Cálculo Ejemplos

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} - \frac{d y}{d x} = 0$

Paso 1

Sea $v = \frac{d y}{d x}$ . Luego $\frac{d v}{d x} = \frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ . Sustituye $v$ por $\frac{d y}{d x}$ y $\frac{d v}{d x}$ por $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ para obtener una ecuación diferencial con variable dependiente $v$ y variable independiente $x$ .

$\frac{d v}{d x} - v = 0$

Paso 2

El factor integrador se define mediante la fórmula $e^{\int P (x) d x}$ , donde $P (x) = - 1$ .

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Paso 2.1

Establece la integración.

$e^{\int - 1 d x}$

Paso 2.2

Aplica la regla de la constante.

$e^{- x + C_{1}}$

Paso 2.3

Elimina la constante de integración.

$e^{- x}$

Paso 3

Multiplica cada término por el factor integrador $e^{- x}$ .

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Paso 3.1

Multiplica cada término por $e^{- x}$ .

$e^{- x} \frac{d v}{d x} + e^{- x} (- v) = e^{- x} \cdot 0$

Paso 3.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$e^{- x} \frac{d v}{d x} - e^{- x} v = e^{- x} \cdot 0$

Paso 3.3

Multiplica $e^{- x}$ por $0$ .

$e^{- x} \frac{d v}{d x} - e^{- x} v = 0$

Paso 3.4

Reordena los factores en $e^{- x} \frac{d v}{d x} - e^{- x} v = 0$ .

$e^{- x} \frac{d v}{d x} - v e^{- x} = 0$

Paso 4

Reescribe el lado izquierdo como resultado de la diferenciación de un producto.

$\frac{d}{d x} [e^{- x} v] = 0$

Paso 5

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [e^{- x} v] d x = \int 0 d x$

Paso 6

Integra el lado izquierdo.

$e^{- x} v = \int 0 d x$

Paso 7

Integra el lado derecho.

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Paso 7.1

La integral de $0$ con respecto a $x$ es $0$ .

$e^{- x} v = 0 + C_{2}$

Paso 7.2

Suma $0$ y $C_{2}$ .

$e^{- x} v = C_{2}$

Paso 8

Divide cada término en $e^{- x} v = C_{2}$ por $e^{- x}$ y simplifica.

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Paso 8.1

Divide cada término en $e^{- x} v = C_{2}$ por $e^{- x}$ .

$\frac{e^{- x} v}{e^{- x}} = \frac{C_{2}}{e^{- x}}$

Paso 8.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 8.2.1

Cancela el factor común de $e^{- x}$ .

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Paso 8.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{e^{- x} v}{e^{- x}} = \frac{C_{2}}{e^{- x}}$

Paso 8.2.1.2

Divide $v$ por $1$ .

$v = \frac{C_{2}}{e^{- x}}$

Paso 9

Reemplaza todos los casos de $v$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{C_{2}}{e^{- x}}$

Paso 10

Reescribe la ecuación.

$d y = \frac{C_{2}}{e^{- x}} d x$

Paso 11

Integra ambos lados.

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Paso 11.1

Establece una integral en cada lado.

$\int d y = \int \frac{C_{2}}{e^{- x}} d x$

Paso 11.2

Aplica la regla de la constante.

$y + C_{3} = \int \frac{C_{2}}{e^{- x}} d x$

Paso 11.3

Integra el lado derecho.

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Paso 11.3.1

Dado que $C_{2}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $C_{2}$ fuera de la integral.

$y + C_{3} = C_{2} \int \frac{1}{e^{- x}} d x$

Paso 11.3.2

Simplifica la expresión.

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Paso 11.3.2.1

Niega el exponente de $e^{- x}$ y quítalo del denominador.

$y + C_{3} = C_{2} \int 1 {(e^{- x})}^{- 1} d x$

Paso 11.3.2.2

Simplifica.

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Paso 11.3.2.2.1

Multiplica los exponentes en ${(e^{- x})}^{- 1}$ .

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Paso 11.3.2.2.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y + C_{3} = C_{2} \int 1 e^{- x \cdot - 1} d x$

Paso 11.3.2.2.1.2

Multiplica $- x \cdot - 1$ .

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Paso 11.3.2.2.1.2.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$y + C_{3} = C_{2} \int 1 e^{1 x} d x$

Paso 11.3.2.2.1.2.2

Multiplica $x$ por $1$ .

$y + C_{3} = C_{2} \int 1 e^{x} d x$

Paso 11.3.2.2.2

Multiplica $e^{x}$ por $1$ .

$y + C_{3} = C_{2} \int e^{x} d x$

Paso 11.3.3

La integral de $e^{x}$ con respecto a $x$ es $e^{x}$ .

$y + C_{3} = C_{2} (e^{x} + C_{4})$

Paso 11.3.4

Simplifica.

$y + C_{3} = C_{2} e^{x} + C_{5}$

Paso 11.3.5

Reordena los términos.

$y + C_{3} = e^{x} C_{2} + C_{5}$

Paso 11.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $D$ .

$y = e^{x} C + D$