Cálculo Ejemplos

$2 x y y' = x^{2} + 2 y^{2}$

Paso 1

Reescribe la ecuación diferencial.

$2 x y \frac{d y}{d x} = x^{2} + 2 y^{2}$

Paso 2

Reescribe la ecuación diferencial como una función de $\frac{y}{x}$ .

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Paso 2.1

Divide cada término en $2 x y \frac{d y}{d x} = x^{2} + 2 y^{2}$ por $2 x y$ y simplifica.

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Paso 2.1.1

Divide cada término en $2 x y \frac{d y}{d x} = x^{2} + 2 y^{2}$ por $2 x y$ .

$\frac{2 x y \frac{d y}{d x}}{2 x y} = \frac{x^{2}}{2 x y} + \frac{2 y^{2}}{2 x y}$

Paso 2.1.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.1.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.1.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x y \frac{d y}{d x}}{2 x y} = \frac{x^{2}}{2 x y} + \frac{2 y^{2}}{2 x y}$

Paso 2.1.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{x y \frac{d y}{d x}}{x y} = \frac{x^{2}}{2 x y} + \frac{2 y^{2}}{2 x y}$

Paso 2.1.2.2

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 2.1.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{x y \frac{d y}{d x}}{x y} = \frac{x^{2}}{2 x y} + \frac{2 y^{2}}{2 x y}$

Paso 2.1.2.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{x^{2}}{2 x y} + \frac{2 y^{2}}{2 x y}$

Paso 2.1.2.3

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 2.1.2.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{x^{2}}{2 x y} + \frac{2 y^{2}}{2 x y}$

Paso 2.1.2.3.2

Divide $\frac{d y}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2}}{2 x y} + \frac{2 y^{2}}{2 x y}$

Paso 2.1.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.3.1.1

Cancela el factor común de $x^{2}$ y $x$ .

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Paso 2.1.3.1.1.1

Factoriza $x$ de $x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot x}{2 x y} + \frac{2 y^{2}}{2 x y}$

Paso 2.1.3.1.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.1.3.1.1.2.1

Factoriza $x$ de $2 x y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot x}{x (2 y)} + \frac{2 y^{2}}{2 x y}$

Paso 2.1.3.1.1.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot x}{x (2 y)} + \frac{2 y^{2}}{2 x y}$

Paso 2.1.3.1.1.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{2 y} + \frac{2 y^{2}}{2 x y}$

Paso 2.1.3.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.1.3.1.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{2 y} + \frac{2 y^{2}}{2 x y}$

Paso 2.1.3.1.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{2 y} + \frac{y^{2}}{x y}$

Paso 2.1.3.1.3

Cancela el factor común de $y^{2}$ y $y$ .

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Paso 2.1.3.1.3.1

Factoriza $y$ de $y^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{2 y} + \frac{y \cdot y}{x y}$

Paso 2.1.3.1.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.1.3.1.3.2.1

Factoriza $y$ de $x y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{2 y} + \frac{y \cdot y}{y x}$

Paso 2.1.3.1.3.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{2 y} + \frac{y \cdot y}{y x}$

Paso 2.1.3.1.3.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{2 y} + \frac{y}{x}$

Paso 2.2

Reescribe la ecuación diferencial como $f (\frac{y}{x})$ .

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Paso 2.2.1

Factoriza $\frac{x}{y}$ de $\frac{x}{2 y}$ .

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Paso 2.2.1.1

Factoriza $\frac{x}{y}$ de $\frac{x}{2 y}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{y} \cdot \frac{1}{2} + \frac{y}{x}$

Paso 2.2.1.2

Reordena $\frac{x}{y}$ y $\frac{1}{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2} \cdot \frac{x}{y} + \frac{y}{x}$

Paso 2.2.2

Reescribe $\frac{x}{y}$ como ${(\frac{y}{x})}^{- 1}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2} {(\frac{y}{x})}^{- 1} + \frac{y}{x}$

Paso 3

Sea $V = \frac{y}{x}$ . Sustituye $V$ por $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2} V^{- 1} + V$

Paso 4

Resuelve $V = \frac{y}{x}$ en $y$ .

$y = V x$

Paso 5

Usa la regla del producto para obtener la derivada de $y = V x$ con respecto a $x$ .

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

Paso 6

Sustituye $x \frac{d V}{d x} + V$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{1}{2} V^{- 1} + V$

Paso 7

Resuelve la ecuación diferencial sustituida.

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Paso 7.1

Separa las variables.

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Paso 7.1.1

Resuelve $\frac{d V}{d x}$

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Paso 7.1.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 7.1.1.1.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{V} + V$

Paso 7.1.1.1.2

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{V}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{1}{2 V} + V$

Paso 7.1.1.2

Mueve todos los términos que no contengan $\frac{d V}{d x}$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 7.1.1.2.1

Resta $V$ de ambos lados de la ecuación.

$x \frac{d V}{d x} = \frac{1}{2 V} + V - V$

Paso 7.1.1.2.2

Combina los términos opuestos en $\frac{1}{2 V} + V - V$ .

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Paso 7.1.1.2.2.1

Resta $V$ de $V$ .

$x \frac{d V}{d x} = \frac{1}{2 V} + 0$

Paso 7.1.1.2.2.2

Suma $\frac{1}{2 V}$ y $0$ .

$x \frac{d V}{d x} = \frac{1}{2 V}$

Paso 7.1.1.3

Divide cada término en $x \frac{d V}{d x} = \frac{1}{2 V}$ por $x$ y simplifica.

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Paso 7.1.1.3.1

Divide cada término en $x \frac{d V}{d x} = \frac{1}{2 V}$ por $x$ .

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{1}{2 V}}{x}$

Paso 7.1.1.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 7.1.1.3.2.1

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 7.1.1.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{1}{2 V}}{x}$

Paso 7.1.1.3.2.1.2

Divide $\frac{d V}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{1}{2 V}}{x}$

Paso 7.1.1.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 7.1.1.3.3.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{d V}{d x} = \frac{1}{2 V} \cdot \frac{1}{x}$

Paso 7.1.1.3.3.2

Multiplica $\frac{1}{2 V}$ por $\frac{1}{x}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{1}{2 V x}$

Paso 7.1.2

Reagrupa los factores.

$\frac{d V}{d x} = \frac{1}{2 V} \cdot \frac{1}{x}$

Paso 7.1.3

Multiplica ambos lados por $2 V$ .

$2 V \frac{d V}{d x} = 2 V (\frac{1}{2 V} \cdot \frac{1}{x})$

Paso 7.1.4

Simplifica.

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Paso 7.1.4.1

Multiplica $\frac{1}{2 V}$ por $\frac{1}{x}$ .

$2 V \frac{d V}{d x} = 2 V \frac{1}{2 V x}$

Paso 7.1.4.2

Cancela el factor común de $2 V$ .

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Paso 7.1.4.2.1

Factoriza $2 V$ de $2 V x$ .

$2 V \frac{d V}{d x} = 2 V \frac{1}{2 V (x)}$

Paso 7.1.4.2.2

Cancela el factor común.

$2 V \frac{d V}{d x} = 2 V \frac{1}{2 V x}$

Paso 7.1.4.2.3

Reescribe la expresión.

$2 V \frac{d V}{d x} = \frac{1}{x}$

Paso 7.1.5

Reescribe la ecuación.

$2 V d V = \frac{1}{x} d x$

Paso 7.2

Integra ambos lados.

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Paso 7.2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int 2 V d V = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 7.2.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 7.2.2.1

Dado que $2$ es constante con respecto a $V$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$2 \int V d V = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 7.2.2.2

Según la regla de la potencia, la integral de $V$ con respecto a $V$ es $\frac{1}{2} V^{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} V^{2} + C_{1}) = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 7.2.2.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 7.2.2.3.1

Reescribe $2 (\frac{1}{2} V^{2} + C_{1})$ como $2 (\frac{1}{2}) V^{2} + C_{1}$ .

$2 (\frac{1}{2}) V^{2} + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 7.2.2.3.2

Simplifica.

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Paso 7.2.2.3.2.1

Combina $2$ y $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2}{2} V^{2} + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 7.2.2.3.2.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 7.2.2.3.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{2}{2} V^{2} + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 7.2.2.3.2.2.2

Reescribe la expresión.

$1 V^{2} + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 7.2.2.3.2.3

Multiplica $V^{2}$ por $1$ .

$V^{2} + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 7.2.3

La integral de $\frac{1}{x}$ con respecto a $x$ es $\ln (| x |)$ .

$V^{2} + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

Paso 7.2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$V^{2} = \ln (| x |) + C$

Paso 7.3

Resuelve $V$

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Paso 7.3.1

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$V = \pm \sqrt{\ln (| x |) + C}$

Paso 7.3.2

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 7.3.2.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$V = \sqrt{\ln (| x |) + C}$

Paso 7.3.2.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.