Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d θ} = 4 y^{2} \sec^{2} (2 θ)$

Paso 1

Separa las variables.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d θ} = \frac{1}{y^{2}} (4 y^{2} \sec^{2} (2 θ))$

Paso 1.2

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d θ} = 4 \frac{1}{y^{2}} (y^{2} \sec^{2} (2 θ))$

Paso 1.2.2

Combina $4$ y $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d θ} = \frac{4}{y^{2}} (y^{2} \sec^{2} (2 θ))$

Paso 1.2.3

Cancela el factor común de $y^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.3.1

Factoriza $y^{2}$ de $y^{2} \sec^{2} (2 θ)$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d θ} = \frac{4}{y^{2}} (y^{2} (\sec^{2} (2 θ)))$

Paso 1.2.3.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d θ} = \frac{4}{y^{2}} (y^{2} \sec^{2} (2 θ))$

Paso 1.2.3.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d θ} = 4 \sec^{2} (2 θ)$

Paso 1.3

Reescribe la ecuación.

$\frac{1}{y^{2}} d y = 4 \sec^{2} (2 θ) d θ$

Paso 2

Integra ambos lados.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{1}{y^{2}} d y = \int 4 \sec^{2} (2 θ) d θ$

Paso 2.2

Integra el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.1

Aplica reglas básicas de exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.1.1

Mueve $y^{2}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$\int {(y^{2})}^{- 1} d y = \int 4 \sec^{2} (2 θ) d θ$

Paso 2.2.1.2

Multiplica los exponentes en ${(y^{2})}^{- 1}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.1.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int y^{2 \cdot - 1} d y = \int 4 \sec^{2} (2 θ) d θ$

Paso 2.2.1.2.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\int y^{- 2} d y = \int 4 \sec^{2} (2 θ) d θ$

Paso 2.2.2

Según la regla de la potencia, la integral de $y^{- 2}$ con respecto a $y$ es $- y^{- 1}$ .

$- y^{- 1} + C_{1} = \int 4 \sec^{2} (2 θ) d θ$

Paso 2.2.3

Reescribe $- y^{- 1} + C_{1}$ como $- \frac{1}{y} + C_{1}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int 4 \sec^{2} (2 θ) d θ$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.1

Dado que $4$ es constante con respecto a $θ$ , mueve $4$ fuera de la integral.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = 4 \int \sec^{2} (2 θ) d θ$

Paso 2.3.2

Sea $u = 2 θ$ . Entonces $d u = 2 d θ$ , de modo que $\frac{1}{2} d u = d θ$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.2.1

Deja $u = 2 θ$ . Obtén $\frac{d u}{d θ}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.2.1.1

Diferencia $2 θ$ .

$\frac{d}{d θ} [2 θ]$

Paso 2.3.2.1.2

Como $2$ es constante con respecto a $θ$ , la derivada de $2 θ$ con respecto a $θ$ es $2 \frac{d}{d θ} [θ]$ .

$2 \frac{d}{d θ} [θ]$

Paso 2.3.2.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d θ} [θ^{n}]$ es $n θ^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Paso 2.3.2.1.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$2$

Paso 2.3.2.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = 4 \int \sec^{2} (u) \frac{1}{2} d u$

Paso 2.3.3

Combina $\sec^{2} (u)$ y $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = 4 \int \frac{\sec^{2} (u)}{2} d u$

Paso 2.3.4

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = 4 (\frac{1}{2} \int \sec^{2} (u) d u)$

Paso 2.3.5

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.5.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $4$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \frac{4}{2} \int \sec^{2} (u) d u$

Paso 2.3.5.2

Cancela el factor común de $4$ y $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.5.2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \frac{2 \cdot 2}{2} \int \sec^{2} (u) d u$

Paso 2.3.5.2.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.5.2.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \frac{2 \cdot 2}{2 (1)} \int \sec^{2} (u) d u$

Paso 2.3.5.2.2.2

Cancela el factor común.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} \int \sec^{2} (u) d u$

Paso 2.3.5.2.2.3

Reescribe la expresión.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \frac{2}{1} \int \sec^{2} (u) d u$

Paso 2.3.5.2.2.4

Divide $2$ por $1$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = 2 \int \sec^{2} (u) d u$

Paso 2.3.6

Como la derivada de $\tan (u)$ es $\sec^{2} (u)$ , la integral de $\sec^{2} (u)$ es $\tan (u)$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = 2 (\tan (u) + C_{2})$

Paso 2.3.7

Simplifica.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = 2 \tan (u) + C_{2}$

Paso 2.3.8

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 θ$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = 2 \tan (2 θ) + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$- \frac{1}{y} = 2 \tan (2 θ) + K$

Paso 3

Resuelve $y$

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$y, 1, 1$

Paso 3.1.2

El mínimo común múltiplo (MCM) de una y cualquier expresión es la expresión.

$y$

Paso 3.2

Multiplica cada término en $- \frac{1}{y} = 2 \tan (2 θ) + K$ por $y$ para eliminar las fracciones.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.1

Multiplica cada término en $- \frac{1}{y} = 2 \tan (2 θ) + K$ por $y$ .

$- \frac{1}{y} y = 2 \tan (2 θ) y + K y$

Paso 3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.2.1

Cancela el factor común de $y$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.2.1.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{y}$ al numerador.

$\frac{- 1}{y} y = 2 \tan (2 θ) y + K y$

Paso 3.2.2.1.2

Cancela el factor común.

$\frac{- 1}{y} y = 2 \tan (2 θ) y + K y$

Paso 3.2.2.1.3

Reescribe la expresión.

$- 1 = 2 \tan (2 θ) y + K y$

Paso 3.2.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.3.1

Reordena los factores en $2 \tan (2 θ) y + K y$ .

$- 1 = 2 y \tan (2 θ) + K y$

Paso 3.3

Resuelve la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.1

Reescribe la ecuación como $2 y \tan (2 θ) + K y = - 1$ .

$2 y \tan (2 θ) + K y = - 1$

Paso 3.3.2

Factoriza $y$ de $2 y \tan (2 θ) + K y$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.2.1

Factoriza $y$ de $2 y \tan (2 θ)$ .

$y (2 \tan (2 θ)) + K y = - 1$

Paso 3.3.2.2

Factoriza $y$ de $K y$ .

$y (2 \tan (2 θ)) + y K = - 1$

Paso 3.3.2.3

Factoriza $y$ de $y (2 \tan (2 θ)) + y K$ .

$y (2 \tan (2 θ) + K) = - 1$

Paso 3.3.3

Divide cada término en $y (2 \tan (2 θ) + K) = - 1$ por $2 \tan (2 θ) + K$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.3.1

Divide cada término en $y (2 \tan (2 θ) + K) = - 1$ por $2 \tan (2 θ) + K$ .

$\frac{y (2 \tan (2 θ) + K)}{2 \tan (2 θ) + K} = \frac{- 1}{2 \tan (2 θ) + K}$

Paso 3.3.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.3.2.1

Cancela el factor común de $2 \tan (2 θ) + K$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y (2 \tan (2 θ) + K)}{2 \tan (2 θ) + K} = \frac{- 1}{2 \tan (2 θ) + K}$

Paso 3.3.3.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{- 1}{2 \tan (2 θ) + K}$

Paso 3.3.3.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.3.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = - \frac{1}{2 \tan (2 θ) + K}$