Cálculo Ejemplos

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = 6 x$

Paso 1

Integra ambos lados con respecto a $x$ .

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Paso 1.1

La primera derivada es igual a la integral de la segunda derivada con respecto a $x$ .

$\frac{d y}{d x} = \int 6 x d x$

Paso 1.2

Dado que $6$ es constante con respecto a $x$ , mueve $6$ fuera de la integral.

$\frac{d y}{d x} = 6 \int x d x$

Paso 1.3

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = 6 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{1})$

Paso 1.4

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.4.1

Reescribe $6 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{1})$ como $6 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{1}$ .

$\frac{d y}{d x} = 6 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{1}$

Paso 1.4.2

Simplifica.

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Paso 1.4.2.1

Combina $6$ y $\frac{1}{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{6}{2} x^{2} + C_{1}$

Paso 1.4.2.2

Cancela el factor común de $6$ y $2$ .

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Paso 1.4.2.2.1

Factoriza $2$ de $6$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 \cdot 3}{2} x^{2} + C_{1}$

Paso 1.4.2.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.4.2.2.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 \cdot 3}{2 (1)} x^{2} + C_{1}$

Paso 1.4.2.2.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1} x^{2} + C_{1}$

Paso 1.4.2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{d y}{d x} = \frac{3}{1} x^{2} + C_{1}$

Paso 1.4.2.2.2.4

Divide $3$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} = 3 x^{2} + C_{1}$

Paso 2

Reescribe la ecuación.

$d y = (3 x^{2} + C_{1}) d x$

Paso 3

Integra ambos lados.

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Paso 3.1

Establece una integral en cada lado.

$\int d y = \int 3 x^{2} + C_{1} d x$

Paso 3.2

Aplica la regla de la constante.

$y + C_{2} = \int 3 x^{2} + C_{1} d x$

Paso 3.3

Integra el lado derecho.

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Paso 3.3.1

Divide la única integral en varias integrales.

$y + C_{2} = \int 3 x^{2} d x + \int C_{1} d x$

Paso 3.3.2

Dado que $3$ es constante con respecto a $x$ , mueve $3$ fuera de la integral.

$y + C_{2} = 3 \int x^{2} d x + \int C_{1} d x$

Paso 3.3.3

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$y + C_{2} = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{3}) + \int C_{1} d x$

Paso 3.3.4

Aplica la regla de la constante.

$y + C_{2} = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{3}) + C_{1} x + C_{4}$

Paso 3.3.5

Simplifica.

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Paso 3.3.5.1

Combina $\frac{1}{3}$ y $x^{3}$ .

$y + C_{2} = 3 (\frac{x^{3}}{3} + C_{3}) + C_{1} x + C_{4}$

Paso 3.3.5.2

Simplifica.

$y + C_{2} = x^{3} + C_{1} x + C_{5}$

Paso 3.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $D$ .

$y = x^{3} + C x + D$