Cálculo Ejemplos

$(1 + e^{2 x}) d x - e^{x} y^{2} d y = 0$

Paso 1

Resta $(1 + e^{2 x}) d x$ de ambos lados de la ecuación.

$- e^{x} y^{2} d y = - (1 + e^{2 x}) d x$

Paso 2

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{e^{x}}$ .

$\frac{1}{e^{x}} (- e^{x} y^{2}) d y = \frac{1}{e^{x}} (- (1 + e^{2 x})) d x$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$- \frac{1}{e^{x}} (e^{x} y^{2}) d y = \frac{1}{e^{x}} (- (1 + e^{2 x})) d x$

Paso 3.2

Cancela el factor común de $e^{x}$ .

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Paso 3.2.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{e^{x}}$ al numerador.

$\frac{- 1}{e^{x}} (e^{x} y^{2}) d y = \frac{1}{e^{x}} (- (1 + e^{2 x})) d x$

Paso 3.2.2

Factoriza $e^{x}$ de $e^{x} y^{2}$ .

$\frac{- 1}{e^{x}} (e^{x} (y^{2})) d y = \frac{1}{e^{x}} (- (1 + e^{2 x})) d x$

Paso 3.2.3

Cancela el factor común.

$\frac{- 1}{e^{x}} (e^{x} y^{2}) d y = \frac{1}{e^{x}} (- (1 + e^{2 x})) d x$

Paso 3.2.4

Reescribe la expresión.

$- y^{2} d y = \frac{1}{e^{x}} (- (1 + e^{2 x})) d x$

Paso 3.3

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$- y^{2} d y = - \frac{1}{e^{x}} (1 + e^{2 x}) d x$

Paso 3.4

Aplica la propiedad distributiva.

$- y^{2} d y = (- \frac{1}{e^{x}} \cdot 1 - \frac{1}{e^{x}} e^{2 x}) d x$

Paso 3.5

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- y^{2} d y = (- \frac{1}{e^{x}} - \frac{1}{e^{x}} e^{2 x}) d x$

Paso 3.6

Combina $e^{2 x}$ y $\frac{1}{e^{x}}$ .

$- y^{2} d y = (- \frac{1}{e^{x}} - \frac{e^{2 x}}{e^{x}}) d x$

Paso 3.7

Cancela el factor común de $e^{2 x}$ y $e^{x}$ .

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Paso 3.7.1

Factoriza $e^{x}$ de $e^{2 x}$ .

$- y^{2} d y = (- \frac{1}{e^{x}} - \frac{e^{x} e^{x}}{e^{x}}) d x$

Paso 3.7.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.7.2.1

Multiplica por $1$ .

$- y^{2} d y = (- \frac{1}{e^{x}} - \frac{e^{x} e^{x}}{e^{x} \cdot 1}) d x$

Paso 3.7.2.2

Cancela el factor común.

$- y^{2} d y = (- \frac{1}{e^{x}} - \frac{e^{x} e^{x}}{e^{x} \cdot 1}) d x$

Paso 3.7.2.3

Reescribe la expresión.

$- y^{2} d y = (- \frac{1}{e^{x}} - \frac{e^{x}}{1}) d x$

Paso 3.7.2.4

Divide $e^{x}$ por $1$ .

$- y^{2} d y = (- \frac{1}{e^{x}} - e^{x}) d x$

Paso 4

Integra ambos lados.

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Paso 4.1

Establece una integral en cada lado.

$\int - y^{2} d y = \int - \frac{1}{e^{x}} - e^{x} d x$

Paso 4.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 4.2.1

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $y$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$- \int y^{2} d y = \int - \frac{1}{e^{x}} - e^{x} d x$

Paso 4.2.2

Según la regla de la potencia, la integral de $y^{2}$ con respecto a $y$ es $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$- (\frac{1}{3} y^{3} + C_{1}) = \int - \frac{1}{e^{x}} - e^{x} d x$

Paso 4.2.3

Reescribe $- (\frac{1}{3} y^{3} + C_{1})$ como $- \frac{1}{3} y^{3} + C_{1}$ .

$- \frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int - \frac{1}{e^{x}} - e^{x} d x$

Paso 4.3

Integra el lado derecho.

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Paso 4.3.1

Divide la única integral en varias integrales.

$- \frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int - \frac{1}{e^{x}} d x + \int - e^{x} d x$

Paso 4.3.2

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$- \frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - \int \frac{1}{e^{x}} d x + \int - e^{x} d x$

Paso 4.3.3

Simplifica la expresión.

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Paso 4.3.3.1

Niega el exponente de $e^{x}$ y quítalo del denominador.

$- \frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - \int 1 {(e^{x})}^{- 1} d x + \int - e^{x} d x$

Paso 4.3.3.2

Simplifica.

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Paso 4.3.3.2.1

Multiplica los exponentes en ${(e^{x})}^{- 1}$ .

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Paso 4.3.3.2.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - \int 1 e^{x \cdot - 1} d x + \int - e^{x} d x$

Paso 4.3.3.2.1.2

Mueve $- 1$ a la izquierda de $x$ .

$- \frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - \int 1 e^{- 1 \cdot x} d x + \int - e^{x} d x$

Paso 4.3.3.2.1.3

Reescribe $- 1 x$ como $- x$ .

$- \frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - \int 1 e^{- x} d x + \int - e^{x} d x$

Paso 4.3.3.2.2

Multiplica $e^{- x}$ por $1$ .

$- \frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - \int e^{- x} d x + \int - e^{x} d x$

Paso 4.3.4

Sea $u = - x$ . Entonces $d u = - d x$ , de modo que $- d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 4.3.4.1

Deja $u = - x$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 4.3.4.1.1

Diferencia $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Paso 4.3.4.1.2

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Paso 4.3.4.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Paso 4.3.4.1.4

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- 1$

Paso 4.3.4.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$- \frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - \int - e^{u} d u + \int - e^{x} d x$

Paso 4.3.5

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$- \frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - - \int e^{u} d u + \int - e^{x} d x$

Paso 4.3.6

Simplifica.

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Paso 4.3.6.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$- \frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = 1 \int e^{u} d u + \int - e^{x} d x$

Paso 4.3.6.2

Multiplica $\int e^{u} d u$ por $1$ .

$- \frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int e^{u} d u + \int - e^{x} d x$

Paso 4.3.7

La integral de $e^{u}$ con respecto a $u$ es $e^{u}$ .

$- \frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = e^{u} + C_{2} + \int - e^{x} d x$

Paso 4.3.8

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$- \frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = e^{u} + C_{2} - \int e^{x} d x$

Paso 4.3.9

La integral de $e^{x}$ con respecto a $x$ es $e^{x}$ .

$- \frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = e^{u} + C_{2} - (e^{x} + C_{3})$

Paso 4.3.10

Simplifica.

$- \frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = e^{u} - e^{x} + C_{4}$

Paso 4.3.11

Reemplaza todos los casos de $u$ con $- x$ .

$- \frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = e^{- x} - e^{x} + C_{4}$

Paso 4.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$- \frac{1}{3} y^{3} = e^{- x} - e^{x} + K$

Paso 5

Resuelve $y$

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Paso 5.1

Multiplica ambos lados de la ecuación por $- 3$ .

$- 3 (- \frac{1}{3} y^{3}) = - 3 (e^{- x} - e^{x} + K)$

Paso 5.2

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 5.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.2.1.1

Simplifica $- 3 (- \frac{1}{3} y^{3})$ .

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Paso 5.2.1.1.1

Combina $y^{3}$ y $\frac{1}{3}$ .

$- 3 (- \frac{y^{3}}{3}) = - 3 (e^{- x} - e^{x} + K)$

Paso 5.2.1.1.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 5.2.1.1.2.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{y^{3}}{3}$ al numerador.

$- 3 \frac{- y^{3}}{3} = - 3 (e^{- x} - e^{x} + K)$

Paso 5.2.1.1.2.2

Factoriza $3$ de $- 3$ .

$3 (- 1) \frac{- y^{3}}{3} = - 3 (e^{- x} - e^{x} + K)$

Paso 5.2.1.1.2.3

Cancela el factor común.

$3 \cdot - 1 \frac{- y^{3}}{3} = - 3 (e^{- x} - e^{x} + K)$

Paso 5.2.1.1.2.4

Reescribe la expresión.

$- - y^{3} = - 3 (e^{- x} - e^{x} + K)$

Paso 5.2.1.1.3

Multiplica.

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Paso 5.2.1.1.3.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1 y^{3} = - 3 (e^{- x} - e^{x} + K)$

Paso 5.2.1.1.3.2

Multiplica $y^{3}$ por $1$ .

$y^{3} = - 3 (e^{- x} - e^{x} + K)$

Paso 5.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.2.2.1

Simplifica $- 3 (e^{- x} - e^{x} + K)$ .

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Paso 5.2.2.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y^{3} = - 3 e^{- x} - 3 (- e^{x}) - 3 K$

Paso 5.2.2.1.2

Multiplica $- 1$ por $- 3$ .

$y^{3} = - 3 e^{- x} + 3 e^{x} - 3 K$

Paso 5.3

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$y = \sqrt[3]{- 3 e^{- x} + 3 e^{x} - 3 K}$

Paso 5.4

Factoriza $3$ de $- 3 e^{- x} + 3 e^{x} - 3 K$ .

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Paso 5.4.1

Factoriza $3$ de $- 3 e^{- x}$ .

$y = \sqrt[3]{3 (- e^{- x}) + 3 e^{x} - 3 K}$

Paso 5.4.2

Factoriza $3$ de $3 e^{x}$ .

$y = \sqrt[3]{3 (- e^{- x}) + 3 (e^{x}) - 3 K}$

Paso 5.4.3

Factoriza $3$ de $- 3 K$ .

$y = \sqrt[3]{3 (- e^{- x}) + 3 (e^{x}) + 3 (- K)}$

Paso 5.4.4

Factoriza $3$ de $3 (- e^{- x}) + 3 (e^{x})$ .

$y = \sqrt[3]{3 (- e^{- x} + e^{x}) + 3 (- K)}$

Paso 5.4.5

Factoriza $3$ de $3 (- e^{- x} + e^{x}) + 3 (- K)$ .

$y = \sqrt[3]{3 (- e^{- x} + e^{x} - K)}$

Paso 6

Simplifica la constante de integración.

$y = \sqrt[3]{3 (- e^{- x} + e^{x} + K)}$