Cálculo Ejemplos

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = x e^{x}$

Paso 1

Integra ambos lados con respecto a $x$ .

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Paso 1.1

La primera derivada es igual a la integral de la segunda derivada con respecto a $x$ .

$\frac{d y}{d x} = \int x e^{x} d x$

Paso 1.2

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = x$ y $d v = e^{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = x e^{x} - \int e^{x} d x$

Paso 1.3

La integral de $e^{x}$ con respecto a $x$ es $e^{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = x e^{x} - (e^{x} + C_{1})$

Paso 1.4

Simplifica.

$\frac{d y}{d x} = x e^{x} - e^{x} + C_{1}$

Paso 2

Reescribe la ecuación.

$d y = (x e^{x} - e^{x} + C_{1}) d x$

Paso 3

Integra ambos lados.

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Paso 3.1

Establece una integral en cada lado.

$\int d y = \int x e^{x} - e^{x} + C_{1} d x$

Paso 3.2

Aplica la regla de la constante.

$y + C_{2} = \int x e^{x} - e^{x} + C_{1} d x$

Paso 3.3

Integra el lado derecho.

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Paso 3.3.1

Divide la única integral en varias integrales.

$y + C_{2} = \int x e^{x} d x + \int - e^{x} d x + \int C_{1} d x$

Paso 3.3.2

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = x$ y $d v = e^{x}$ .

$y + C_{2} = x e^{x} - \int e^{x} d x + \int - e^{x} d x + \int C_{1} d x$

Paso 3.3.3

La integral de $e^{x}$ con respecto a $x$ es $e^{x}$ .

$y + C_{2} = x e^{x} - (e^{x} + C_{3}) + \int - e^{x} d x + \int C_{1} d x$

Paso 3.3.4

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$y + C_{2} = x e^{x} - (e^{x} + C_{3}) - \int e^{x} d x + \int C_{1} d x$

Paso 3.3.5

La integral de $e^{x}$ con respecto a $x$ es $e^{x}$ .

$y + C_{2} = x e^{x} - (e^{x} + C_{3}) - (e^{x} + C_{4}) + \int C_{1} d x$

Paso 3.3.6

Aplica la regla de la constante.

$y + C_{2} = x e^{x} - (e^{x} + C_{3}) - (e^{x} + C_{4}) + C_{1} x + C_{5}$

Paso 3.3.7

Simplifica.

$y + C_{2} = x e^{x} - 2 e^{x} + C_{1} x + C_{6}$

Paso 3.3.8

Reordena los términos.

$y + C_{2} = e^{x} x + C_{1} x - 2 e^{x} + C_{6}$

Paso 3.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $D$ .

$y = e^{x} x + C x - 2 e^{x} + D$