Cálculo Ejemplos

$\frac{d f}{d t} = y (f - c)$

Paso 1

Sea $v = f - c$ . Sustituye $v$ por todos los casos de $f - c$ .

$\frac{d f}{d t} = y v$

Paso 2

Obtén $\frac{d v}{d t}$ mediante la diferenciación de $f - c$ .

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $f - c$ con respecto a $t$ es $\frac{d}{d t} [f] + \frac{d}{d t} [- c]$ .

$\frac{d v}{d t} = \frac{d}{d t} [f] + \frac{d}{d t} [- c]$

Paso 2.2

Reescribe $\frac{d}{d t} [f]$ como $f'$ .

$\frac{d v}{d t} = f' + \frac{d}{d t} [- c]$

Paso 2.3

Como $- c$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $- c$ con respecto a $t$ es $0$ .

$\frac{d v}{d t} = f' + 0$

Paso 2.4

Suma $f'$ y $0$ .

$\frac{d v}{d t} = f'$

Paso 3

Vuelve a sustituir la derivada en la ecuación diferencial.

$\frac{d v}{d t} = y v$

Paso 4

Separa las variables.

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Paso 4.1

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{v}$ .

$\frac{1}{v} \frac{d v}{d t} = \frac{1}{v} (y v)$

Paso 4.2

Cancela el factor común de $v$ .

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Paso 4.2.1

Factoriza $v$ de $y v$ .

$\frac{1}{v} \frac{d v}{d t} = \frac{1}{v} (v y)$

Paso 4.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{v} \frac{d v}{d t} = \frac{1}{v} (v y)$

Paso 4.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{v} \frac{d v}{d t} = y$

Paso 4.3

Reescribe la ecuación.

$\frac{1}{v} d v = y d t$

Paso 5

Integra ambos lados.

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Paso 5.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{1}{v} d v = \int y d t$

Paso 5.2

La integral de $\frac{1}{v}$ con respecto a $v$ es $\ln (| v |)$ .

$\ln (| v |) + C_{1} = \int y d t$

Paso 5.3

Integra el lado derecho.

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Paso 5.3.1

Aplica la regla de la constante.

$\ln (| v |) + C_{1} = y t + C_{2}$

Paso 5.3.2

Reordena los términos.

$\ln (| v |) + C_{1} = t y + C_{2}$

Paso 5.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$\ln (| v |) = t y + C$

Paso 6

Resuelve $v$

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Paso 6.1

Para resolver $v$ , reescribe la ecuación mediante las propiedades de los logaritmos.

$e^{\ln (| v |)} = e^{t y + C}$

Paso 6.2

Reescribe $\ln (| v |) = t y + C$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{t y + C} = | v |$

Paso 6.3

Resuelve $v$

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Paso 6.3.1

Reescribe la ecuación como $| v | = e^{t y + C}$ .

$| v | = e^{t y + C}$

Paso 6.3.2

Elimina el término de valor absoluto. Esto crea un $\pm$ en el lado derecho de la ecuación debido a $| x | = \pm x$ .

$v = \pm e^{t y + C}$

Paso 7

Agrupa los términos de la constante.

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Paso 7.1

Reescribe $e^{t y + C}$ como $e^{t y} e^{C}$ .

$v = \pm e^{t y} e^{C}$

Paso 7.2

Reordena $e^{t y}$ y $e^{C}$ .

$v = \pm e^{C} e^{t y}$

Paso 7.3

Combina constantes con el signo más o menos.

$v = C e^{t y}$

Paso 8

Reemplaza todos los casos de $v$ con $f - c$ .

$f - c = C e^{t y}$

Paso 9

Suma $c$ a ambos lados de la ecuación.

$f = C e^{t y} + c$