Cálculo Ejemplos

$25 \frac{d q}{d t} - \frac{d^{2} q}{d t^{2}} = 0$

Paso 1

Sea $v = \frac{d q}{d t}$ . Luego $\frac{d v}{d t} = \frac{d^{2} q}{d t^{2}}$ . Sustituye $v$ por $\frac{d q}{d t}$ y $\frac{d v}{d t}$ por $\frac{d^{2} q}{d t^{2}}$ para obtener una ecuación diferencial con variable dependiente $v$ y variable independiente $t$ .

$25 v - \frac{d v}{d t} = 0$

Paso 2

Separa las variables.

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Paso 2.1

Resuelve $\frac{d v}{d t}$

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Paso 2.1.1

Resta $25 v$ de ambos lados de la ecuación.

$- \frac{d v}{d t} = - 25 v$

Paso 2.1.2

Divide cada término en $- \frac{d v}{d t} = - 25 v$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 2.1.2.1

Divide cada término en $- \frac{d v}{d t} = - 25 v$ por $- 1$ .

$\frac{- \frac{d v}{d t}}{- 1} = \frac{- 25 v}{- 1}$

Paso 2.1.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.1.2.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{\frac{d v}{d t}}{1} = \frac{- 25 v}{- 1}$

Paso 2.1.2.2.2

Divide $\frac{d v}{d t}$ por $1$ .

$\frac{d v}{d t} = \frac{- 25 v}{- 1}$

Paso 2.1.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.1.2.3.1

Mueve el negativo del denominador de $\frac{- 25 v}{- 1}$ .

$\frac{d v}{d t} = - 1 \cdot (- 25 v)$

Paso 2.1.2.3.2

Reescribe $- 1 \cdot (- 25 v)$ como $- (- 25 v)$ .

$\frac{d v}{d t} = - (- 25 v)$

Paso 2.1.2.3.3

Multiplica $- 25$ por $- 1$ .

$\frac{d v}{d t} = 25 v$

Paso 2.2

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{v}$ .

$\frac{1}{v} \frac{d v}{d t} = \frac{1}{v} (25 v)$

Paso 2.3

Simplifica.

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Paso 2.3.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{1}{v} \frac{d v}{d t} = 25 \frac{1}{v} v$

Paso 2.3.2

Combina $25$ y $\frac{1}{v}$ .

$\frac{1}{v} \frac{d v}{d t} = \frac{25}{v} v$

Paso 2.3.3

Cancela el factor común de $v$ .

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Paso 2.3.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{v} \frac{d v}{d t} = \frac{25}{v} v$

Paso 2.3.3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{v} \frac{d v}{d t} = 25$

Paso 2.4

Reescribe la ecuación.

$\frac{1}{v} d v = 25 d t$

Paso 3

Integra ambos lados.

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Paso 3.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{1}{v} d v = \int 25 d t$

Paso 3.2

La integral de $\frac{1}{v}$ con respecto a $v$ es $\ln (| v |)$ .

$\ln (| v |) + C_{1} = \int 25 d t$

Paso 3.3

Aplica la regla de la constante.

$\ln (| v |) + C_{1} = 25 t + C_{2}$

Paso 3.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C_{3}$ .

$\ln (| v |) = 25 t + C_{3}$

Paso 4

Resuelve $v$

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Paso 4.1

Para resolver $v$ , reescribe la ecuación mediante las propiedades de los logaritmos.

$e^{\ln (| v |)} = e^{25 t + C_{3}}$

Paso 4.2

Reescribe $\ln (| v |) = 25 t + C_{3}$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{25 t + C_{3}} = | v |$

Paso 4.3

Resuelve $v$

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Paso 4.3.1

Reescribe la ecuación como $| v | = e^{25 t + C_{3}}$ .

$| v | = e^{25 t + C_{3}}$

Paso 4.3.2

Elimina el término de valor absoluto. Esto crea un $\pm$ en el lado derecho de la ecuación debido a $| x | = \pm x$ .

$v = \pm e^{25 t + C_{3}}$

Paso 5

Agrupa los términos de la constante.

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Paso 5.1

Reescribe $e^{25 t + C_{3}}$ como $e^{25 t} e^{C_{3}}$ .

$v = \pm e^{25 t} e^{C_{3}}$

Paso 5.2

Reordena $e^{25 t}$ y $e^{C_{3}}$ .

$v = \pm e^{C_{3}} e^{25 t}$

Paso 5.3

Combina constantes con el signo más o menos.

$v = C_{4} e^{25 t}$

Paso 6

Reemplaza todos los casos de $v$ con $\frac{d q}{d t}$ .

$\frac{d q}{d t} = C_{4} e^{25 t}$

Paso 7

Reescribe la ecuación.

$d q = C_{4} e^{25 t} d t$

Paso 8

Integra ambos lados.

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Paso 8.1

Establece una integral en cada lado.

$\int d q = \int C_{4} e^{25 t} d t$

Paso 8.2

Aplica la regla de la constante.

$q + C_{5} = \int C_{4} e^{25 t} d t$

Paso 8.3

Integra el lado derecho.

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Paso 8.3.1

Dado que $C_{4}$ es constante con respecto a $t$ , mueve $C_{4}$ fuera de la integral.

$q + C_{5} = C_{4} \int e^{25 t} d t$

Paso 8.3.2

Sea $u = 25 t$ . Entonces $d u = 25 d t$ , de modo que $\frac{1}{25} d u = d t$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 8.3.2.1

Deja $u = 25 t$ . Obtén $\frac{d u}{d t}$ .

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Paso 8.3.2.1.1

Diferencia $25 t$ .

$\frac{d}{d t} [25 t]$

Paso 8.3.2.1.2

Como $25$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $25 t$ con respecto a $t$ es $25 \frac{d}{d t} [t]$ .

$25 \frac{d}{d t} [t]$

Paso 8.3.2.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$25 \cdot 1$

Paso 8.3.2.1.4

Multiplica $25$ por $1$ .

$25$

Paso 8.3.2.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$q + C_{5} = C_{4} \int e^{u} \frac{1}{25} d u$

Paso 8.3.3

Combina $e^{u}$ y $\frac{1}{25}$ .

$q + C_{5} = C_{4} \int \frac{e^{u}}{25} d u$

Paso 8.3.4

Dado que $\frac{1}{25}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{25}$ fuera de la integral.

$q + C_{5} = C_{4} (\frac{1}{25} \int e^{u} d u)$

Paso 8.3.5

La integral de $e^{u}$ con respecto a $u$ es $e^{u}$ .

$q + C_{5} = C_{4} \frac{1}{25} (e^{u} + C_{6})$

Paso 8.3.6

Simplifica.

$q + C_{5} = \frac{C_{4}}{25} e^{u} + C_{7}$

Paso 8.3.7

Reemplaza todos los casos de $u$ con $25 t$ .

$q + C_{5} = \frac{C_{4}}{25} e^{25 t} + C_{7}$

Paso 8.3.8

Reordena los términos.

$q + C_{5} = \frac{1}{25} C_{4} e^{25 t} + C_{7}$

Paso 8.3.9

Reordena los términos.

$q + C_{5} = \frac{1}{25} e^{25 t} C_{4} + C_{7}$

Paso 8.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $D$ .

$q = \frac{1}{25} e^{25 t} C + D$