Cálculo Ejemplos

$\frac{d u}{d v} = - \frac{2 v}{u}$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Multiplica ambos lados por $u$ .

$u \frac{d u}{d v} = u (- \frac{2 v}{u})$

Paso 1.2

Simplifica.

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Paso 1.2.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$u \frac{d u}{d v} = - u \frac{2 v}{u}$

Paso 1.2.2

Cancela el factor común de $u$ .

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Paso 1.2.2.1

Factoriza $u$ de $- u$ .

$u \frac{d u}{d v} = u \cdot - 1 \frac{2 v}{u}$

Paso 1.2.2.2

Cancela el factor común.

$u \frac{d u}{d v} = u \cdot - 1 \frac{2 v}{u}$

Paso 1.2.2.3

Reescribe la expresión.

$u \frac{d u}{d v} = - (2 v)$

Paso 1.2.3

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$u \frac{d u}{d v} = - 2 v$

Paso 1.3

Reescribe la ecuación.

$u d u = - 2 v d v$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int u d u = \int - 2 v d v$

Paso 2.2

Según la regla de la potencia, la integral de $u$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{2} + C_{1} = \int - 2 v d v$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Dado que $- 2$ es constante con respecto a $v$ , mueve $- 2$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} u^{2} + C_{1} = - 2 \int v d v$

Paso 2.3.2

Según la regla de la potencia, la integral de $v$ con respecto a $v$ es $\frac{1}{2} v^{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{2} + C_{1} = - 2 (\frac{1}{2} v^{2} + C_{2})$

Paso 2.3.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 2.3.3.1

Reescribe $- 2 (\frac{1}{2} v^{2} + C_{2})$ como $- 2 (\frac{1}{2}) v^{2} + C_{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{2} + C_{1} = - 2 (\frac{1}{2}) v^{2} + C_{2}$

Paso 2.3.3.2

Simplifica.

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Paso 2.3.3.2.1

Combina $- 2$ y $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{2} + C_{1} = \frac{- 2}{2} v^{2} + C_{2}$

Paso 2.3.3.2.2

Cancela el factor común de $- 2$ y $2$ .

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Paso 2.3.3.2.2.1

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$\frac{1}{2} u^{2} + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2} v^{2} + C_{2}$

Paso 2.3.3.2.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.3.3.2.2.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{1}{2} u^{2} + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} v^{2} + C_{2}$

Paso 2.3.3.2.2.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{2} u^{2} + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} v^{2} + C_{2}$

Paso 2.3.3.2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{2} u^{2} + C_{1} = \frac{- 1}{1} v^{2} + C_{2}$

Paso 2.3.3.2.2.2.4

Divide $- 1$ por $1$ .

$\frac{1}{2} u^{2} + C_{1} = - v^{2} + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$\frac{1}{2} u^{2} = - v^{2} + K$

Paso 3

Resuelve $u$

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Paso 3.1

Multiplica ambos lados de la ecuación por $2$ .

$2 (\frac{1}{2} u^{2}) = 2 (- v^{2} + K)$

Paso 3.2

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 3.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.1.1

Simplifica $2 (\frac{1}{2} u^{2})$ .

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Paso 3.2.1.1.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $u^{2}$ .

$2 \frac{u^{2}}{2} = 2 (- v^{2} + K)$

Paso 3.2.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$2 \frac{u^{2}}{2} = 2 (- v^{2} + K)$

Paso 3.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$u^{2} = 2 (- v^{2} + K)$

Paso 3.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.2.1

Simplifica $2 (- v^{2} + K)$ .

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Paso 3.2.2.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$u^{2} = 2 (- v^{2}) + 2 K$

Paso 3.2.2.1.2

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$u^{2} = - 2 v^{2} + 2 K$

Paso 3.3

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$u = \pm \sqrt{- 2 v^{2} + 2 K}$

Paso 3.4

Factoriza $2$ de $- 2 v^{2} + 2 K$ .

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Paso 3.4.1

Factoriza $2$ de $- 2 v^{2}$ .

$u = \pm \sqrt{2 (- v^{2}) + 2 K}$

Paso 3.4.2

Factoriza $2$ de $2 K$ .

$u = \pm \sqrt{2 (- v^{2}) + 2 K}$

Paso 3.4.3

Factoriza $2$ de $2 (- v^{2}) + 2 K$ .

$u = \pm \sqrt{2 (- v^{2} + K)}$

Paso 3.5

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 3.5.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$u = \sqrt{2 (- v^{2} + K)}$

Paso 3.5.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$u = - \sqrt{2 (- v^{2} + K)}$

Paso 3.5.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$u = \sqrt{2 (- v^{2} + K)}$

$u = - \sqrt{2 (- v^{2} + K)}$

$u = \sqrt{2 (- v^{2} + K)}$

$u = - \sqrt{2 (- v^{2} + K)}$

$u = \sqrt{2 (- v^{2} + K)}$

$u = - \sqrt{2 (- v^{2} + K)}$