Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d t} = e^{- y} \sin (\frac{t}{3})$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{e^{- y}}$ .

$\frac{1}{e^{- y}} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{e^{- y}} (e^{- y} \sin (\frac{t}{3}))$

Paso 1.2

Cancela el factor común de $e^{- y}$ .

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Paso 1.2.1

Factoriza $e^{- y}$ de $e^{- y} \sin (\frac{t}{3})$ .

$\frac{1}{e^{- y}} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{e^{- y}} (e^{- y} (\sin (\frac{t}{3})))$

Paso 1.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{e^{- y}} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{e^{- y}} (e^{- y} \sin (\frac{t}{3}))$

Paso 1.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{e^{- y}} \frac{d y}{d t} = \sin (\frac{t}{3})$

Paso 1.3

Reescribe la ecuación.

$\frac{1}{e^{- y}} d y = \sin (\frac{t}{3}) d t$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{1}{e^{- y}} d y = \int \sin (\frac{t}{3}) d t$

Paso 2.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Simplifica la expresión.

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Paso 2.2.1.1

Niega el exponente de $e^{- y}$ y quítalo del denominador.

$\int 1 {(e^{- y})}^{- 1} d y = \int \sin (\frac{t}{3}) d t$

Paso 2.2.1.2

Simplifica.

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Paso 2.2.1.2.1

Multiplica los exponentes en ${(e^{- y})}^{- 1}$ .

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Paso 2.2.1.2.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int 1 e^{- y \cdot - 1} d y = \int \sin (\frac{t}{3}) d t$

Paso 2.2.1.2.1.2

Multiplica $- y \cdot - 1$ .

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Paso 2.2.1.2.1.2.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\int 1 e^{1 y} d y = \int \sin (\frac{t}{3}) d t$

Paso 2.2.1.2.1.2.2

Multiplica $y$ por $1$ .

$\int 1 e^{y} d y = \int \sin (\frac{t}{3}) d t$

Paso 2.2.1.2.2

Multiplica $e^{y}$ por $1$ .

$\int e^{y} d y = \int \sin (\frac{t}{3}) d t$

Paso 2.2.2

La integral de $e^{y}$ con respecto a $y$ es $e^{y}$ .

$e^{y} + C_{1} = \int \sin (\frac{t}{3}) d t$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Sea $u = \frac{t}{3}$ . Entonces $d u = \frac{1}{3} d t$ , de modo que $3 d u = d t$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.3.1.1

Deja $u = \frac{t}{3}$ . Obtén $\frac{d u}{d t}$ .

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Paso 2.3.1.1.1

Diferencia $\frac{t}{3}$ .

$\frac{d}{d t} [\frac{t}{3}]$

Paso 2.3.1.1.2

Como $\frac{1}{3}$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $\frac{t}{3}$ con respecto a $t$ es $\frac{1}{3} \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d t} [t]$

Paso 2.3.1.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{3} \cdot 1$

Paso 2.3.1.1.4

Multiplica $\frac{1}{3}$ por $1$ .

$\frac{1}{3}$

Paso 2.3.1.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$e^{y} + C_{1} = \int \sin (u) \frac{1}{\frac{1}{3}} d u$

Paso 2.3.2

Simplifica.

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Paso 2.3.2.1

Multiplica por la recíproca de la fracción para dividir por $\frac{1}{3}$ .

$e^{y} + C_{1} = \int \sin (u) (1 \cdot 3) d u$

Paso 2.3.2.2

Multiplica $3$ por $1$ .

$e^{y} + C_{1} = \int \sin (u) \cdot 3 d u$

Paso 2.3.2.3

Mueve $3$ a la izquierda de $\sin (u)$ .

$e^{y} + C_{1} = \int 3 \sin (u) d u$

Paso 2.3.3

Dado que $3$ es constante con respecto a $u$ , mueve $3$ fuera de la integral.

$e^{y} + C_{1} = 3 \int \sin (u) d u$

Paso 2.3.4

La integral de $\sin (u)$ con respecto a $u$ es $- \cos (u)$ .

$e^{y} + C_{1} = 3 (- \cos (u) + C_{2})$

Paso 2.3.5

Simplifica.

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Paso 2.3.5.1

Simplifica.

$e^{y} + C_{1} = 3 (- \cos (u)) + C_{2}$

Paso 2.3.5.2

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$e^{y} + C_{1} = - 3 \cos (u) + C_{2}$

Paso 2.3.6

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\frac{t}{3}$ .

$e^{y} + C_{1} = - 3 \cos (\frac{t}{3}) + C_{2}$

Paso 2.3.7

Reordena los términos.

$e^{y} + C_{1} = - 3 \cos (\frac{1}{3} t) + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$e^{y} = - 3 \cos (\frac{1}{3} t) + K$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (e^{y}) = \ln (- 3 \cos (\frac{t}{3}) + K)$

Paso 3.2

Expande el lado izquierdo.

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Paso 3.2.1

Expande $\ln (e^{y})$ ; para ello, mueve $y$ fuera del logaritmo.

$y \ln (e) = \ln (- 3 \cos (\frac{t}{3}) + K)$

Paso 3.2.2

El logaritmo natural de $e$ es $1$ .

$y \cdot 1 = \ln (- 3 \cos (\frac{t}{3}) + K)$

Paso 3.2.3

Multiplica $y$ por $1$ .

$y = \ln (- 3 \cos (\frac{t}{3}) + K)$