ln (| u |) + C_{2}$

Paso 4.3.5

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 + x$ .

$- y + C_{1} = - \ln (| 2 + x |) + C_{2}$

Paso 4.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$- y = - \ln (| 2 + x |) + C$

Paso 5

Divide cada término en $- y = - \ln (| 2 + x |) + C$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 5.1

Divide cada término en $- y = - \ln (| 2 + x |) + C$ por $- 1$ .

$\frac{- y}{- 1} = \frac{- \ln (| 2 + x |)}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Paso 5.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{y}{1} = \frac{- \ln (| 2 + x |)}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Paso 5.2.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{- \ln (| 2 + x |)}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Paso 5.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.3.1.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$y = \frac{\ln (| 2 + x |)}{1} + \frac{C}{- 1}$

Paso 5.3.1.2

Divide $\ln (| 2 + x |)$ por $1$ .

$y = \ln (| 2 + x |) + \frac{C}{- 1}$

Paso 5.3.1.3

Mueve el negativo del denominador de $\frac{C}{- 1}$ .

$y = \ln (| 2 + x |) - 1 \cdot C$

Paso 5.3.1.4

Reescribe $- 1 \cdot C$ como $- C$ .

$y = \ln (| 2 + x |) - C$

Paso 6

Simplifica la constante de integración.

$y = \ln (| 2 + x |) + C$